天津市部分区2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案
2019-2020学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．双曲线=1的离心率是（）
A． B． C． D．2
3．命题“?m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）
A．?m∈N，曲线=1是椭圆 B．?m∈N，曲线=1不是椭圆
C．?m∈N+，曲线=1是椭圆 D．?m∈N+，曲线=1不是椭圆
4．已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣C．D．2
5．“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）
A．πB．πC．πD．3π
7．直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）
A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关
8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
C．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α
9．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）
A．[2，8] B．[，8] C．[2，] D．[，]
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．
12．椭圆=1的两个焦点为F
1，F
2
，过F
1
且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为
P，则|PF
2
|= ．
13．已知三条直线l
1：2x+my+2=0（m∈R），l
2
：2x+y﹣1=0，l
3
：x+ny+1=0（n∈R），若l
1
∥l
2
，
l
1⊥l
3
，则m+n的值为．
14．如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A
1B
1
C
1
中，AB=1，点D在棱BB
1
上，且BD=1，则直线AD与平面AA
1C
1
C所成角的余弦值为．
15．平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．
三、解答题（共5小题，共60分）
16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．
（1）求m的取值范围；
（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．
17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；
（2）当k=时，求△OAB的面积．
18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．
（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
中，AB=AA
1
=1，E为BC的中点．
（1）求证：C
1D⊥D
1
E；
（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD
1
E，求λ的值；
（3）若二面角B
1﹣AE﹣D
1
的大小为90°，求线段AD的长．
20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的
直线被椭圆截得弦的长度为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直
径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试
高二数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
1112 1314
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）
解：（1……………4分
（2
6分
8分
10分
12分17．（12分）
解：（1
2分
4分
6分
O
D C
A
P
M （2）因为2k =
，由（1）可得122,22y y =-=，
代入抛物线方程可得121,4x x ==
∴()
1,2A -，()
4,22B ……………………………………………………9分
∴11
3263222
OAB S OA OB ?=
?=??=………………………………12分 18．（12解：（1）证明：在ABD V 中，∵2,4,25AD BD AB ===，
∴2
2
2
AD BD AB += ∴AD BD ⊥．……………………………………………………3分
又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ?平面ABCD AD =， BD ?面ABCD ，
∴BD ⊥面PAD ，又BD ?面BDM ，
∴平面MBD ⊥平面PAD ．………………………6分 （2）解：过P 作PO AD ⊥，
∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，
即PO 为四棱锥P BCD -的高． 又PAD ?是边长为2的等边三角形， ∴3PO =
．………………………9分
在底面四边形ABCD 中，AB DC //，2AB DC =，
在Rt ABD ?中，斜边AB 边上的高为2445525
?=，
此即为BCD ?的高．
∴145
5225
BCD S ?=??
=．…………………11分 ∴1232333
P BCD V -=
??=．…………………12分 19（1）证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设2AD a =,
则(0,0,0)D ，(2,0,0)A a ，(2,1,0)B a ，()12,0,1A a ，
()10,1,1C ,()10,0,1D ,()12,1,1B a ，(,1,0)E a ，
所以1(0,1,1)C D =--uuu r ,1(,1,1)D E a =-uuu r
，
所以110C D D E ?=uuu r uuu u r
，所以11C D D E ⊥.……………………3分
（2）由1AM AA λ=uuu r uuu r
,则(2,0,)M a λ，连接BM ，所以(0,1
,)BM λ=-u u u r ，(,1,0)AE a =-u u u r 1(2,0,1)AD a =-u u u r
，
（3 20．（12分）Array
解：（1
（2
…………………………………………12分