《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、晶体的结构
习题
1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：
（1）简立方，
6
π
; （2）体心立方, ;
8
3
π
（3）面心立方，;
6
2
π（4）六角密积，;
6
2
π
（5）金刚石结构，;
16
3
π
[解答]
设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，
设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体
积，则致密度ρ=
V
r
n3
3
4
π
（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相
切，因为,
,
4
33a
V
r
a=
=
面1.2 简立方晶胞
晶胞内包含1个原子，所以
ρ=
6
)
(
3
3
2
3
4π
π
=
a
a
（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,
,
4
33a
V
r
a=
=晶胞内包含2个原子，所以
ρ=π
π
8
3
)
(
*
2
3
3
4
3
3
4
=
a
a
图1.3 体心立方晶胞
（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为
3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以
ρ=
6
2)
(
*43
3
4
234ππ=
a a .
图1.4面心立方晶胞
（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，
图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体
晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高
h =2
23
2
32c r a == 晶胞体积 V = 2
22
360sin ca ca =
, 一个晶胞内包含两个原子，所以
ρ=
ππ62)(*22
2
3
3
234=
ca a .
（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的
原子相切，因为
,
8 3r a=
晶胞体积3a
V=,
图1.7金刚石结构
一个晶胞内包含8个原子，所以
ρ=
16
3
)
8
3
(
*
8
3
3
3
4
π
π
=
a
a
.
2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（12
2
-
），和（20
1
-
）晶面。
[解答]
图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。
3．如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为,
,
,3
2
1
m
a
k
a
h
a
在C轴上的截距为
l
c
证明：m
k
h-
=
+求出O
5
5
2
2
1
3
3
1
3
1
,,
,A
B
B
A
B
B
A
A
A
A和A
5
3
1
A
A四个面的面指数。
图1.9六角晶胞对称画法
[解答]
设 d 是晶面族（hkml ）的面间距， n 是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm ）中最靠近原点的晶面在a
c a a ,321
轴上的截距分别为
l c m a k a h a /,/,/,/321 所以有
1a ?n =hd , 2a ?n =kd , 3a ?n =md .
因为
),(323a a a +-=
所以
3a ?)(32a a n +-=?n 。
由上式得到
md =)(kd hd +-. 即
),(k h m +-=
由图可得到： 31'A A O 晶面的面指数为(11-
21) 1331B B A A 面的面指数为(11-
20)
5522A B B A 晶面的面指数为(1-
100) 531A A A 晶面的面指数为(0001)
4．设某一晶面族的面间距为 d , 三个基矢 321,,a a a 的末端分别落在离原点的距离为d h 1,d h d h 32,的晶面上，试用反证法证明：321,,h h h 是互质的。
[解答]
设该晶面族的单位法量为 321,,a a a 由已知条件可得
1a ?21,a d h n =?,
2d h n =3a ?,3d h n =
假定321,,h h h 不是互质数，且公约数 1≠p 即
332211,,pk h pk h pk h ===
321,,k k k 是互质的整数，则有
1a ?21,a d pk n =?32,a d pk n =?d pk n 3=
今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为
,332211a l a l a l r ++=
由于 心定是整数，而且
r ?11a l d n ==?22a l n +?33a l n +?n
于是得到
1332211=++l pk l pk l pk
由上式可得
p
l k l k l k 1332211=
++ 上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是 p 为不等于1的整数的假定。也就是说，p 只能等于1，即321,,h h h 一定是互质数。
5．证明在立方晶体中，晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交，并求晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h )的夹角。
[解答]
设d 是为晶面族（hkl ）的面间距 ，n 为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl ）将 a,b, c 分别截为l k h ,, 等份，即
a?n =a cos(a,n )=hd, b?n =b cos(b,n )=kd,
c?n =c cos(c,n )=ld 于是有
n =a d h i +a d k j +a
d l k
=
a
d
(h i +k j +l k ) 其中,i ,j,k 分别为平行于a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶列[hkl ] 的方向矢量为
R =ha i +ka j +la k =a(h i +k j +l k ) 由（1），（2）两式得
n =2a
d R 即n 与R 平行，因此晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交。
对于立方晶系，晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h ) 的夹角，就是晶列 R
1
=1h a +1k b +1l c
与晶列
R 2=2h a +2k b +2l c
的夹角，设晶面 (111l k h )与晶面 (122l k h ) 的夹角为 ? 由
R 1?R 2=??cos cos 2222222
21212
121a l k h l k h R R ++++= =221221221a l l a k k a h h ++ 得
})(({
cos 22
22
22
21
21
2
1
2121211l
k h l k h l l k k h h ++++++=-?
6．如图1.10所示，B,C 两点是面心立方晶胞上的两面心。 （1） 求 ABC 面的密勒指数；
（2） 求 AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
图1.10 面心立方晶胞
[解答]
（1） 矢量A B
与矢量C B 的叉乘即是 ABC 面的法矢量
A B =),2(2
1
)(21)(c b a c b b a B O A O -+=+-+=-
),(2
1
)(21)](21[c a c b b a c B O C O C B +=+-++=-=
A B ?).3(4
)(21)2(21c b a a
c a c b a C B --=+?-+=
因为对立方晶系，晶列[hkl ]与晶面族（hkl ）正交，所以ABC 面的密勒指数为(-
131).
（2）).2(2
1
)()](21[c b a b a b a c A O C O C A -+-=+-++=-=
可见 C A
与晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指数为[11-2].
由《固体物理教程》（1?3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系
,321a a a a ++-= ,321a a a b +-= 321a a a c -+=
晶列 (a+b-2c) 可化为 (a+b-2c)=-2(3212a a a -+) 由上式可知，AC 晶列在原胞坐标系中的指数为[11-
2]
7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 [解答]
设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k 面心立方正格子的原胞基矢可取为
),(2
1k j a
a +=
).
(2
),(2
32j i a
a j k a
a +=+=
由倒格矢公式
Ω
?=Ω?=Ω?=
]
[2,][2,][2213132321a a b a a b a a b πππ, 可得其倒格矢为
).
(2),(2),(2321k j i a b k j i a b k j i a b -+=+-=++-=
πππ
设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k ,体心立方正格子的原胞基矢可取为
).
(2),(2),(2321k j i a
a k j i a
a k j i a
a -+=+-=++-=
以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子， 这说明面心立方的倒格子是体心立方。
将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式 .]
[2,][2,][2213132321Ω
?=Ω?=Ω?=
a a
b a a b a a b πππ 则得其倒格子基矢为
).
(2),(2),(2321j i a b i k a b k i a b +=+=+=
ππ
π
可见体心立方的倒格子是面心立方。 8．六角晶胞的基矢
ck C j a ai b j a ai a =+-=+=
,223,223
求其倒格基矢。 [解答]
晶胞体积为 ][c b a ??=Ω
.2
3)]()223([)223(
2c a ck j a ai j a ai =?+-?+= 其倒格矢为
k c
c
a
j
a
ai
j
a
ai
b
a
c
j i
a
c
a
j
a
ai
ck
a
c
b
j
i
a
c
a
ck
j
a
ai
c
b
a
π
π
π
π
π
π
π
π
π
2
3
2
)]
2
2
3
(
)
2
2
3
[(
2
]
[
2
).
3
3
(
2
3
2
)]
2
2
3
(
)
[(
2
]
[
2
).
3
3
(
2
3
2
)]
(
)
2
2
3
[(
2
]
[
2
2
2
2
=
?
+
-
?
+
=
Ω
?
=
+
-
=
?
+
?
=
Ω
?
=
+
=
?
?
+
-
=
Ω
?
=
*
*
*
9．证明以下结构晶面族的面间距：
（1）立方晶系:,
]
[21
2
2
2-
+
+
=l
k
h
a
d
hkl
（2）正交晶系:21]
)
(
)
(
)
[(2
2
2-
+
+
=
c
l
b
k
a
h
d
hkl
（3）六角晶系:21]
)
(
)
(
3
4
[2
2
2
2
-
+
+
+
=
c
l
a
hk
k
h
d
hkl
（4）简单单斜:21]
)
cos
2
(
sin
1
[
2
2
2
2
2
2
2
-
+
-
+
=
b
k
ac
hl
c
l
a
h
d
hkl
β
β
.
[解答]
（1）设沿立方晶系轴a,b,c的单位矢量分别为i,j,k,则正格子基矢为
,
,
,ak
c
bj
b
ai
a=
=
=
图1.11立方晶胞
倒格子晶矢为
.2,
2,2k a c j a b i a a πππ===***
与晶面族(hkl )正交的倒格为
.***++=lc kb ha K hkl
由晶面间距 hkl d 与倒格矢hkl K 的关系式
得，
.
22
2
2
l
k h a d K d hkl hkl
hkl ++=
=
π
（2）对于正交晶系，晶胞基矢c b a ,,相互垂直，但晶格常数.c b a ≠≠设沿晶轴
c b a ,,的单位矢量分别为i,j,k 则正格子基矢为 ,,,ck c bj b ai a ===
图1.12正交晶胞倒
倒格子基矢为
.2,2,2k c c j b b i a a πππ===***
与晶面族 (hkl ) 正交的倒格为
.***++=lc kb ha K hkl
由晶面间距 hkl d 与倒格矢hkl K 的关系式
hkl
hkl K d π
2=
得
21
])()()[(222-++=c
l b k a h d hkl
（2） 对于六角晶系，,120,90, ===≠=γβαc b a 晶面族 (hkl ) 的面间距
图 1.13 六角晶胞
.2222
****
**++=++==lc
kb hk lc
kb ha K d hkl hkl ππ
π
也即
)].(2)(2)(2[4112
222222
2
*********?+?+?+++=
c a hl c b kl b a hk c l b k a h
d hkl
π
由图1.13可得六角晶胞的体积
.2
3120sin sin )(2
22c a c a c a b a a c =
==??=Ω γ 倒格基矢的模
(
)
()(
)
.223sin 22,3423sin 2222
2
c
c
a a
b a
c c a
c
a ac c
b a b a πγ
ππ
πα
ππ=
=Ω
?===
=
Ω
?===*****
倒格基矢的点积
()()(){()()()()[]().38cos cos cos 44]}
[4][422
2
22222
22
22a
c a c c a b a c c b c b a c a c c b b a πγβαππππ=-Ω=??-??Ω
=???Ω=???Ω=?*
*
其中利用了矢量混合的循环关系
()()()B A C A C B C B A ??=??=??
及关系式
()()().B A C C A B C B A ?-?=??
因为()b a ? 矢量平行于 c 所以
()()[]()()[].
04,
0422
22
=???Ω
=?=???Ω
=?***
*
b a a
c c b b a c b c a π
π 将以上诸式代入（1）式得
hkl
d ,3)(4222
222
c
l a hk k h +++=- 即
hkl d =2
122
22])()(34[-+++c l a
hk k h （4）单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足c b a ≠≠ 和
90==γα, 90≠β 晶胞体积 βsin )(abc a c b =??=Ω 由
a []Ω?=
*c b π2
b []Ω?=*a
c π2 c []Ω
?=*b a π2 得其倒格子基矢长度
a ,sin 2sin 2β
π
βπa abc bc a ==*=*
及 b b
b π2==**
c β
π
sin 2ac c =
*=*
倒格基矢间的点积
()()c b b a a c ???Ω
=?*
*
22
4π
=()()()()[]b b c a c b b a ??-??Ω
22
4π
=β
βγαπ2
22sin )cos cos (cos 4abc c ab -
因为)(a c ?矢量平行于b 所以
()()[]042
2
=???=
?*
*
a c c
b b a ππ
()()[]b a a c c b ???Ω
=?*
*
22
4π
将以上诸式代入
()()(
)[
]
*******
**?+?+?+++=c a hl c b kl b a hk c l b k a h d a hkl 2224112222222
π
得到
ββββ2
222222222sin cos 2sin sin 1ac hl c l b k a h d hkl -++= =+???? ??++ac hl c l a h 2sin 122222β22
b k 即 2
122
22222cos 2sin 1-??
?
??
?+???? ??-+=b k ac hl c l a h d hkl
β
β
10．求晶格常数为 a 的面心立方和体立方晶体晶面族()321h h h 的面间距 [解答]
面心立方正格子的原胞基矢为
a ()k j a
+=21
()i k a
a +=22
()j i a
a +=2
3
由 [][][],2,2,2213132321Ω
?=Ω?=Ω?=
a a
b a a b a a b πππ
可得其倒格基矢为 (),21k j i a
b ++-=π
(),22k j i a b +-=π
(),23k j i a
b -+=π
倒格矢
.332211b h b h b h K h ++= 根据《固体物理教程》（1。16）式 ,2321h
h h h K d π=
得面心立方晶体面族 ()321h h h 的面间距 h
h h h K d π2321= =
()()()
[]
2
123212
3212
32
1
h h h h h h h h
h a
-+++-+++-
体心立方正格子原胞基矢可取为
()k j i a
a ++-=21
()k j i a
a +-=22
()k j i a
a -+=2
3
其倒格子基矢为
()k j a b +=π
21 ()i k a b +=π
22 ()j i a b +=π
23 则晶面族()321h h h 的面间距为 ()()()[]
2
12
212132322321h h h h h h a
K d h h h h +++++==
π
11．试找出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面和最密的线。
[解答]
由上题可知，体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族 ()321h h h 的面间距 ()
()()
2
212
132
32321h h h h h h a
d h h h +++++=
可以看出，面间距最大的晶面族就是{}001，将该晶面指数代入《固体物理教
程》（1.32）式，得到该晶面族对应的密勒指数为{
}110 面间距最大的晶面上的
格点最密，所以密勒指数{}
110晶面族是格点最密的面，格点最密的线一定分布在格点最密的面上，由图1.14虚线标出的(110)晶面容易算出，最密的线上格点的周期为
图 1.14 体心立方晶胞
2
3a
由上题还知，面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族()321h
h
h的面间距
()()()2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
3
2
1h
h
h
h
h
h
h
h
h
a
d
h
h
h
-
+
+
+
-
+
+
+
-
=
可以看出，面间距最大的晶面族是{}
111。由本章第15题可知，对于面心立方晶体，晶面指数()321h
h
h与晶面指数(hkl)的转换关系为
()()()()
{},
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
h
h
h
h
h
h
h
h
h
p
hkl-
+
+
-
+
+
-
=
将晶面指数{}
111代入上式，得到该晶面族对应的密勒指数也为{}
111.面间距最大晶面上的格点最密，所以密勒指数{}
111晶面族是格点最密的面,格点最密的线一定分布在格点最密的面上,由图1.15虚线标出的(111) 晶面上的格点容易算出,最密的线上格点的周期为
2
2a
图1.15面心立方晶胞
12．证明晶面 ()()'3'2
'1321,h h h h h h 及 ()"3"2"1h h h 属于同一晶带的条件 0"3
"2
"1'3'
2'
132
1=h h h h h h h h h
[解答]
设原胞坐标系中的倒格子基矢为,,,321b b b 则晶面()321h h h ，()'3'2
'1h h h 及 ()"3"2"1h h h 的倒格矢分别为
.
,,
3"32"21"13'
32'21'1332211"'b h b h b h K b h b h b h K b h b h b h K h h h ++=++=++=
当三个晶面共晶带时,它们的交线相互平行,这些交线都垂直于倒格矢h K 'h K "h K 即h K 'h K "h K 位于同一平面上,于是有
()
0"'=??h h h K K K
利用正倒格子的关系
[][][]*
**Ω?=Ω?=Ω?=
213
13221`2,2,2b b b b b b b b a πππ得
()()()
],[22
"1
"
3
'1'
31
"3
"2'3'23
"2
"
1'
2
'11
3"
3'1"1'332"2'3"3'221"1'2"2'1"'a h h h h a h h h h a h h h h b b h h h h b b h h h h b b h h h h K K h h ++Ω=?-+?-+?-==?*π
式中*Ω为倒格原胞体积,于是得到
(). 1
"3
"2
"
1'3'2'
1321"
1"3'
1'
32"3"2'3'2
1"
2"1'
2
'13"'h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h K K K h h h =++=??Ω*
代入(1)式,得
="3
"2
"
1'3'2'132
1h h h h h h 0
13.晶面 ()()'
3'2
'1321,h h h h h h 的交线与晶列 ,332211a l a l a l R l ++=
平行,证明
.,,'
2
'
12
1
3'1'313
2'3'232
1h h h h l h h h h l h h h h l ===
[解答]
与晶面()()'
3'2
'1321,h h h h h h 垂直的倒格矢分别为 ,
,
3'
32'21'1332211'b h b h b h K b h b h b h K h h ++=++=
晶面的交线应同时与h K 和'h K 垂直,即与'h h K K ?平行,而
,221'
313
1'3'2
32
3'2
'1
2
1131
'
31
3
32'3'23221
'2'12
1'??
?
???++
Ω=?+?+?=?*
a h h h h a h h h h a h h h h
b b h h h h b b h h h h b b h h h h K K h h π
式中 ()321b b b ??=Ω* 为倒格原胞体积 ,321,,a a a 为正格原胞基矢
已知晶面()()'
3'2
'1321,h h h h h h 的交线与晶列332211a l a l a l R l ++=平行,即l R 和"'h h K K ?平行,因此321,,l l l 可取为
'
2
'
121
3'1'313
2'3'232
1,,h
h h h l h h h h l h h h h l ===
.
14．今有正格矢 .
,,
3"2"1"3'2'1'321a n a m a l w a n a m a l v na ma la u ++=++=++= 其中n m l ,,; ''',,n m l 及""",,n m l 均为整数,试证w v u ,, 可选作基矢的充分条件是
.1"
'
"'±=n n n
m m m [解答] 解法一:
固体物理原胞的选取方法有无数种,但它们有一个无同的特点,即它们的体积都相等,是晶体的最小重复单元。因此 w v u ,, 可选作基矢的充分条件是，由基矢
w v u ,, 构成的原胞体积一定等于由基矢321,,a a a 构成的原胞体积，即
()()Ω=??=??321a a a w v u 将
3
"2"1"3'2'1'321,,
a n a m a l w a n a m a l v na ma la u ++=++=++= 代入()w v u ??得
()w v u ??
(
)
()(
)
()()()[]
(
)
(
)()
."
'
"'
"'"'"
'"
'
"
'"'"'32"'"'32"'"'21"'"'Ω=Ω
-+Ω-+Ω-=?-+?-+?-?=n n n
m m m l l l n l l
n m m n n m l l m m l n a a n l l n a a m n n m a a l m m l u
将上式代入（1）得
.1"
'
"'"
'±=n n n
m m m l l l
解法二：
设zw yv xu a ++=1，当w v u ,,为基矢时，z y x ,,应取整数值，将
.
,,3"2"1"3'2'1'321a n a m a l w a n a m a l v na ma la u ++=++=++= 代入zw yv xu a ++=1 得
()()()
.3"'2"'1"'1a zn yn xn a zm ym xm a zl yl xl zw yv xu a ++++++++=++=
由此得方程组???
??=++=++=++001"'"'"'zn yn xn zm ym xm zl yl xl
解方程得
.,0011
,
0011
,0011
"
'
"'
"'
'
''
""""
'
"'
"'n n n
m m m l l l n n m m l
l
z n n m m l l y n n m m l l x =??
=
?
=?
=
由于z y x ,,的表示式中的三分子的行列式的值均为整数，z y x ,,为整数，因此
w v u ,,可选作基矢的充分条件是
1"
'
"'"
'±=n n n
m m m l l l 15．对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为()hkl ，求对应的原胞坐标中的面指数()321h h h 若已知()321h h h 求对应的密勒指数()hkl 。
[解答]
由《固体物理教程》（1。3）式和（1。4）两式得面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢321,,b b b 与晶胞坐标系中的倒格基矢***c b a ,,的关系为
()()
()()
()()
.2,2,2321*********-+=-+=+-=+-=++-=++-=
c b a k j i a b c b a k j i a b c b a k j i a b π
π
π
也即
()()().
212,212,21
2211332b b k a c b b j a b b b i a a +==+==+==
***πππ
与晶面族()hkl 垂直的倒格矢
()()()[](),2
1
212
1
332211321321b h b h b h p pK b k h b h l b l k lc kb ha K h h h hkl ++==+++++=
++=***
321h h h K 与晶面族 ()321h h h 正交，因此，若已知晶面族的密勒指数(hkl )则原胞坐标
系中的面指数
()()(){}k h h l l k p
h h h +++=)(1321
其中 p 是()()k h h l l k +++,),(的公约数 同样
()()()(
)
.
'
'
321321321332211321*
*****++==-+++-+++-=++=lc kb ha p K p c h h h b h h h a h h h b h b h b h K hkl h h h
hkl K 与晶面族 (hkl ) 正交，因此，若已知晶面族的面指数 ()321h h h 则晶胞坐标系
中的面指数 (hkl )()()(){},1
321321321'h h h h h h h h h p
-++-++-=
其中 'p 是 ()()()321321321,,h h h h h h h h h -++-++- 的公约数。 16．证明不存在5度旋转对称轴。 [解答]