一元二次不等式及其解法(例题分类)
一对一个性化辅导教案
一元二次不等式及其解法
【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：
250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为
{}2
1
x x x x x ><或，不等式2
0ax
bx c ++<的解集为{}21x x x x <<
要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照
0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或
20ax bx c ++<(0)a >的解集.
二次函数
c
bx ax y ++=2（0>a ）的图象
20(0)ax bx c a ++=>的根
有两相异实
根
)(,2121x x x x <
有两相等实
根
a
b
x x 221-
==
无实根
的解集
)0(02>>++a c bx ax
{}
2
1
x x x x x ><或
?
?
????-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}
21
x x x
x <<
?
?
要点诠释：
（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?：
①0?>时，求出两根12x x 、
②0?=时，求根a
b
x x 221-==③0?<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.
要点诠释：
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】
类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式
（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+->
举一反三：
【变式1】已知函数222,0,
()2,0x x x f x x x x ?+≥?=?-+
解不等式f (x )＞3.
类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例2．解关于x 的不等式：ax 2-x+1>0
【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：
【变式1】解关于x 的不等式：)0(01)1
(2≠<++-a x a
a x
【变式2】求不等式12x 2
－ax ＞a 2
(a ∈R )的解集． .
例3．解关于x 的不等式：ax 2－(a+1)x+1＜0.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
【变式2】解关于x 的不等式：ax 2＋2x-1<0；
类型三：一元二次不等式的逆向运用
例4. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集.
举一反三：
【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3 【变式2】已知220ax x c ++>的解为11 32x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->. 【变式3】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集. 类型四：不等式的恒成立问题 例5．已知关于x 的不等式(m 2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3>0对一切实数x 恒成立，数m 的取值围. 举一反三： 【变式1】 若关于x 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值围. 【变式2】已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立， 数a 的取值围．