根的判别式的应用
情境导入
鲁迅先生在《古小说钩沉》辑本中有一则《执竿入城》的寓言：“鲁有执长竿入城门者，初竖执之，不可入，横执之，亦不可入，计无所出，俄有老父至，曰：吾非圣人，但见事多矣，何不以锯中截而入？遂依而截入．”
我国当代数学家许淳舫教授将寓言《执竿入城》编成了一道趣味数学题，收入《古算趣味》中：
笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹；
横多四尺竖多二，没法急得放声哭；
有个自作聪明者，教他斜竹对两角；
笨伯依言试一试，不多不少刚抵足；
借问竿长多少数，谁人算得我佩服．
同学们，你能根据诗中的内容列出方程吗？这个方程和我们之前学过的方程又有什么不同？
重点难点根的判别式的应用
河南刘振超
自主学习
课堂探究
1.用根的判别式判定方程根的情况
例
A.有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
B.没有实数根 D. 无法判断
解题思路：先找出a，b，c的值，再计算根的判别式b2-4ac的值，由 与0的关系来判断方程根的情况．
解：
2.确定方程中字母的取值范围
例2（2017?淄博）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）
A．k＞-1 B．k＞-1且k≠0 C．k＜-1 D．k＜-1或k=0
解题思路：根据方程根的情况，得?＞0，从而建立关于k的不等式，解这个不等式，求得k的取值范围，然后再根据一元二次方程的定义可知k≠0，进而可知k的取值范围．
解：
3.判别三角形的形状
例3关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解题思路：根据方程根的情况，可得?=0，从而建立关于a，b，c的等式，然后将等式进行变形，即可判断△ABC的形状．
交流探索
例4已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0，试判断方程根的情况．
解题思路：欲判断方程根的情况，需要准确找出a，b，c的值，然后计算b2-4ac，得出含m 的代数式，再将这个代数式用配方法化成（x-h）2+k的形式，即可判断出方程根的情况. 解：
参考答案
课堂探究：
例1 B
例2 B
例3 解：∵方程有两个相等的实数根，
∴?=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，
∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2.
∴△ABC是直角三角形.
交流探索：
解：例4 在方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0中，
?=[-（m+2）]2-4（2m-1）=m2-4m+8=（m-2）2+4，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4＞0.
∴方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0总有两个不相等的实数根．
(完整版)一元二次方程的根的判别式练习题
一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值 是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－ 1)(x 2+1)=0也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和 q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。
九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版
九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教 版 (教材P17习题21.2第13题) 无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．解：x2－5x＋6－p2＝0， Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0， 所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根． 【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数． 一判断一元二次方程根的情况 方程x2＋7＝8x的根的情况为(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．方程没有实数根 对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4. ∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根． 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长． 【解析】(1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论； (2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算． 解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根； (2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，
根的判别式练习(答案版)
一元二次方程根的判别式练习题 （一）填空 1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____． 2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数． 3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根． 5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____． 6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____． 7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是2 8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____． 10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____． 11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____． 12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____． 13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___． 14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____． 15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解． 16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根． （二）选择 那么α= [ ]． 18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]． 19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]． A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定． 20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]． 则该方程 [ ]． A．无实数根； B．有相等的两实数根； C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根． 22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]． A．2； B．0； C．1； D．3． 23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]． A．1； B．2； C．-1； D．0． 24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是 [ ]． A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数． [ ]． A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根； C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根． 26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]． A．-1； B．0； C．1； D．2． 29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]． A．4； B．1； C．-2； D．-6． 30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]． A．1； B．2； C．3； D． 4．
人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程 2 (1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221 6 k k k -+-的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】 解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2 则12123940x x x x a a +-?? ??-≥? ＝＝＝ ， 由条件，知12 1212 11x x x x x x ++==3， 即 33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0， Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221 06 k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17 8 k ≤ ， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221 6k k k -+-无意义. 综上，代数式221 6 k k k -+-的值为0 【点睛】 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC= ，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，
“根的判别式”的种种应用
“根的判别式”的种种应用 学习了一元二次方程的求根公式以后，为了研究问题的方便，我们把一元二 次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式x＝ a ac b b 2 4 2- ± - 中的b2－4ac称做为根的判别式，用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.至此，我们一般只知道：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根.反之也成立.至此，我们可以不解方程，利用根的判别式来判别根的情况.而事实上，一元二次方程根的判别式还许多其它的应用，为方便同学们的学习，现举例说明. 一、不解方程，判断根的情况 例1已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.…① （1）若x＝－1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由. 解（1）因为x＝－1是方程①的一个根，所以1+m－2＝0，解得m＝1. 所以原方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.所以方程的另一根为x＝2. （2）Δ＝b2－4ac＝m2+8，因为对于任意实数m，m2≥0，所以m2+8＞0， 所以对于任意的实数m，方程①有两个不相等的实数根. 说明运用根的判别式时，必须注意化方程为一元二次方程的一般形式，明确a，b，c的值. 二、确定字母系数的范围 例2已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是＿＿＿. 解因为于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，所以满足Δ＝22－4×(k+1)×(－1)＞0，且k+1≠0，解得k＞－2，且k≠－1. 说明利用根的判别式解题时，若原一元二次方程的二次项含有字母系数，则必须保证二次项系数不等于0这一隐含条件的限制. 三、字母系数的值 例3当m为何值时，关于x的一元二次方程x2－4x+m－1 2 ＝0有两个相等的 实数根？此时这两个实数根是多少？
求根公式及根的判别式
加强班求根公式及根的判别式 在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特点：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下几个方面有着广泛的应用： 利用判别式，判定方程实根的个数，根的特点； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。 例题1 （1）设a,b 是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则a+b 的值是 （2）满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。（全国初中数学竞赛题） 例题2 已知0132=+-a a ，那么=++ --2219294a a a （ ） A 、3； B 、5； C 、35； D 、65 例题3 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 例题4 设方程04|12|2=---x x ，求满足该方程的所有根之和。 例题 5 设关于x 的二次方程0)2()2()1(222=+++--a a x a x a ○1及 0)2()2()1(222=+++--b b x b x b ○ 2（其中a,b 皆为正整数，且a ≠b ）有一个公共根。求
a b a b b a b a --++的值。 例题6（1）关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ， （2）关于x 的方程0122 23=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是 例题7 把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□2x +□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （ ） A 、不存在； B 、有一组； C 、有两组； D 、多于两组； 例题8 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b,c 恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长。（湖北省荆门市中考题） 例题9 设方程4||2=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根。（重庆市竞赛题）
元二次方程的根的判别式练习题
一元 二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2 +bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 21+3x 1x 2+x 22=1，0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且 23x x 21=，求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3 －α2β－αβ2+ β3=0，求证：p=0,q<0 22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2 (m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根； (2)一个根大于2，另一个根小于1。
一元二次方程根的判别式练习题Word版
2.3 一元二次方程根的判别式 要点感知 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△= . （1）△>0?原方程有 的实数根，其根为x 1= ，x 2= . (2)△=0?原方程有 的实数根，这两个根为x 1=x 2=2b a -. (3)△<0?原方程 实数根. 注意：在运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数a 的条件. 预习练习1-1 (2013·昆明)一元二次方程2x 2-5x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 1-2 (2013·大连)若关于x 的方程x 2-2x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜-1 B.m ＞-1 C.m ＜1 D.m ＞1 1-3 (2012·梧州)关于x 的一元二次方程(a+1)x 2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是(B) A.a ＞-5 B.a ＞-5且a ≠-1 C.a ＜-5 D.a ≥-5且a ≠-1 知识点1 不解方程，判断根的情况 1.(2013·泰州)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是( ) A.x 2-3x+1=0 B.x 2+1=0 C.x 2-2x+1=0 D.x 2+2x+3=0 2.一元二次方程ax 2+bx+c=0中a ，c 异号，则方程的根的情况是( ) A.b 为任意实数，方程有两个不等的实数根 B.b 为任意实数，方程有两个相等的实数根 C.b 为任意实数，方程没有实数根 D.无法确定 3.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)3x 2-2x-1=0； (2)2x2-x+1=0； (3)4x-x 2=x 2+2. 知识点2 根据根的情况，确定字母系数的取值范围 4.(2013·钦州)关于x 的一元二次方程3x 2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A.m ＜3 B.m ≤3 C.m ＞3 D.m ≥3 5.已知(m-1)x 2+2mx+(m-1)=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A.m>12 B.m<12且m ≠1 C.m>12且m ≠1 D.12 ＜m ＜1 6.(2013·张家界)若关于x 的一元二次方程kx 2+4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是 . 7.已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0，问当k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程没有实数根. 8.(2013·成都)一元二次方程x 2+x-2=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 9.(2013·西宁)已知函数y=kx+b 的图象如图所示，则一元二次方程x 2+x+k-1=0根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
一元二次方程根的判别式的综合应用
一元二次方程根的判别式的综合应 用 一、知识要点： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac。 定理1 ax2+bx+c=0(a0)中，＞0方程有两个不等实数根. 定理2 ax2+bx+c=0(a0)中，=0方程有两个相等实数根. 定理3 ax2+bx+c=0(a0)中，＜0方程没有实数根. 2、根的判别式逆用（注意：根据课本反过来也成立）得到三个定理。 定理4 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个不等实数根＞0. 定理5 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个相等实数根＝0.
定理6 ax2+bx+c=0(a0)中，方程没有实数根＜0. 注意：（1）再次强调：根的判别式是指=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 (3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0. 二.根的判别式有以下应用： ①不解一元二次方程，判断根的情况。 例1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a0) 解：(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4,
∵=b2-4ac=32-42(-4)=41 方程有两个不相等的实数根。 (2)∵a0,方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， ∵=(-b)2-4a0=b2, ∵无论b取任何关数，b2均为非负数， 0，故方程有两个实数根。 ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 分析：由判别式定理的逆定理可知（1）＞0；（2）=0；（3）＜0；
九年级数学上册专题突破讲练根的判别式的深化应用试题新版青岛版
根的判别式的深化应用 一、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），它的解的情况由b 2－4ac 的取值决定，我们 通常用“?2-，即ac b 42 -=?。 方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况 =?b 2－4ac ＞0 两个不相等的实数根 =?b 2－4ac ＝0 两个相等的实数根 =?b 2－4ac ＜0 没有实数根 方法归纳：用b －4ac 可以判断方程根的情况，反过来，若已知方程根的情况，则可确定b 2－4ac 的取值。 二、根的判别式的应用 1. 判断一元二次方程根的情况。 2. 确定一元二次方程中字母系数的取值范围。 3. 确定一元二次方程根的某些特性，如是不是有理根。 方法归纳：（1）计算=?b 2－4ac 时注意a 、b 、c 表示各项系数，包括它们前面的符号； （2）关于根的判别式=?b 2－4ac 的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形，一般地，将表 示=?b 2－4ac 的代数式进行配方，利用非负数、非正数的概念，确定=?b 2－4ac 的正、负号。 总结： 1. 会讨论方程的根的情况，包括一元一次方程和一元二次方程。 2. 能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性，如：有理根、整数根等。 例题1 关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋（m －2）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 解析：这是含字母系数的一元二次方程，将字母视为数字即可。这里a ＝1，b ＝－m ，c ＝m －2。因为b 2－4ac ＝（－m ）2－4×1×（m －2）＝m 2－4m ＋8＝m 2－4m ＋4＋4＝（m －2）2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根。 答案：A 点拨：判断b 2－4ac 的正、负情况时，通常有两种情形，（1）已知判别式中某些字母的 取值范围，依此确定判别式?的取值范围；（2）一般要将表示b 2－4ac 的代数式进行配方， 利用偶次幂的非负性确定b 2－4ac 的正、负号。 例题2 定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们 称这个方程为“凤凰”方程，已知ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等 的实数根，则下列结论正确的是
公式法解一元二次方程与根的判别式
课题 公式法解一元二次方程与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。 因此对上面这个方程要进行讨论
一元二次方程根的判别式的多种应用
一元二次方程根的判别式的多种应用 一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下： 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况 2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根， ∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥- 又∵m-4≠0 ∴m≠4 ∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。 例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0 l 有两个不相等的实数根 l 有两个相等的实数根 l 有两个实数根 l 有一个实数根 l 有实数根 l 无实数根 评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。 三、证明方程根的性质。 例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0 ∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。 四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。 ∴m≥4且m≠0。 评析：对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0（a≠0）的根然后再代入公式，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解，即： Δ<0时不能在实数范围内因式分解； Δ≥0时能在实数范围内因式分解；进而当Δ为完全平方数时能在有理数范围内因式分解； 再进而当Δ=0时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方式。五、判定二次三项式为完全平方式。 例6、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例7、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）+3m—2是完全平方式。 六、利用判别式构造一元二次方程。 例8、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y） 求证：2y=x+z
公式法与根的判别式
八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。 因此对上面这个方程要进行讨论 因为2 040a a ≠>所以
根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok
一元二次方程专项练习60题 1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）当时，求m的值． 2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0， （1）若方程的一根为0，求实数a的值； （2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值． 3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？ 4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0． （1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根； （2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况． 5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值． （1）方程有两个相等的实数根； （2）方程有两个相反的实数根； （3）方程的一个根为0． 6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．
7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，求m 的值． 8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0． （1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x12+12m+x22=10，求m的值． 11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）若x12=11﹣x22，求k的值． 12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根 （1）求m的取值范围； （2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．
根的判别式的三种应用
根的判别式的三种应用 类型一：判断方程的解的情况 类型二、求字母系数的取值范围 类型三、证明一元二次方程根的情况 根、有两个不相等的实数、有两个相等的实数根 、只有一个实数根 、没有实数根 的根的情况是（） 的一元二次方程、关于D C B A ax x x 0112=-+时，求方程的根 ）当（况 时，判断方程的根的情）当（的一元二次方程、已知关于3231. 0222-===++m m m x x x 1 22 2 2 -012)1(12≠????=+--k k D k C k B k A k x x k x 且、、、、的取值范围（） ，则有两个不相等的实数根的方程、已知关于()()这两个实数根。相等的实数根，并求出数，使原方程有两个不选取一个合适的非零整对有实数根？取什么值时，原方程没当的方程、已知关于m m m x m x x 2)1(. 012222=++-()的值。出该方程的根；求取当最大整数值时：求）当（的最大整数值 ）求（有实数根。的一元二次方程 、已知关于11873222109863222+--- =+--x x x x a a x x a x 的值。，求满足条件的整数大于根都是整数，且有一根）如果方程的两个实数（实数根： ）求证：方程总有两个（的方程、已知关于m m x m mx x 121). 0(03)3(12≠=++-()的值。是等腰三角形时，求，当的长为实数根，第三边的长是这个方程的两个的两边若相等的实数根； 求证：该方程有两个不、已知一元二次方程k ABC BC AC AB ABC k k x k x ??=+++-5,2)1(. 0)12(222
公式法与根的判别式
公式法与根的判别式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0） 的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+ 2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式
根的判别式综合提高练习题(清稿)
一元二次方程根的判别式练习题 1、若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____． 2、若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____． 3、若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____． 4、如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是。 5、若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____． 6、二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___． 7、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 8、若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____． 9、当m 时，关于x的方程3x2－2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数根。 10、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－2=0的根的判别式的值等于4，则 m= 。 11、关于x的方程kx2+(2k+1)x－k+1=0的实根的情况是。 12、关于x的方程(k2+1)x2－2kx+(k2+4)=0的根的情况是。 13、当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根． 14、方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解． 15、求证：关于x的方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。 16、已知关于x的方程x2－2x－m=0无实根(m为实数)，证明关于x的方程 x2+2mx+1+2(m2－1)(x2+1)=0也无实根。
根的判别式的应用
情境导入 鲁迅先生在《古小说钩沉》辑本中有一则《执竿入城》的寓言：“鲁有执长竿入城门者，初竖执之，不可入，横执之，亦不可入，计无所出，俄有老父至，曰：吾非圣人，但见事多矣，何不以锯中截而入？遂依而截入．” 我国当代数学家许淳舫教授将寓言《执竿入城》编成了一道趣味数学题，收入《古算趣味》中： 笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹； 横多四尺竖多二，没法急得放声哭； 有个自作聪明者，教他斜竹对两角； 笨伯依言试一试，不多不少刚抵足； 借问竿长多少数，谁人算得我佩服． 同学们，你能根据诗中的内容列出方程吗？这个方程和我们之前学过的方程又有什么不同？ 重点难点根的判别式的应用 河南刘振超 自主学习 课堂探究 1.用根的判别式判定方程根的情况 例 A.有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 B.没有实数根 D. 无法判断 解题思路：先找出a，b，c的值，再计算根的判别式b2-4ac的值，由 与0的关系来判断方程根的情况． 解： 2.确定方程中字母的取值范围 例2（2017?淄博）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（） A．k＞-1 B．k＞-1且k≠0 C．k＜-1 D．k＜-1或k=0
解题思路：根据方程根的情况，得?＞0，从而建立关于k的不等式，解这个不等式，求得k的取值范围，然后再根据一元二次方程的定义可知k≠0，进而可知k的取值范围． 解： 3.判别三角形的形状 例3关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由. 解题思路：根据方程根的情况，可得?=0，从而建立关于a，b，c的等式，然后将等式进行变形，即可判断△ABC的形状． 交流探索 例4已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0，试判断方程根的情况． 解题思路：欲判断方程根的情况，需要准确找出a，b，c的值，然后计算b2-4ac，得出含m 的代数式，再将这个代数式用配方法化成（x-h）2+k的形式，即可判断出方程根的情况. 解： 参考答案 课堂探究： 例1 B 例2 B 例3 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴?=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0， ∴4b2-4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2. ∴△ABC是直角三角形. 交流探索： 解：例4 在方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0中， ?=[-（m+2）]2-4（2m-1）=m2-4m+8=（m-2）2+4， ∵（m-2）2≥0， ∴（m-2）2+4＞0. ∴方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0总有两个不相等的实数根．
一元二次方程根的判别式专题训练
一元二次方程根的判别式专题训练 1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ． 2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________. 3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2 220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、，则a b +=_________. 4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中，正确的是（ ） A ．一元二次方程22 452 x x ++=有实数根； B. 一元二次方程23 452 x x ++=有实数根； C. 一元二次方程25 453x x ++= 有实数根； D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根. 5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，则ac b 42 -满足的条件是 Ａ．ac b 42 -＝0 Ｂ．ac b 42-＞0 Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）= . 7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根， 求m 的值及方程的根． 8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根？ 9. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根. 10. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x