北京四中高考数学总复习 定积分和微积分基本定理知识梳理教案
【考纲要求】
1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念及其基本定理。
2.正确计算定积分,利用定积分求面积。 【知识网络】
【考点梳理】
要点一、定积分的概念
定积分的定义:如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点
011i i n a x x x x x b -=<??<<??<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=???,作和式1
1
()()n
n
n i i i i b a
I f x f n
ξξ==-=?=∑∑
,当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作
()b
a
f x dx ?
,即()b
a
f x dx ?=1
lim ()n
i n i b a
f n
ξ→∞
=-∑
,这里,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[,]a b 叫做积分区间,函数()f x 叫做被积函数,x 叫做积分变量,()f x dx 叫做被积式.
要点诠释:
(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;
(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 要点二、定积分的性质
(1)()()b
b
a a
kf x dx k f x dx =?
?(k 为常数),
(2)[]1212()()()()b
b b
a a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±???,
(3)
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??(其中b c a <<),
(4)利用函数的奇偶性求积分:
若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数,则
()0b
b
f x dx -=?
;
定积分的概念
定积分的性质
微积分基本定理
定积分的几何意义及应用
若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数,则0
()2()b
b
b
f x dx f x dx -=?
?.
要点三、微积分基本定理
如果'()()F x f x =,且)(x f 在[]b a ,上连续,则
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
,其中()
F x 叫做)(x f 的一个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数,其中c 为常数.
一般地,原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()b a
F x .因此,微积分基本定
理可以写成形式:
()()
()()b
b a
a
f x dx F x F b F a ==-?
.
要点诠释:
求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.
要点四、定积分的几何意义
设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上,当0)(≥x f 时,定积分
?
b
a
dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线
b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的面积;如图(1)所示.
在[]b a ,上,当0)(≤x f 时,由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方,定积分
?
b
a
dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;
在[]b a ,上,当)(x f 既取正值又取负值时,定积分
?
b
a
dx x f )(的几何意义是曲线
)(x f y =,两条直线b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积
积分时取正号,在x 轴下方的面积积分时,取负号.如图(2)所示.
要点五、应用
(一)应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图,由三条直线x a =,x b =()a b <,x 轴(即直线()0y g x ==)及一条曲线
()y f x =
(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积:()[()()]b
b
a
a
S f x dx f x g x dx =
=-?
?;
2. 如图,由三条直线x a =,x b =()a b <,x 轴(即直线()0y g x ==)及一条曲线
()y f x =
(
)(≤x f )
围成
的曲边梯形的面积:
()()[()()]b
b
b
a
a
a
S f x dx f x dx g x f x dx =
=-=-?
??;
3. 如图,由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =,x b =()a b <围成图形的面积公式为:1212[()()]()()b
b b
a
a
a
S f x dx f x f x dx f x dx =
-=-?
??.
4.利用定积分求平面图形面积的步骤:
(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像;
(2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)写出定积分表达式; (4)求出平面图形的面积.
(二)利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S ,等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分,即()b
a S v t dt =?.
②变力作功
物体在变力()F x 的作用下做直线运动,并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <,那么变力()F x 所作的功W =()b
a
F x dx ?
.
【典型例题】
类型一:运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分
(1)?-π0)cos (sin dx x x ; (2)dx x
x x ?+-2
12
)1(; (3)?-+0)(cos πdx e x x
.
【解析】(1)∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ,
∴
00
(sin cos )(cos sin )2-=--=?
x x dx x x π
π;
(2)∵2321
(ln )23'-+=-+x x x x x x
, ∴
232
22
1
1
15
()(ln )
ln 223
6
x x x x dx x x -+=-+=-?
.
(3)∵(sin )cos '+=+x
x
x e x e ,
∴
01(cos )(sin )
1x x x e dx x e e
π
ππ
--
+=+=-
?; 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理,其关键是找出使得
()()F x f x '=的原函数()F x 。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反
方向求()F x ,即利用求导函数与求原函数互为逆运算。
举一反三:
【变式】计算下列定积分的值:
(1)
dx x x ?
+20
)sin (π
, (2)1
80
(8)x x dx -?
【解析】(1)2
2
2200
1(sin )(cos )
12
8
x x dx x x ππ
π+=-=
+?
(2)91
8
01871
(8)()0ln893ln 29
x x
x x dx -=-=-?
【高清课堂:定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】
例2.
求
【解析】
2420
4
420
4
420
4
sin cos sin cos sin cos (cos sin )(sin cos )(sin cos )(cos sin )
112
x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx
x x x x π
π
π
ππ
π
ππ
π
π
==-=-+-=-+-=++--=--+=-?????
【总结升华】化简被积函数是积分的前提,直到最简为止. 举一反三:
【变式】计算下列定积分的值. (1)
3
1
[(4)]x x dx --?
; (2)231
(1)x dx -?; (3
)2
2
1
dx ?; 【解析】(1)
3
322
33111
120[(4)](4)(2)33
x x dx x x dx x x ----=-=-=??, (2)223324322
111131(1)(331)()424
x dx x x x dx x x x x -=-+-=-+-=??.
(3
)
2
2222
11
1117(2)(2ln )|ln 222dx x dx x x x x =++=++=+?
?.
例3.求定积分
3,[0,1]
()[1,2]2,[2,3]x x x f x x x ?∈=∈∈??
,求函数)(x f 在区间[]3,0上的积分;
【解析】
3
1230
1
2
()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx =++?
???13
3
1
2
2x x dx xdx dx =++??
?
34212322
01243
ln 2x
x x =++
544
2123ln 2
=-
+. 【总结升华】当被积式为分段函数时,应分段积分。 举一反三: 【变式】求定积分:3
1x dx -?
;
【解析】
3
1x dx -?
=1
1x dx -?+3
1
1x dx -?
=
1
(1)x dx -?
+3
1
(1)x dx -?
=2123
01
11()|()|22x x x x -
+- =15222
+= 类型二:利用定积分的几何定义 例4. 求定积分:
20
16x dx -?
;
【解析】设216y x -2
2
16x y +=(0,04)y x ≥≤≤表示
4
1
个圆, 由定积分的概念可知,所求积分就是4
1
圆的面积, 所以
20
161644
x dx π
π-=
=?
举一反三: 【变式】求定积分:
20
16x dx -?
【解析】设216y x -2
2
16x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示如图的曲边形,
其面积2
233
S S S π?=+=+扇形故
20
2
16233
x dx π-=+?
.
类型三:利用定积分求平面图形面积
例5.求直线32+=x y 与抛物线2
x y =所围成的图形面积.
【解析】如图,由2
23y x y x
=+??
=?得,交点(1,1)A -,(3,3)B ,
所求面积:
3
21[(23)]S x x dx -=+-?233
1
1
32(3)
3
3
x x x -=+-=
. 【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想,是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是:
(1)画出图形,并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形;
(2)找出相关曲线的交点坐标,即解方程组,确定每个曲边梯形的积分区间(即积分上下限);
(3)确定被积函数,即解决“积什么”的问题,是解题的关键; (4)写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式; (5)计算各个定积分,求出所求的面积.
举一反三:
【高清课堂:定积分和微积分基本定理394577 典型例题一】
【变式1】由直线12x =,2x =,曲线1
y x
=及x 轴所围图形的面积为( ). A .154 B .174 C .1
ln 22
D .2ln 2
【解析】2
21
12
2
1
1
ln ln 2ln()2ln 22
S dx x x
===-=?
【答案】D
【变式2】在曲线)0(2
≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为
12
1
. 试求:切点A 的坐标以及切线方程. 【解析】设点2
A(,)t t ,则切线2
2()y t t x t -=-,即2
2y tx t =-,则
由2
02y y tx t
=??
=-?,得点(,0)2
t B ,
∴
222202
1
[(2)]12t
t t x dx x tx t dx =+--??, ∴332220
2
11
1()3
3
12
t t t x x tx t x +-+=
,即3111212t =,解得1t =.
∴切点A(1,1),切线21y x =-.
类型四:利用定积分解决物力问题
例 6. 汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以匀减速度1.8a =米/秒2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离?
【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间,
当0t =时,汽车速度032v =公里/小时=
321000
3600
?米/ 秒≈8.88米/秒.
刹车后汽车减速行驶,其速度为0()8.88 1.8V t V at t =-=-. 当汽车停车时,速度()0V t =, 故从()8.88V t =到()0V t =用的时间8.880
4.931.8
t -=
≈秒. 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93
4.93
()(8.88 1.8)S V t dt t dt ==-?
?
=2 4.93
01
(8.88 1.8)|21.902
t t -?≈米.
即在刹车后,汽车需走过21.90 米才能停住.
【总结升华】解决实际应用问题,解题的关键是弄清事物变化发展的规律,再根据规律变化找到相应的函数式.
举一反三:
【变式1】一物体在力()34F x x =+的作用下,沿着与F 相同的方向,从0x =处运动到4x =处,求力F 所做的功。
【解析】4
40
0()(34)W F x dx x dx =
=+?
?24
03(4)|402
x x =+=.
【变式2】 一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度
55
()51v t t t
=-+
+(单位:/m s )紧急刹车至停止。求: (1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间; (2)紧急刹车后火车运行的路程。 【解析】(1)由55
()501v t t t
=-+
=+解得10t =,因此,火车经过10s 后完全停止; (2)10
55(5)1s t dt t =-++?
=10
20
1555ln(1)2t t t ??
-++????55ln11()m =。
定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 【考纲要求】 1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、换底公式与自然对数; 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质;底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法; 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、对数概念及其运算 我们在学习过程遇到2x =4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2x =3时,我们就 无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1.如果()01b a N a a =>≠,且,那么数 b 叫做以a 为底N 的对数, 记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数恒等式:log log a b N a a N a N N b ?=?=?=? 3.对数()log 0a N a >≠,且a 1具有下列性质: (1)0和负数没有对数,即0N >; (2)1的对数为0,即log 10a =; (3)底的对数等于1,即log 1a a =. (二)常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数,N N lg log 10简记作. 对数与对数函数 图象与性质 对数运算性 质 对数函数的图 像 与 对 数 的 概 念 指对互化 运 算 以e 为底的对数叫做自然对数, log ln e N N 简记作. (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示. 由此可见a ,b ,N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>,且,、 (1)()log log log a a a MN M N =+; 推广:()()12 1212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、 (2)log log log a a a M M N N =-; (3)log log a a M M αα=. (五)换底公式 同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a ≠1, M>0的前提下有: (1) )(log log R n M M n a a n ∈= 令 log a M=b , 则有a b =M , (a b )n =M n ,即n b n M a =)(, 即n a M b n log =,即:n a a M M n log log =. (2) )1,0(log log log ≠>= c c a M M c c a ,令log a M=b , 则有a b =M , 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c 即M a b c c log log =?, 即a M b c c log log =, 即)1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
北京四中高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理教案
定积分及微积分基本定理练习题及答案