2019学年数学人教A版选修4-5优化复习：第二讲 三 反证法与放缩法
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()
A．两个都是偶数
B．一个是奇数，一个是偶数
C．至少一个是偶数
D．恰有一个是偶数
解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．
答案：C
2．设x>0，y>0，A＝
x＋y
1＋x＋y
，B＝
x
1＋x
＋
y
1＋y
，则A与B的大小关系为()
A．A≥B B．A≤B C．A>B D．A 解析：A＝ x 1＋x＋y ＋ y 1＋x＋y < x 1＋x ＋ y 1＋y ＝B. 答案：D 3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1 y，b＝y＋ 1 z，c＝z＋ 1 x，则a、b、c三个数() A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，这与 a＋b＋c＝x＋1 y＋y＋ 1 z＋z＋ 1 x≥6矛盾．故选C. 答案：C 4．设M＝ 1 210＋ 1 210＋1 ＋ 1 210＋2 ＋…＋ 1 211－1 ，则() A．M＝1B．M<1 C．M >1 D．M与1大小关系不定 解析：M是210项求和，M＝ 1 210＋ 1 210＋1 ＋ 1 210＋2 ＋…＋ 1 211－1 < 1 210＋ 1 210＋ 1 210＋…＋ 1 210＝ 1，故选B. 答案：B 5．若f (x )＝? ????12x ，a ，b 都为正数，A ＝f ? ????a ＋b 2，G ＝f (ab )， H ＝f ? ?? ??2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤A D ．H ≤G ≤A 解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2 ＝2ab a ＋b ， 又∵f (x )＝? ?? ??12x 为单调减函数， ∴f ? ????a ＋b 2≤f (ab )≤f ? ?? ??2ab a ＋b ， ∴A ≤G ≤H . 答案：A 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证： |f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的假设应该是________． 答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥12 7．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b | ，则m ，n 之间的大小关系是________． 解析：m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b | ＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b | ＝1. 答案：m ≤n 8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋b b ＋2 ，则M 与N 的大小关系是________． 解析：∵a >0，b >0， ∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2＝a ＋b a ＋b ＋2 ＝M . ∴M 答案：M 9．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]． 从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d 2. ∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d 2 ＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 10．求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <3(n ∈N ＋)． 证明：由11×2×3×…×k <11×2×2×…×2＝12 k －1(k 是大于2的自然数)， 得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋1＋12＋122＋123＋…＋12 n －1＝ 1＋1－12n 1－12 ＝3－12n －1<3. ∴原不等式成立． [B 组 能力提升] 1．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1 (n ＝1,2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1 B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1 C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1 D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0 解析：“x n 答案：B 2．若α∈? ?? ??π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|， Q ＝ 1 2sin 2α，则它们之间的大小关系为( ) A ．M >N >P >Q B ．M >P >N >Q C ．M >P >Q >N D ．N >P >Q >M 解析：∵α∈(π，54π)，∴0>sin α>cos α. ∴|sin α|<|cos α|， ∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|) >12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M . P ＝12|sin α|＋|cos α| <12 (|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N . ∴N >P >M . 对于Q ＝ 12sin 2α＝ sin αcos α<|sin α|＋|cos α|2 ＝P . 而Q ＝sin αcos α> sin 2α＝|sin α|＝M . ∴N >P >Q >M . 答案：D 3．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________． 解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”． 答案：直径的数目至少为n ＋1条 4．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c ，使f (c )>0, 则实数p 的取值范围是________． 解析：假设在 [－1,1]内没有值满足f (c )>0， 则??? f (－1)≤0，f (1)≤0，所以????? p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32， 所以p ≤－3或p ≥32，取补集为p ∈? ????－3，32. 故实数p 的取值范围是? ???? －3，32. 答案：? ????－3，32 5．已知0 ① 由于0 ∴0 同理：0 ∴三式相乘得：0 ② ②与①矛盾，故假设不成立． ∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 法二：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1. ∴x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x )>3. ③ 又x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x )≤x ＋(2－y )2＋y ＋(2－z )2＋z ＋(2 －x )2＝3④ ④与③矛盾，故假设不成立． ∴原题设结论成立． 6．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2? ????1＋1n 2·a n (n ∈N ＋)， (1)求a 2，a 3并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝n a n ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <710. 解析：(1)∵a 1＝2，a n ＋1＝2(1＋1n )2·a n (n ∈N ＋)， ∴a 2＝2(1＋11)2·a 1＝16，a 3＝2(1＋12)2·a 2＝72. 又∵ a n＋1 (n＋1)2 ＝2· a n n2，n∈N＋， ∴{a n n2}为等比数列． ∴a n n2＝ a1 12·2 n－1＝2n， ∴a n＝n2·2n. (2)证明：c n＝n a n＝ 1 n·2n， ∴c1＋c2＋c3＋…＋c n ＝ 1 1·2＋ 1 2·22＋ 1 3·23＋…＋ 1 n·2n< 1 2＋ 1 8＋ 1 24＋ 1 4·( 1 24＋ 1 25＋…＋ 1 2n) ＝2 3＋ 1 4· 1 24[1－( 1 2) n－3] 1－ 1 2 < 2 3＋ 1 4· 1 24 1－ 1 2 ＝ 2 3＋ 1 32 ＝67 96＝ 670 960< 96×7 96×10 ＝ 7 10，所以结论成立． 中学数学教学中的反证法 在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法. 一、反证法的基本概念 1.反证法的定义 法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性. 2.反证法的基本思想 反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示： “否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定. 3.反证法的逻辑依据 通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于 初中数学知识点 1、一元一次方程根的情况 △=b2-4ac 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 当△<0时，一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质： ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。 ③平行四边形的对边/对角相等。 ④平行四边形的对角线互相平分。 菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。 矩形与正方形： ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等，四个角都是直角。 ③对角线相等的平行四边形是矩形。 ④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。 1 ⑤一组邻边相等的矩形是正方形。 多边形： ①N边形的内角和等于（N-2）180度 ②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度） 平均数：对于N个数X1，X2…X N，我们把（X1+X2+…+X N）/N叫做这个N个数的算术平均数，记为X 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。 二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 2 高中数学-反证法练习 基础达标(水平一) 1.若a,b,c不全为0,则只需(). A.abc≠0 B.a,b,c中至少有一个为0 C.a,b,c中只有一个是0 D.a,b,c中至少有一个不为0 【解析】a,b,c不全为0,即a,b,c中至少有一个不为0. 【答案】D 2.若两个数之和为正数,则这两个数(). A.一个是正数,一个是负数 B.都是正数 C.至少有一个是正数 D.都是负数 【解析】这两个数中至少有一个是正数.否则,若这两个数都不是正数,则它们的和一定是非正数,这与“两个数之和为正数”相矛盾,故选C. 【答案】C 3.有以下结论: ①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2; ②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1. 下列说法中正确的是(). A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确;②的假设错误 D.①的假设错误;②的假设正确 【解析】用反证法证明问题时,其假设是原命题的否定,故①的假设应为“p+q>2”;②的假设为“两根的绝对值不都小于1”.故①的假设错误,②的假设正确. 【答案】D 4.若a2+b2=c2,则a,b,c(). A.都是偶数 B.不可能都是偶数 C.都是奇数 D.不可能都是奇数 【解析】假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,因此a2+b2为偶数,而c2为奇数,即 a2+b2≠c2,这与a2+b2=c2矛盾,所以假设不成立,所以a,b,c不可能都是奇数. 【答案】D 5.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设. 【解析】“x≠a且x≠b”形式的否定为“x=a或x=b”. 【答案】x=a或x=b 6.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误; ②所以一个三角形不能有两个直角; ③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°. 上述步骤的正确顺序为. 【解析】由反证法证明的步骤,知先反证,即③;再推出矛盾,即①;最后做出判断,肯定结论,即②.所以正确的顺序应为③①②. 2019年初中毕业生数学试题（满分120分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1．如图，已知a ∥b ，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（ ） A ．120° B ．130° C ．140° D ．150° 2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．12的相反数是（ ） A ．12- B ．12 C ．2 D ．-2 4．下列整式的计算正确的是（ ） A ．2x -x =1 B ．3x ·2x =6x C ．(-3x )2=-9x 2 D ．(x 2)3=(x 3) 2 5 则这20 A ．19，20 B ．19，25 C ．18.4，20 D ．18.4，25 6．已知四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ∥CD ，则下列条件中不能．．判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A ．A B =CD B ．AD =B C C ．A D ∥BC D ．OA =OC 7. 某工厂接到加工600件衣服的订单，预计每天做25件，正好按时完成，后因客户要求提前3天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做x 件，依题意列方程正确的是（ ） A ． 60060032525x -=+ B ．60060032525 x -=+ C ．600600325x -= D ．600600325x += 8．如图，⊙O 的半径OA =8，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B ，C 点，则BC =（ ） A ． B ． C ． D ． 9．在数列3，12，30，60，……中，请你观察数列的排列规律，则第5个数是（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．120 本科生毕业论文 浅谈中学数学中的反证法 院系：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学 班级： 2008级数学与应用数学(2)班 学号： 200807110211 姓名：黎康乐 指导教师：陈志恩 完成时间： 2012年5月26日 浅谈中学数学中的反证法 摘要: 数学命题的证明分直接证法和间接证法两种．在间接证法中，最常见的是反证法．虽然平时我们接触了相关方面的知识，但比较零散，对其概念、应用步骤、使用范围等没有系统的认识，并且由于数学命题的多样性、复杂性，哪些命题适宜用反证法很难给出确切的回答.本课题通过查阅资料和自己在学习数学过程中的发现就中学数学中反证法的概念、反证法的逻辑依据、种类及步骤，解题过程中怎样由假设出发寻找矛盾、以及哪些类型的问题适宜从反证法出发进行证明的问题进行了归纳．并总结出在学习反证法的过程中应注意的三个方面，通过对以上提出的所有问题进行系统归纳，这有利于帮助学生系统的学习反证法，提高学生利用反证法进行解题的技巧从而达到预期效果. 关键词:反证法假设矛盾结论 Abstract:The mathematical proof points directly proofs proposition and indirect proof two. In indirect proof, the most common is required. Although peacetime we contact with the related knowledge, but is scattered, of the concept, application procedures, the scope of use of not understanding of the system, and the mathematical proposition the diversity and complexity, which is suitable for proposition is very difficult to give the exact with reduction to answer. This subject will be required in the middle school mathematics concept, apagoge is logical basis, types and steps, problem solving process of how a hypothesis of contradictions, and looking for what types of questions appropriate counter-evidence method from the proof of the set out on the induction. And summed up in the process of learning be should be paid attention in the three aspects, through all the questions put to the above system induce, this will help the students to learn the required system, improve the students use to problem solving skills required to achieve the expected effect. Key words:Counter-evidence method hypothesis contradiction conclusion 2019-2020年初三一模数学试卷及答案 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的） 1．－2的相反数是-------------------------------------------------------------（ ▲ ） A ．2- B ．2 C ．12- D ． 1 2 2．下列运算正确的是----------------------------------------------------------（ ▲ ） A ．743)(x x = B ．532)(x x x -=?-- C ．23x x x += D ． 2 22=x y x y ++（） 3．在正三角形、平行四边形、矩形、菱形和圆这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形 有 ---------------------------------------------------------------------- （ ▲ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4．下列说法正确的是------------------------------------------------------（ ▲ ） A 、两名同学5次成绩的平均分相同，则方差较大的同学成绩更稳定 B 、某班选出两名同学参加校演讲比赛，结果一定是一名男生和一名女生 C 、学校气象小组预报明天下雨的概率为0.8，则明天下雨的可能性较大 D 、为了解我市学校“阳光体育”活动开展情况，必须采用普查的方法 5．一组数据2，7，6，3，4, 7的众数和中位数分别是--------------------------（ ▲ ） A ．7和4.5 B ．4和6 C ．7和4 D ．7和5 6．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线为4cm ，则圆锥的全面积是------------------（ ▲ ） A ．16 cm 2 B ．16π cm 2 C ．8π cm 2 D ．24π cm 2 7. 下列命题中，是真命题的是---------------------------------------------（ ▲ ） A ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 B ．平分弦的直径垂直于弦 C ．依次连接四边形四边中点所组成的图形是矩形 D ．一组邻边相等的平行四边形是菱形 8. 若α，β是方程0200522=-+x x 的两个实数根，则βαα++32的值为--------（ ▲ ） A ．2005 ； B ． 2003 ； C. －2005； D. 4010； 9．如图，平面直角坐标系中，在边长为1的菱形ABCD 的边上有一动点P 从点A 出发沿 论文 反证法在数学中的应用 开封县八里湾镇第一初级中学 杨继敏 反证法在数学中的应用 摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法,它为一些从正面入手,无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设,来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面,有了柳暗花明又一村的境地,使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。在过去的数学学习中,许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化,尽管最后能达到目的，但往往费时费力,因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。 【关键词: 逆向思维;假设；归谬;数学逻辑推理；矛盾；结论。】 １．引言 反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法,在实际生活中的应用也比较广泛。 在不同的数学情境下,反证法的前提假设不同。因此，在数学中应用反证法,一定要具体问题提出相应具体正确的假设。这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此,还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。有关这个课题的研究,以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。但对反证法在数学中的应用,文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。本文就基于这方面的考虑,根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。 2. 反证法初探 ２.1 反证法的含义及逻辑依据 含义:所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立,从而证明“若p则ｑ”成立。它从否定结论出发,经过正确的严格推理,得到与已知（假设)或已成立的数学命题相矛盾的结果,从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。 2019北京初中数学 真题分类 第27题几何综合汇总 （一模考题） 2019北京各区一模真题之第27题几何综合题 01 昌平、15 西城 27. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF. (1) 求证：FB=FD； (2) 点H在边BC上，且BH=CE，连接AH交BF于点N. ①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论； ②连接CN.若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值. 27．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0<α<180），得到线段BD，且AD∥BC． （1）依题意补全图形； （2）求满足条件的α的值； （3）若AB=2，求AD的长． 27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA =CB．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE=DA．作点E关于直线BC 的对称点F，连接BF，DF. （1）依题意补全图形； （2）求证：∠CAD=∠BDF； （3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明． 27．如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C ?，连接AC ? 并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ． （1）求∠FDP 的度数； （2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明． （3）连接AC ，请直接写出△ACC ′的面积最大值． P B A 浅谈中学数学中的反证法 摘要：反证法在数学中是一种非常重要的间接证明方法，它被称为“数学家最精良的武器之一”，又称为归谬法、背理法。反证法不仅是一种论证方法，还是一种思维方式，对培养和提高学生的逻辑思维能力和创造性思维能力也有极其重要的作用，还能拓展学生的解题思路，从而使学生形成良好的数学思维。反证法在中学数学中有着广泛的应用，如今学生在运用反证法解题中，基础一般的学生会受到思维能力的限制，如果能恰当的使用反证法，在一些有难度的题目上也许能够得到解决。所以本文首先会叙述反证法的产生，具体阐述反证法的定义，即反证法的概念、分类、科学性，介绍反证法在中学数学中的应用并举例分析以及说明应用反证法要注意的问题。 关键词：反证法；中学数学；应用； On the Proof by Contradiction in Middle School Mathematics Abstract：Proof by contradiction is a very important indirect proof method in mathematics, it is called "one of the most sophisticated weapons of mathematicians", also known as reduction to absurdity, unreasonable method. Proof by contradiction is not only an argumentation method, but also a way of thinking. It plays an extremely important role in cultivating and improving students' logical thinking ability and creative thinking ability. It can also expand students' thinking of solving problems, so that students can form good mathematical thinking. Anyway, the method has been widely used in middle school mathematics. Nowadays, when students solve problems with the method of proof by contradiction, the students with general foundation are limited by their thinking ability. If the method of proof by contradiction can be used properly, they may be able to solve some difficult problems. Therefore, this paper will first describe the source of proof by contradiction, specifically elaborate the definition of proof by contradiction, that is, the concept, classification and logical basis of proof by contradiction, introduce the application of proof by contradiction in middle school mathematics and explain the problems to be noticed in the application of proof by contradiction. Keywords：proof by contradiction; Middle school mathematics; Application; 初中数学联赛试题 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试(A) 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1.设二次函数 2 22 2 a y x ax =++的图象的顶点为A，与x轴的交点为B,C.当△ABC为 等边三角形时，其边长为( ) A.6 B.22 C.23 D.32 2.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点E，AB=1，∠CAE=15°，则BE=( ) A. 3 3 B. 2 2 2-1 3 3.设p,q均为大于3的素数，则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对(p,q)的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.若实数a,b满足a-b=2,()() 22 11 4 a b b a -+ -=,则a5-b5=( ) A.46 B.64 C.82 D.128 5.对任意的整数x,y，定义x@y=x+y-xy，则使得(x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0的整数组(x,y,z)的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.设 1111 2018201920202050 M=++++ L，则 1 M 的整数部分是( ) A.60 B.61 C.62 D.63 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1.如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF=48°，则∠B=_______. 2.若实数x ,y 满足()3311542 x y x y +++=，则x +y 的最大值为_______. 3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_______. 4.已知实数a ,b ,c 满足a +b +c =0，a 2+b 2+c 2 =1，则555 a b c abc ++=_______. 第一试(B) 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1.满足(x 2+x-1)x+2的整数x 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知x 1,x 2,x 3 (x 1＜x 2＜x 3)为关于x 的方程x 3-3x 2+(a+2)x-a=0的三个实数根，则 22211234x x x x -++=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CD=4CE ，∠EFB=∠FBC ，则tan ∠AB F ＝( ) A.12 B.35 4.=的实数根的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 初中几何反证法专题 学习要求 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。 理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。 知识讲解 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 1．反证法的概念： 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 2．反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 3．反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正 确 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 例题： 例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。证明： 假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 （1） ∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得： OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。 例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的 中点，且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC 4.6 反证法 ◆基础练习 1．“a 8．如图，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠E=360°． 9．请举一个在日常生活中应用反证法的实际例子． ◆综合提高 10．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，?应先假设这个三角形中（ ） A ．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 11．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应假设______________． 12．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补． 132是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成 b a 的形式，且a ，b 互质） 14、试写出下列命题的反面： （1）a 大于2 _____________;（2）a⊥b _______________. 15、用反证法证明“若22a b ≠，则a b ≠”的第一步是______________. 16、填空：在△ABC 中，若∠C 是直角，那么∠B 一定是锐角. 证明：假设结论不成立的，则∠B 是__________或_________. ①当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾； ②当∠B 是_______时，则__________,这与____________________矛盾. 初中数学新课程标准(2011版) 目录 第一部分前言......................... 错误！未定义书签。 一、课程性质.............................. 错误！未定义书签。 二、课程基本理念.......................... 错误！未定义书签。 三、课程设计思路.......................... 错误！未定义书签。第二部分课程目标....................... 错误！未定义书签。 一、总目标................................ 错误！未定义书签。 二、学段目标.............................. 错误！未定义书签。第三部分内容标准....................... 错误！未定义书签。第三学段（7--9年级）..................... 错误！未定义书签。 一、数与代数.............................. 错误！未定义书签。 二、图形与几何............................ 错误！未定义书签。 三、统计与概率............................ 错误！未定义书签。 四、综合与实践............................ 错误！未定义书签。第四部分实施建议....................... 错误！未定义书签。 一、教学建议.............................. 错误！未定义书签。 二、评价建议.............................. 错误！未定义书签。 三、教材编写建议.......................... 错误！未定义书签。 四、课程资源开发与利用建议................ 错误！未定义书签。附录................................... 错误！未定义书签。附录1有关行为动词的分类 ................. 错误！未定义书签。 中考数学解题方法反证法专题 在初中数学题目的求解过程中，当直接证明一个命题比较复杂麻烦，甚至不能证明时，我们可以采用反证法.反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬 反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）. 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大于/不大于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个. 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知 条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾. 至于什么问题宜用反证法？这是很难确切回答的问题.下面我们就结合实例归纳几种常使用反证法的 情况. 一、基本定理或初始命题的证明 在数学中，许多基本定理是使用反证法来证明的，例如“过直线外一点只有该直线的一条平行线”，“过平面外一点只有平面的一条垂线”.因为在证明这种基本定理时，由于除已经学过的公理及其推论外，在此之前所导出的定理不多或者与此命题相关的定理不多. 例1在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直.求证：a与b平行. 证明假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”. 不妨设直线a，b的交点为M，a，b与c的交点分别为P，Q，如图1所示，则∠PMQ>0°. 这样，△MPQ的内角和=∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=∠PMQ+90°+90°>180°. 这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾.说明假设不成立. 反证法 从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证 明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 例1.[05.北京]设()f x 是定义在[0,1]上的函数，若存在'(0,1),x ∈使得()f x 在[0,']x 上单调递增，在[',1]x 上单调递减，则称()f x 为[0,1]上的单峰函数，'x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。 对任意的[0,1]上单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。求证：对任意的1212,(0,1),,x x x x ∈<若12()()f x f x ≥，则2(0,)x 为含 2019年初中数学知识点 中考总复习总结归纳 第一章 有理数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； …等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 第二章 整式的加减 考点一、整式的有关概念 （3分） 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2 3 14-，这种表示就是错误的，应写成b a 2 3 13- 。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。 考点二、多项式 （11分） 1、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式和多项式统称整式。 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 （1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 第三章 一元一次方程 考点一、一元一次方程的概念 （6分） 1、方程 含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 ）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。 第四章 图形的初步认识 考点一、直线、射线和线段 （3分） 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、直线的概念 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。 4、射线的概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。 5、线段的概念 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。 6、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示。 一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。 一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。 高中数学反证法综合测试题(含答案) 选修2-2 2.2.2 反证法 一、选择题 1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 [答案] C [解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C. 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为() A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 [答案] B [解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数； ④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数页 1 第 或至少有两个偶数”．故应选B. 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是() A．假设三内角都不大于60 B．假设三内角都大于60 C．假设三内角至多有一个大于60 D．假设三内角至多有两个大于60 [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60”．故应选B. 4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 [答案] B [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数． 说明：1、全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共 4页。考试时间90 分钟，满分100分。 2、本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答 案一律无效。答题卡必须保持清洁，不能折叠。 3、答题前，请将姓名、考生号、考场、试室号和座位号用规定的笔写在答题卡指定 的位置上，将条形码粘贴好。 4、本卷选择题1—10，每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡选择题答题区内对应 题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题11—22，答案（含作辅助线）必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡非选择题答题区内。 5、考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。 2019-2020年初中中考数学试题及答案 （本部分共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1．4的算术平方根是 Ａ．－4 Ｂ．4 Ｃ．－2 Ｄ．2 2．下列运算正确的是 Ａ．532a a a =+ Ｂ．532a a a =? Ｃ．5 3 2)(a a = Ｄ．10a ÷52a a = 3．2008年北京奥运会全球共选拔21880名火炬手，创历史记录．将这个数据精确到千位， 用科学记数法表示为 Ａ．31022? Ｂ．5102.2? Ｃ．4102.2? Ｄ．51022.0? 4．如图１，圆柱的左视图是 图１ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 5．下列图形中，既是．．轴对称图形又是．． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 6．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80，90，75，75，80，80.下列表述错误．．的是 Ａ．众数是80 Ｂ．中位数是75 Ｃ．平均数是80 Ｄ．极差是15 7．今年财政部将证券交易印花税税率由3‰调整为1‰（1‰表示千分之一）．某人在调整 后购买100000元股票，则比调整前少交证券交易印花税多少元？ Ａ．200元 Ｂ．2000元 Ｃ．100元 Ｄ．1000元中学数学教学中的反证法-精选教育文档
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