高一数学幂函数练习题

高中数学幂函数同步练习

知识梳理：

1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常 用幂函数的图象.

2. 观察出幂函数的共性，总结如下：

（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数.

（2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上

是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.

3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 .

y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .

诊断练习：

1． 如果幂函数()f x x α=的图象经过点2

(2,)2

，则(4)f 的值等于 2．函数

y ＝（x 2－2x ）

2

1－

的定义域是

3．函数y ＝5

2x 的单调递减区间为 4．函数y ＝

2

21m m

x

－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______ _．

范例分析：

例1比较下列各组数的大小：

（1）3

1，3

1，1； （2）（－

22

）

3

2-

，（－

107

）3

2，

3

4-

；

（3）3

2-，5

2，（－）5

3； （4），.

例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．

例3幂函数

2

732

35

()(1)

t t

f x t t x

+-

=-+是偶函数，且在(0,)

+∞上为增函数，求函数解析式.

反馈练习：

1．幂函数()

y f x

=的图象过点

1

(4,)

2

，则(8)

f的值为.

2．比较下列各组数的大小：

3

2

(2)

a+

3

2

a；

2

23

(5)

a-

+

2

3

5-；0.5

0.40.4

0.5.

3．幂函数的图象过点(2,1

4

), 则它的单调递增区间是．

4．设x∈(0, 1)，幂函数y＝a x的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是．

5．函数y＝

3

4

x-在区间上是减函数．

6．一个幂函数y＝f (x)的图象过点(3, 427),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8, －2),

（1）求这两个幂函数的解析式；

（2）判断这两个函数的奇偶性；

（3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)< g(x)的解集.

巩固练习

1．用“<”或”>”连结下列各式：0.6

0.32 0.5

0.32 0.5

0.34， 0.40.8- 0.40.6-．

2．函数132

2

(1)(4)y x x --

=-+-的定义域是

3．9

42

--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . 4．已知

3

53

2x x >

，x 的取值范围为

5．若幂函数a

y x =的图象在0

6．若幂函数()f x 与函数g(x)的图像关于直线y=x 对称，且函数g(x)的图象经过,则

()f x 的表达式为

7. 函数2

()3

x f x x +=+的对称中心是 ，在区间 是 函数（填“增、减”）

8．比较下列各组中两个值的大小

33221.3 1.3

0.30.355

3

3

(1)1.5 1.6(2)0.60.7(3)3.5 5.3(4)0.18.15-

-

--与与与与0

9．若3

13

1)

23()2(-

--<+a a ，求a 的取值范围。

10．已知函数y ＝42215x x －－．

（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．

诊断练习：1。

1

2

2。（－∞，0）U （2，＋∞） 3。（－∞，0） 4。-1 例1解：（1）∵所给的三个数之中3

1和3

1的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂

31、3

1、1的大小就是比较

3

1、3

1、13

1的大小，也就是比较函数

y =x 3

1中，当自变量分别取、

和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y =x 3

1的

单调性即可，又函数y =x 3

1

在（0，+∞）上单调递增，且＞＞1，所以3

1＞3

1＞1．

（2）（－

2

）

3

2-

=（

2

）

3

2-

，（－

107

）3

2=（

710

）

3

2-

，

3

4-

=［（）2］

3

2-

=

3

2-

．

∵幂函数y =x

3

2-

在（0，+∞）上单调递减，且

710

2

＜，

∴（710

）3

2-＞（2

）3

2-＞3

2-，即（－

107

）3

2＞（－

2

）3

2-＞

3

4-

．

（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3

2-＜1，52

＞1，（－）5

3

＜0，从而可以

比较出它们的大小．

（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现＜＜．

例2解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴

{

60

20

m m -<-<，解得26m <<.

又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =.

例3解：∵ ()f x 是幂函数， ∴ 311t t -+=，解得1,10t =-或.

当0t =时，75

()f x x =是奇函数，不合题意；

当1t =-时；25()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数； 当1t =时；85()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数. 所以，25

()f x x =或85

()f x x =.

反馈 1

2。.>,≤, <, 3。(－∞, 0);4. (－∞, 1);5. （0，＋∞）; 6．（1）设f (x )＝x a ,

将x ＝3, y

a ＝4

3

, 3

4()f x x =；

设g (x )＝x b , 将x ＝－8, y ＝－2代入，得b ＝3

1

,1

3()g x x =；

（2）f (x )既不是奇函数，也不是偶函数；g (x )是奇函数；（3） (0,1)

巩固练习：

1．0.6

0.5

0.5

0.320.320.34<<，22

5

50.8

0.6-

-

<

2．[1,4) 提示：??

?>-≥-0

40

1x x ?41≤≤x 。 3．5 提示：∵9

42

--=a a

x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，

为负整数）k k a a (2942=--，当2-=k 时，解得5=a 。

4．),1()0,(+∞?-∞ 提示：函数y=3

2x 与y=

5

3x 的定义域都是R ，y=

3

2x 的图象分布在第一、第二象限，y=

5

3

x 的图象分布在第一、第三象限，所以当x )

0,(-∞∈时，3

2

x ＞

5

3x ，当x=0时，

显然不适合不等式；当x ),0(+∞∈时，3

2x ＞0，5

3x ＞0，由115

15332>=

x x

x 知x ＞1。即x ＞1时，

3

2x ＞

5

3x 。综上讨论，x 的取值范围是),1()0,(+∞?-∞。

5．a>1 函数

a y x =的图象在0a .

6．3

()f x x

-= 因为函数g(x)

的图象经过，所以函数f(x)的图象就经过点

)33,3

3

(

7. （-3，1） (-∞，-3)；（-3，+∞） 增 提示：2()3

x f x x +=

+=31

1313+-=+-+x x x . 8．解析:

333555

33

55

(1) 1.5 1.6 1.5 1.63

01.5 1.6 1.5 1.65

><∴

且，由幂函数单调性知：

1.3 1.3 1.3 1.3 1.3

(2)0.6.7.6.700.7 0.6.7><∴Q 与0可看作幂函数y ＝X 在0与0处的函数值，且1.3，0.6由幂函数单调性知：<0

2

2222(3) 3.5.3.5.32

0 3.5.33

-----<∴Q 3

3

3

33

与5可看作幂函数y ＝X 在3与5处的函数值，

且-，3.5<5.3由幂函数单调性知：>5

0.30.30.30.30.3

(4)0.180 0.18-----<∴Q 与0.15可看作幂函数y ＝X 在0.18与0.15处的函数值，且-0.3，0.18>0.15由幂函数单调性知：<0.15

9．解析：∵3

13

1

)

23()

2(-

--<+a a ，据y=3

1-

x

的性质及定义域{}0,≠∈x R x x ，有三种情况：

??

?

??->+>->+a

a a a 2320

230

2 或???>-<+02302a a 或 ??

?

??->+<-<+a a a a 2320

2302， 解得 )2

3,31()2,(?--∞∈a 。

10．这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4

t

，

（1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．

（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数． （3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，

∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小． 又∵函数y

t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，

∴函数y

5，1］，单调减区间为（1，3）．