知识讲解_双曲线的简单性质_基础

双曲线的简单性质

【学习目标】

1．知识与技能

理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念．

2．过程与方法

锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力．

3．情感态度与价值观

通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．

【要点梳理】

【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】

要点一：双曲线的简单几何性质

双曲线

22

22

1

x y

a b

-=（a＞0，b＞0）的简单几何性质

范围

2

21

x a ≥，即22

x a

≥

∴x a

≥，或x a

≤-．

双曲线上所有的点都在两条平行直线x= -a和x= a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a

≥，或x a

≤-．

对称性

对于双曲线标准方程

22

22

1

x y

a b

-=（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，

方程都不变，所以双曲线

22

22

1

x y

a b

-=（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为

对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点

①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．

②双曲线

22

22

1

x y

a b

-=（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为

A1（-a，0），A2（a，0）

，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．

③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，- b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长．

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．

②双曲线的焦点总在实轴上．

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

离心率

①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作

2

2

c c

e

a a

==．

②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率1

c

e

a

=>．

由c2= a 2+b2，可得

22

22

2

()11

b c a c

e

a a a

-

==-=-，所以

b

a

决定双曲线的开口大小，

b

a

越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．

③等轴双曲线a b

=，所以离心率2

e=．

渐近线

经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是

b

y x

a

=±．

我们把直线

b

y x

a

=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．

22

||

b b

MN x a x

a a

=--

22

22

b

x a x

a

x x a

=--

=→

+-

【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】 要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较

标准方程

22

221x y a b -=(0,0)a b >> 22

221y x a b

-=(0,0)a b >> 图形

性质

焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距 2212||2()F F c c a b ==+

2212||2()F F c c a b ==+

范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈

对称性

关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 (,0)a ± (0,)a ±

轴 实轴长=2a ，虚轴长=2b

离心率 (1)c

e e a

=

> 渐近线方程

b

y x a

=±

a y x b

=±

要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．

对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 要点三：双曲线的渐近线

（1）已知双曲线方程求渐近线方程：

若双曲线方程为22221x y a b -=，则其渐近线方程为22220x y a b -=?0x y a b ±=?b y x a =±

已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程：

若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可．

（3）与双曲线22

221x y a b

-=有公共渐近线的双曲线

与双曲线2

2221x y a b -=有公共渐近线的双曲线方程可设为22

22(0)x y a b

λλ-=≠（0λ>，焦点在x 轴上，

0λ<，焦点在y 轴上）

（4）等轴双曲线的渐近线

等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征

双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．

双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>，如图：

（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；

（2）离心率：2

1211222121122||||||||11||||||||PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a

=

=====+>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；

（4）12PF F ?中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来； （5）与焦点三角形12PF F ?有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211

sin 2

PF F S PF PF F PF ?=

?∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ?之间的关系．

要点五：直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系

将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22

221x y a b

-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x

或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．

222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．

若2220,b a k -=即b

k a

=±

，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．

若2220,b a k -≠即b k a

≠±

， ①Δ＞0?直线和双曲线相交?直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0?直线和双曲线相切?直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0?直线和双曲线相离?直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦

设直线y kx m =+交双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长

12||PP

12|x x -

同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

12||x x -=；

12||y y -

双曲线的中点弦问题

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．

在双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；

涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．

解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．

【典型例题】

类型一：双曲线的简单几何性质

【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】

例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．

【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22

221x y a b -=(0,0)a b >>．

【解析】双曲线的方程可化为：22

1916

y x -=，由此可知

实半轴长3a =，虚半轴长4b =

，∴5c ==

∴实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率5

3

e =，

渐近线方程3

4

y x =±．

【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和2a ，b 和2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．

举一反三：

【变式1】双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )

A ．14-

B ．－4

C ．4

D ．14

【答案】A

【变式2】已知双曲线8kx 2－ky 2=2的一个焦点为3

(0,)2-，则k 的值等于（ ）

A ．－2

B ．1

C ．－1

D ．3

2-

【答案】C

类型二：双曲线的渐近线

例2．已知双曲线方程，求渐近线方程．

（1）22

1916x y -=；

（2）22

1916x y -=-．

【解析】

（1）双曲线221916x y -=-的渐近线方程为：220916x y -=，即4

3y x =±．

（2）双曲线221916x y -=的渐近线方程为：220916x y -=，即4

3y x =±．

【总结升华】不同形式双曲线的渐进线方程为：

（1）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b

y x a =±；

（2）双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为b x y a =±，即a

y x b

=±；

（3）若双曲线的方程为22

22x y m n λ-=（00m n λ>>、，，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上），则其

渐近线方程为22220x y m n -=?0x y m n ±=?n

y x m

=±．

举一反三：

【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程：

（1）22

11636x y -=；

（2）2228x y -=；

（3）22272y x -=．

【答案】（1）3

2

y x =±；（2

）y x =；

（3

）y = 【变式2】中心在坐标原点，离心率为5

3

的圆锥曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）

A ．54y x =±

B ．45y x =±

C ．43y x =±

D ．3

4y x =±

【答案】D

例3． 根据下列条件，求双曲线方程．

（1) 与双曲线22

1916x y -=

有共同的渐近线，且过点(3,-；

（2）一渐近线方程为320x y +=

，且双曲线过点M ．

【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：

（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()22

0916

x y λλ-=≠；

（2）320023x y x y +=?±=，以023x y

±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．

【解析】 （1）解法一：

当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22

221x y a b -=

由题意，得22

4

3(3)1

b a a ?=???-?=??，解得2

94a =，24b = 所以双曲线的方程为22

4194

x y -=．

当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22

221y x a b

-=

由题意，得2

24

3(3)1

a b b ?=??--=，解得24a =-，2

94b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为22

4194

x y -=

解法二：设所求双曲线方程为22

916x y λ-=（0λ≠）

，

将点(3,-代入得1

4

λ=，

所以双曲线方程为2219164x y -=即22

4194

x y -=

（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是

023

x y

±=． 故设双曲线方程为22

49x y λ-=，

∵点M 在双曲线上，

∴ 284λ=，解得4λ=，

∴所求双曲线方程为22

11636

x y -=．

【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）．

举一反三：

【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为2

3

y x =

的双曲线方程是（ ） A ．225513654x y -= B ．22

5513654x y -

+= C ．22131318136x y -= D ．22

131318136x y -+=

【答案】D

【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2

212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )

A ． 22124y x -=

B ． 22

142x y -=

C ． 22142y x -=

D ． 22

124x y -=

【答案】A

【变式3】设双曲线22

21(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 【答案】C

【变式4】双曲线22221x y a b -=与22

22(0)x y a b λλ-=≠有相同的（ ）

A ．实轴

B ．焦点

C ．渐近线

D ．以上都不对 【答案】C

类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围

例4． 已知12,F F 是双曲线22

221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左

支交于A 、B 两点，若2ABF ?是正三角形，求双曲线的离心率．

【解析】∵12||2F F c =，2ABF ?是正三角形，

∴12||2tan30AF c ==，224||2tan30cos30c AF c ==

=，

∴21||||2AF AF a -===，

∴c

e a

=

= 【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a

=

举一反三：

【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】 【变式1】

(1) 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)的直线与原点间的距

，求双曲线的方程． (2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22

149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．

【答案】（1）22

13x y -=； （2）2241273y x -=

【变式2】 等轴双曲线的离心率为_________

【变式3】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )

A ．1

B ．1< e <2

C ．1< e <3

D ．1< e <2

【答案】D

类型五：双曲线的焦点三角形

例5．已知双曲线实轴长6，过左焦点1F 的弦交左半支于A 、B 两点，且||8AB =，设右焦点2F ，求2

ABF ?的周长．

【思路点拨】将2ABF ?的周长分拆成2211|||||||AF BF AF BF ，

，，的和，利用双曲线的定义及条件||8AB =可求得周长．

【解析】由双曲线的定义有: 21||||6AF AF -=，21||||6BF BF -=，

∴2211(||||)(||||)12AF BF AF BF +-+=． 即22(||||)||12AF BF AB +-= ∴22||||12||20AF BF AB +=+=．

故2ABF ?的周长22||||||28L AF BF AB =++=．

【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．

举一反三：

【变式1】已知双曲线的方程22

221x y a b -=，点A 、B 在双曲线的右支上，且线段AB 经过双曲线的右焦

点F 2，|AB |=m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为（ ）

A ．2a +2m

B ．4a +2m

C ．a +m

D ．2a +4m 【答案】B

【变式2】已知12F F 、是双曲线22

1916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ?=，则

12F PF ∠=______

【答案】90

类型六：直线和双曲线的位置关系

例6． 已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数．

【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解． 【解析】联立方程组??

?=--=4

)1(2

2

y x x k y 消去y ，并依x 项整理得：

(1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ① (1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =

2

5

，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．

(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)，

则k ∈???

?

???-????? ??--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±3

3

2，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)． (4)若

4－3k 2<0

且k 2≠1

则k ∈???

? ??+∞????? ??-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点．

综上所述，当k =±1或k =±

3

3

2时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈????

???-????? ??--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点； 当k ∈???

? ??+∞????? ??-

∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点． 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：

举一反三：

【变式1】过原点的直线l 与双曲线3

42

2y x -

=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( ) A ．???? ??-23,23 B ．???? ??+∞????? ??-∞-,2323, C ．????????-23,33 D ．???

?????+∞????? ??-∞-,2323, 【答案】B

【变式2】直线y =x +3与曲线－

x 1x ·|x |+9

1y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D

例7．（1）求直线1y x =+被双曲线2

2

14

y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2

2

14

y x -=截得的弦中点轨迹方程． 【思路点拨】

（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．

（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．

【解析】由2

214

1y x y x ?-=???=+?

得224(1)40x x -+-=得2

3250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225

,33

x x x x +=

=- 得，

12|d x x =-===． （2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，

由22

114

y kx y x =+???-

=??得22(4)250k x kx ---=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则22

420(4)0k k ?=+->

∴21680,||k k <<

且1212

22

25

,44k x x x x k k +=

=---， ∴121212

22

1114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 2

2444k x k y k ?=??-?

?=

?-?

得2

2

40(4x y y y -+=<-或0)y >．

方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则

221122

2244

44

x y x y ?-=??-=??得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴

121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41

y x

x y =-，

即2

2

40x y y -+=（图象的一部分）

【总结升华】（1

）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-； （2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法．

举一反三：

【变式】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线22

1205

x y -=截得的弦长为3，求直线l 的方程

【答案】210y x =±