导数在实际问题中的应用
导数的实际应用
命题：王长德 审核：朱效利
2012.2.17
能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，
1、在生活中经常会遇到求利润________、用料_________、效率_______等问题，这些问题通常称为_______________。
2、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的_________，根据实际意义确定定义域。
(2)求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0在定义域内的根，确定_______.
(3)比较函数在区间短点和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值。
(4)还原到原实际问题中作答。
小结：解应用题的基本程序是：
读题
建模 求解 反馈
（文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答）
3、常见的函数模型是：
(1)二次函数型__________________
(2)三次函数型___________________
(3)分式型函数型c x
b ax y ++= (4)指数函数型____________________
(5)对数函数型____________________
某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加
100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是：21400(0400)()280000(400)x x x R x x ?-≤≤?=??>?
，则总利润最大时，每年生产的产品是________个单位。
例1、有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
例2、做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？
1、用一边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，现从四个角各截去一个相
同的小正方形，然后把四边翻转在焊接而成，问水箱底长应取多少，才能使水箱的容积最大？
2、等腰三角形的周长为2p，问这个等腰三角形围绕底边旋转一周所成的几何体的体积最大时，各边长分别是多少？
1、经过点(1,1)M 作直线l 分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于,A B 两点，设直线l 的斜率为k ，OAB ?的面积为S
（1） 求S 关于k 的函数关系式()S f k =；
（2） 求S 的最小值以及相应的直线l 的方程。
2、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速
度x （千米/时）的函数解析式可以表示为3138(0120)12800080
y x x x =-+<≤，已知甲乙两地相距100千米。
（1） 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少
升？
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用 导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。 导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。 1．导数与函数的极值、最值解读 函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。 函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。 最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。函数最值在极值点处或区间的断点处取得。 2．导数在实际生活中的应用解读 生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。 例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602 x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23 2 60()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的
精编导数及其应用高考题精选含答案
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导数在经济学中的应用
引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸
多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在 一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
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导数与微分在经济中的简单应用 一、边际和弹性 （一）边际与边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 1、总成本、平均成本、边际成本 总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。 平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到，则： 称为c(x)在内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在内的平均变化率。 而称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。 例1，设有某种商品的成本函数为： 其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为： 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加=50吨时，相应地总成本增加量为：这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。 类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即=1时，总成本的变化为： 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。 产量由400吨减少1吨，即=-1时，总成本的变化为： 表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。
在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义： 定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即： 其中=1或=-1。 由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。 注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x 看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。 事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有： 由极限存在与无穷小量的关系可知： （1） 其中，当很小时有： （2） 产品的增加=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为，即：误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导
高考数学专题导数题的解题技巧
第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
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导数在实际生活中的应用 1．(江苏省启东中学高三质量检测)曲线y ＝1 3 x 3＋x 在点????1，43处的切线与坐标轴围成的 三角形面积为________． 解析：曲线y ＝1 3x 3＋x 在点????1，43处的切线斜率为y ′|x ＝1＝????13x 3＋x ′x ＝1＝(x 2＋1)|x ＝1 ＝2，所以切线的方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －2 3 ，与x 轴的交点和y 轴的交点为 ????13，0，????0，－23，所求面积为S ＝12×13×23＝19 . 答案：1 9 2．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值 点， 则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝e x ＋2mx ，有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于零的实 根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1， 即m <－1 2. 答案：m <－1 2 3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若f (x )在区间(0,1]上恒 为单调函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由题意知，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2 ＋2x ＋a x ， ∵f (x )在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f ′(x )在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0， ∴2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在区间(0,1]上恒成立，即a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2 ＋2x )，而函数y ＝－2x 2－2x 在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a ≥0或a ≤－4. 答案：a ≥0或a ≤－4 4．已知f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＞0，f ′(x )＞0，则函数y ＝xf (x )的递增区间 是________． 解析：当x ＞0时，y ′＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，∴y ＝xf (x )在(0，＋∞)上递增． 又f (x )为奇函数，∴y ＝xf (x )为偶函数，∴y ＝xf (x )在(－∞，0)上递减． 答案：(0，＋∞) 5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元， 已知总收益R 与年产量x 的关系是
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难点35 导数的应用问题 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［a ,b ］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用. ●难点磁场 (★★★★★)已知f (x )=x 2+c ,且f ［f (x )］=f (x 2+1) (1)设g (x )=f ［f (x )］,求g (x )的解析式； (2)设φ(x )=g (x )－λf (x ),试问：是否存在实数λ,使φ(x )在(－∞,－1)内为减函数，且在 (－1，0)内是增函数. ●案例探究 ［例1］已知f (x )=ax 3+bx 2+cx (a ≠0)在x =±1时取得极值，且f (1)=－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值； (2)试判断x =±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入.是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解.属★★★★★级题目. 知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化.这是解答本题的闪光点. 错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f ′(±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍. 技巧与方法：考查函数f (x )是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x =±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值. 解：(1)f ′(x )=3ax 2+2bx +c ∵x =±1是函数f (x )的极值点， ∴x =±1是方程f ′(x )=0,即3ax 2+2bx +c =0的两根. 由根与系数的关系，得???????-==-13032a c a b 又f (1)=－1,∴a +b +c =－1, ③ 由①②③解得a =2 3,0,21==c b , (2)f (x )=21x 3－2 3x , ∴f ′(x )=23x 2－23=2 3(x －1)(x +1) 当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0 ∴函数f (x )在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数. ∴当x =－1时，函数取得极大值f (－1)=1, 当x =1时，函数取得极小值f (1)=－1. ［例2］在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，① ②
导数在微观经济学中边际问题的应用
导数在微观经济学中边际问题的应用 云南农业大学 关键词：导数；变化率；边际；边际分析。 前言：导数在现代经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有着很多具体的例子。掌握和应用导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要。把经济学中很多现象进行分析和归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答对很多经营决策者起了非常重要的作用。 高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围非常广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我就导数在经济中边际问题的应用略做讨论。 一、导数的概念 从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。 二、经济学中常用的函数 导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。 （一）价格函数 一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见。例如：当购买的东西越多，消费者的消费额度就可以小些。 （二）成本函数 成本包括固定成本和变动成本两类. 固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为X。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为Y。这两类成本的总和称为总成本，记为Z，即 Z=X+Y 假设固定成本不变（X为常数），变动成本Y是产量Q的函数（Y=C(Q)），则成本函数为Z=X+C(Q)。 （三）需求函数 作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等. 为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量Q仅受市场价格x的影响。即
导数在经济学的应用
第七节 导数在经济学中的应用 本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 边际函数 ★ 边际成本 ★ 例1 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 函数的弹性 ★ 需求弹性 ★ 例5 ★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 ★ 返回 内容要点： 一、边际分析 在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ?趋于0时，y 的相应改变量y ?与x ?的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化. 边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值. 边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是， 收入函数 )()(x xP x R = 利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数) 收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数. 二、 函数弹性 函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量
08高考数学导数的应用问题
难点35导数的应用问题 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［a,b ］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点?本节内容主要是指导考生对这种方法的应用??难点磁场 2 2 (★★★★★)已知f(x)=x +C,且f ［f(x)］=f(x +1) ⑴设g(x)=f : f(x)］，求g(x)的解析式； (2)设0 (x)=g(x)-入f(x),试问：是否存在实数入，使0 (x)在(一8，- 1)内为减函数，且在(-1, 0)内是增函数? ?案例探究 ［例1］已知f(x)=ax3+bx2+cx(a 工0)在x=± 1 时取得极值，且f(1)= - 1. (1) 试求常数a、b、c的值； (2) 试判断x= ± 1是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的 继续深入?是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与 其导数关系的理解?属★★★★★级题目? 知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择?本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化?这是解答本题的闪光点?错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f' (土1)=0的隐含条件，因而造成了解决 问题的最大思维障碍? 技巧与方法：考查函数f(x )是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过 极值点与导数的关系，建立由极值点x= ± 1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值?解：(1)f' (x)=3ax2+2bx+c x= ± 1是函数f(x)的极值点, ??? x= ± 1 是方程f' (x)=0,即3ax2+2bx+c=0 的两根? 二=0 ①由根与系数的关系，得3a ② ,3a 又f(1)= - 1,.?. a+b+c= -1, ③ 由①②③解得a=丄,b = 0,c =色， 2 2 1 3 (2) f(x)= x3-x, 2 2 3 2 3 3 …f (x)= x —= —(x- 1)(x+1) 2 2 2 当x v- 1 或x> 1 时，f' (x)> 0 当一1v x v 1 时，f' (x)v 0 ?函数f(x)在(-8 , - 1)和(1,+8)上是增函数，在(—1, 1)上是减函数? ? ??当x= - 1时，函数取得极大值f( -1)=1, 当x=1时，函数取得极小值f(1)= - 1.
导数在实际生活中的应用1教案
导数在实际生活中的应用1 教学目标 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题 教学过程 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方 面： （1）与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题。 2、解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域， 通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 3三．例题讲解 4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的 尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为 128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++> 求导数，得'2512()2S x x =-。 令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。 于是宽为128128816x ==。
高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)
高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。 第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景。 （2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算 （1）能根据导数定义求函数的导数。 （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 （3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理 （1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。 （2）了解微积分基本定理的含义。 总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！ 第二·导数运用和解题方法 一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。
导数在实际中的应用的简单举例【最新】
答：关于导数，我们知道，它是微积分的核心概念。它有着及其丰富的背景和广泛的应用。我们的教材，通过大量的实例，引导同学们经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，体会导数的思想，理解导数的含义，并且通过用导数研究函数的单调性，极值等性质和解决各种最优化问题，让我们的学生充分体会到导数在解决数学问题和实际问题中的广泛应用和强大力量。 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，都能够引领我们的学生深刻体会到导数在解决实际问题中的重大作用．具体说来，总结如下 1．研究函数性质 导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 2．证明不等式成立 证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想
的重要性. 由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式. 3．求解参数范围 给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式. 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤其重要. 4．研究曲线的切线问题 导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中. 解决此类相切问题，一般先求函数的导数，依据曲线在处的切线斜率为而进行研究. 由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图象上，从而对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常设切点坐标并联立方程组而求解. 5．解决实践问题
2020高考数学最后冲刺 导数及其应用
最后冲刺 【高考预测】 1.导数的概念与运算 2.导数几何意义的运用 3.导数的应用 4.利用导数的几何意义 5.利用导数探讨函数的单调性 6.利用导数求函数的极值勤最值 易错点 1导数的概念与运算 1．（2020精选模拟）设f 0(x)=sinx,f 1(x)=f ’0(x),f 2(x)=f ’1(x),…,f n+1(x)=f ’n (x),n ∈N,则f 2020(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 【错误解答】 选A 【错解分析】由 f ’1(x)=f ’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx,…, f2020(x)=f ’2020(x)=…=f0(x0=sinx 前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。因f4(x)=f0(x)=f8(x0=…=f2020(x),所以f2020(x)=f1(x)=cosx. 【错误解答】 选B ∵f(x)=2x+1,∴f ’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3. 【错解分析】上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）’=2x+1.正确的是（2x+1）’=2,所以x=1时的导数是2，不是3。 【正确解答】 选A ∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f ’(x)=3(x-1)2+3,当 x=1时,f ’(1)=3 3.(2020精选模拟题) 已知f(3)=2f ’(3)=-2，则3) (32lim 3--→x x f x x 的值为 （ ） A ．-4 B ．0 C ．8 D ．不存在 【错误解答】 选D ∵x →3,x-3→0 ∴3) (32lim 3--→x x f x x 不存在。 【错解分析】限不存在是错误的，事实上，求00 型的极限要通过将式子变形的可求的。 [对诊下药] 选C
2021高考数学(理)一轮复习专题突破《高考中的导数应用问题 第1课时 导数与不等式》
高考专题突破一 高考中的导数应用问题第1课时 导数与不等式 题型一 证明不等式 例1已知函数f (x )＝1－x －1 e x ，g (x )＝x －ln x .(1)证明：g (x )≥1； (2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1 e 2. 证明 (1)由题意得g ′(x )＝x －1 x (x >0)， 当0 高考数学文试题分类汇编导数及其应用 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 2016年高考数学文试题分类汇编 导数及其应用 一、选择题 1、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x = 2、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 3、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= 图象上 点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 4、（2016年全国I 卷高考）若函数1 ()sin 2sin 3 f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则 a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3??-????（C ）11,33??-???? （D ）11,3? ?--?? ?? 二、填空题 1、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________. 2、（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则 曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 三、解答题 1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++ （I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 导数的实际应用 命题：王长德 审核：朱效利 2012.2.17 能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题， 1、在生活中经常会遇到求利润________、用料_________、效率_______等问题，这些问题通常称为_______________。 2、利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的_________，根据实际意义确定定义域。 (2)求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0在定义域内的根，确定_______. (3)比较函数在区间短点和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值。 (4)还原到原实际问题中作答。 小结：解应用题的基本程序是： 读题 建模 求解 反馈 （文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答） 3、常见的函数模型是： (1)二次函数型__________________ (2)三次函数型___________________ (3)分式型函数型c x b ax y ++= (4)指数函数型____________________ (5)对数函数型____________________ 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加 100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是：21400(0400)()280000(400)x x x R x x ?-≤≤?=??>? ，则总利润最大时，每年生产的产品是________个单位。 例1、有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？ 例2、做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？ 导数是解决函数问题的重要工具，利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题，是高考考查的热点，在解答题中每年必考，常与不等式、方程结合考查，试题难度较大，因此对该部分知识要加大训练强度，提高解题能力． “大题规范解答——得全分”系列之(二) 导数的应用问题答题模板 [典例] (2012北京高考·满分13分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx . (1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． [教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息 观察条件 ―→ 曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点 (1，c )处有公共切线 ―――――――――――→两曲线在x ＝1处的纵坐标 及导数相同 ? ?? ?? f (1)＝ g (1)， f ′(1)＝ g ′(1) 2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求a ，b 的值―――――――→需要建立 关于a ，b 的方程组 将? ???? f (1)＝ g (1)， f ′(1)＝ g ′(1)用a ，b 表示即可 3．建联系，找解题突破口 解方程组????? f (1)＝ g (1)，f ′(1)＝g ′(1)―――――――→先求f ′(x )和g ′(x )f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ―――――→将x ＝1代入 ? ???? a ＋1＝ b ＋1， 2a ＝3＋b ，?a ＝b ＝3 1．审条件，挖解题信息 导数在解决实际问题中的应用 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -= cm ，得箱子容积 2 60)(32 2x x h x x V -== )600(< x x x V 2)260()(-=)300(<高考数学文试题分类汇编导数及其应用
导数在实际问题中的应用
高考数学大题规范解答-(二)导数应用问题答题模板
导数在解决实际问题中的应用