(完整版)2019年山东省高考理科数学试卷及答案【版】,推荐文档

(log 2 x ) 2-1

1 2 2019年高考山东卷理科数学真题

及参考答案

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

1.已知 a , b ∈ R , i 是虚数单位，若 a - i 与 2 + bi 互为共轭复数，则（a + bi ）

2 = （A） 5 - 4i 答案：D

(B) 5 + 4i (C) 3 -4i (D) 3 + 4i

2.设集合 A = {x x -1 < 2}, B = {y y = 2x , x ∈[0,2]}, 则 A B = (A) [0,2] (B) (1,3)

(C) [1,3)

(D) (1,4)

答案：C

3. 函数 f (x ) =

的定义域为 1

1

1

(A) (0，)

2

答案：C

(B) (2，+ ∞) (C) (0，) 2

(2,+∞)

(D) (0， ] 2

[2，+ ∞)

4. 用反证法证明命题“设 a , b ∈ R , 则方程 x 2 + ax + b = 0 至少有一个实根”时要做的假设是 (A) 方程 x 2 + ax + b = 0 没有实根

(B)方程 x 2 + ax + b = 0 至多有一个实根(C)方

程 x 2 + ax + b = 0 至多有两个实根 (D)方程 x 2 + ax + b = 0 恰好有两个实根

答案：A 5. 已知实数 x , y 满足 a x < a y (0 < a < 1) ，则下列关系式恒成立的是

(A)

1

> x 2 +1

答案：D

1 y

2 +1

(B)

ln(x 2 +1) > ln( y 2 +1)

(C) sin x > sin y (D) x 3 > y 3

6. 直线 y = 4x 与曲线 y = x 2

在第一象限内围成的封闭图形的面积为

（A ） 2 答案：D

（B ） 4 （C ）2（D ）4

7. 为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa ）的分组

区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…… ，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为

2

5 ? b

2

/kPa

（A ） 6 答案：C

（B ） 8 （C ）

12 （D ）18

8. 已知函数 f

(x )= x - 2 +1 g (x )= kx 若方程f (x ) =

g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是

1 1 ,

.

（A ）（0，）

（B ）（答案：B

2

2

，1）（C ）（1，2）（D ）（2，+ ∞）

?x - y -1 ≤ 0,

9. 已知x,y 满足的约束条件 ?2x - y - 3 ≥ 0, 当目标函数 z = ax + by(a > 0, b > 0) 在该约束条件下取得最小值

2 时， a 2 + b 2

的最小值为 （A ） 5 （B ） 4 （C ） 答案：B

5 （D ） 2

x 2

+ y 2

x 2

- y 2

10. 已知a > 0, b > 0 ,椭圆C 1 的方程为 a 2

2 = 1，双曲线C 2 的方程为 a

b 2 = 1 ， C 1 与C 2 的离心率之积为

，则C 2

的渐近线方程为

2

（A） x 答案：A

= 0 （± y = 0 （C） x ± 2y = 0 （D） 2x ± y = 0

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。

3

10

时，

2

11. 执行下面的程序框图，若输入的 x 的值为1，

则 输 出 的 n 的 值 为 。 答案：3

12. 在V ABC 中，已知 AB ? AC = tan A ，当 A = 6

V ABC 的面积为 。

1 答案：

6

13. 三棱锥 P - ABC 中， D , E 分别为 PB , PC 的中点，记三棱锥 D - ABE 的体积为V 1 ， P - ABC 的体积为

V ， 则 V

1 = 。 V

2 1

答案：

4

? b ?4

14. 若 ax 6

+ ? 答案：2

? 的展开式中 x 3 项的系数为20，则 a 2 + b 2 的最小值为 。

x ?

15. 已知函数 y = f (x )(x ∈ R ) ，对函数 y = g

(x )(x ∈ I )，定义 g (x )关于 f (x )的“对称函数”为函数

y = h (x )(x ∈ I )， y = h (x )满足：对任意 x ∈ I ，两个点(x , h (x )), (x , g (x ))关于点(x , f (x ))对称，若 h (x )是 g (x ) 。答案： b > 2 关于 f (x )= 3x + b 的“对称函数”，且 h (x )> g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）

已知向量 a = (m , cos 2x ), b = (sin 2x , n )，函数 f (x )= a ? b ，且 y = f (x )的图像过

4 - x 2

1+ x 2 0

12 3 ? ? ? 2 ? 点 , 3 ? 和点 , -2 ? .

? ? ? ? （I ） 求 m , n 的值；

（II ） 将 y = f

(x )的图像向左平移(0 << )个单位后得到函数 y = g (x )的图像，若

y = g (x )图像上各最高点到点(0, 3)的距离的最小值为1，求 y = g (x )的单调递增区间.

解：（Ⅰ）已知 f (x ) = a ? b = m sin 2x + n cos 2x ，

2

f (x ) 过点( 12

, 3),( ,-2)

3 ∴ f (

12 ) = m sin + n cos = 6 6 f ( 2 ) = m s in 4 4= -2 3 ?1

m + ? 2 3 3 n =

2 3 ?m = 解得 ∴? 3 1 ? ?- - = -2

?n = 1

? 2 2 （Ⅱ） f (x ) = 3 sin 2x + cos 2x = 2 s in(2x + 6

)

f (x ) 左移后得到

g (x ) = 2 s in(2x + 2+

) 6

设 g (x ) 的对称轴为 x = x 0 ， d = = 1解得 x 0 = 0

∴ g (0) = 2 ，解得=

6

∴ g (x ) = 2 sin(2x + + 3 6 = 2sin(2x +

) = 2 cos 2x 2

∴ -+ 2k ≤ 2x ≤ 2k , k ∈ z

- + k

≤ x ≤ k ,k ∈ z

2

∴ f (x ) 的单调增区间为[-

17.（本小题满分12分）

+ k

, k

], k ∈ z

2

如图，在四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是等腰梯形， ∠DAB = 60 , AB = 2CD = 2 ， M 是线段

AB 的中点.

D 1

C 1

B 1

（I ） 求证： C 1M / /平面A 1ADD 1 ； （II ） 若CD 1 垂直于平面 ABCD 且CD 1=

解：（Ⅰ）连接 AD 1

A

，求平面C 1D 1M 和平面 ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.

3

3 3

A 1

D

C

M

B

3 +n cos )

3 3

n 1 n 2 1 5

3 15 , ABCD - A 1B 1C 1D 1 为四棱柱，∴CD // C 1D 1 又 M 为 AB 的中点，∴ AM = 1 ∴CD // AM , CD = AM ∴ AM // C 1D 1 , AM = C 1D 1 ∴ AMC 1D 1 为平行四边形 ∴ AD 1 // MC 1

CD = C 1D 1 又 C 1M ? 平面A 1 ADD 1 ∴ AD 1 // 平面A 1 ADD 1

（Ⅱ）方法一： AB // A 1B 1

∴面D 1C 1M 与ABC 1D 1共面

作CN ⊥ AB ,连接 D 1N 则∠D 1NC 即为所求二面角

AD 1 ? 平面A 1 ADD 1 A 1B 1 // C 1D 1

在 ABCD 中， DC = 1, AB = 2, ∠DAB = 60 ∴CN =

3

2

在 Rt ?D CN 中， CD = , CN = ∴ D N =

1 1 1

方法二：作CP ⊥ AB 于 p 点

以C 为原点， CD 为 x 轴， CP 1为 y 3轴， CD 1 为 z 轴建立空间坐标系，

∴C (-

1 1,0, 3), D 1(0,0, 3), M ( ,

∴C D = (1,0,0), D M = 1 3 2- ,0) 2

3) 1 1 1 ( , 设平面C D M 的法向量为 2 =2

1 1

?x 1 = 0 (x 1 , y 1 , z 1 ) ∴??1 x + 3

y - 3z = 0 ∴ n = (0,2,1)

? 2 1

1

1

显然平面 ABCD 的法向量为 n 2 = (1,0,0) ∴cos < n , n >= n 1 ? n 2 = = 1 2 5 所以平面C D M 和平面 ABCD 所成角的余弦值为

1 1

5

3

∴cos ∠D 1CN = NC = 2 = = 5

D 1N 15 5

2

18.（本小题满分12分）

乒乓球台面被球分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域 A , B ，乙被划分为两个不相交的区域

C ,

D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上的概率为 1

，在 D

5

3

上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A , B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：

5

（I ） 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

15

5

5

1

, P ( 2n -1 D

A C

B

（II ） 两次回球结束后，小明得分之和

的分布列与数学期望.

解：（I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为 A

P ( A ) = 5 ? 1 + 1 ? 4 = 3

6 5 6 5 10

（II ）的可能取值为0，1，2，3，4，6

P (= 0) = 1 ? 1 = 1 , P (= 1) = 1 ? 1 + 1 ? 3 = 1

6 5 30 3 5 6 5 6 P (= 2) = 1 ? 3 = 1 = 3) = 1 ? 1 + 1 ? 1 = 2

3 5 5 2 5 6 5 15 P (= 4) = 1 ? 3 + 1 ? 1 = 11 , P (= 6) = 1 ? 1 = 1

2 5

3 5 30 2 5 10

1

2

3

4

6

P

1 30

1 6

1 5

2 15

11 30

1 10

∴其数学期望为E () = 0 ? 1 +1? 1 + 2 ? 1 + 3? 2 + 4 ? 11 + 6 ? 1 = 91

30 6 5 15 30 10 30

19.(本小题满分12分）

已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为 S n ，且 S 1 ， S 2 ， S 4 成等比数列。

（I ） 求数列{a n }的通项公式； （II ） 令b = (-1)n -1

4n

, 求数列{b } 的前n 项和T 。

a n a n +1

解：（I） d = 2, S 1 = a 1 , S 2 = 2a 1 + d , S 4 = 4a 1 + 6d ,

S 1 , S 2 , S 4成等比∴ S 22 = S 1 S 4

解得 a 1 = 1,∴ a n = 2n -1

（II ） b n = (-1)n -1

4n a a = (-1)n -1( 1 + 1 2n +1 n n +1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

当n 为偶数时，T = (1+ ) - ( + ) + ( + ) - + ( + ) - ( + )

∴T n = 1- 1

2n +1 n 3 3 5 5 7 = 2n 2n +1

2n -3 2n -1 2n -1 2n +1 当n 为奇数时，T = (1+ 1) - (1 + 1) + (1 + 1 ) - - ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 )

∴T n

= 1+

1 2n +1 n 3 3 5 5 7 = 2n +

2 2n +1

2n -3 2n -1 2n -1 2n +1 ) n

n

n

'

2

? 2n , n 为偶数 2n +1 ∴T n = ? 2n + 2 ?

? 2n +1

, n 为奇数

20.( 本小题满分13分）

设函数 f x = e x - k ( 2 + ln x ) （ k 为常数， e = 2.71828 是自然对数的底数）

( )

x 2

x

（I ） 当 k ≤ 0 时，求函数 f

(x )的单调区间；

（II ） 若函数 f (x )在(0, 2)内存在两个极值点，求k 的取值范围。

解：（1）f '

(x ) =

e x ? x 2 - 2xe x - k (- 2 + 1 ) x 4

x 2 x

=

(x - 2)(e x - kx ) (x > 0)

x 3

当k ≤ 0时，kx ≤ 0,∴e x - kx > 0 令f ' (x ) = 0,则x = 2

∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减； 当x ∈(2,+∞)时，f (x )单调递增。 （2）令g (x )= e x - kx 则g ' (x ) = e x - k ∴e x = k , x = ln k

g ' (0) = 1- k < 0, g (0) = 1 > 0 2

- 2k > 0∴ k < e 2

g (2) = e - k > 0, g (2)= e

2

g (ln k )= e ln k - k ln k < 0∴ln k > 1∴ k > e

综上: e 的取值范围为（e , e 2 ）。

2

21.（本小题满分14分）

已知抛物线C : y 2 = 2 px ( p ＞0）的焦点为 F ， A 为C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线l 交于另一点 B ， 交x 轴的正半轴于点 D ，且有| FA = FD ，当点 A 的横坐标为3时， ADF 为正三角形。

（I ） 求C 的方程；

（II ） 若直线l 1 // l ，且l 1 和C 有且只有一个公共点 E ，

（i ） 证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标； （ii ）

ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

“”

“”

At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!