函数导数公式及证明
函数导数公式及证明
1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -==
证：
'
00()()()()lim lim n n
x x f x x f x x x x f x x x
→→+-+-==V V V V V V
根据二项式定理展开()n
x x +V
011222110(...)lim n n n n n n
n n
n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x
----→+++++-=V V V V V V 消去0n n
n C x x -
11222110...lim n n n n n n
n n n n x C x x C x x C x x C x x
----→++++=V V V V V V 分式上下约去x V
112211210
lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++V V V V 因0x →V ，上式去掉零项
111
n n n C x
nx
--==
12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x
----→+-+++++++=V V V V V V 12210
lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++V V V V
1221...n n n n x x x x x x ----=++++g g
1n n x -=g
2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a =
证：
'
00()()()lim lim x x x
x x f x x f x a a f x x x
+→→+--==V V V V V V
0(1)lim x x x a a x
→-=V V V 令1x
a
m -=V ，则有log (1)a x m =-V ，代入上式
00(1)lim lim
log (1)
x x x x x a a a a m
x m →→-==+V V V V
1000
ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m
a m a a a a m m m a m
→→→===+++V V V 根据e 的定义1lim(1)x
x e x
→∞
=+ ，则1
0lim(1)m x m e →+=V ，于是
1
ln ln lim
ln ln ln(1)
x x x x m
a a a a a a e
m →===+V
3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1
()(log )ln a f x x x a
==
证：
'0
0log ()log ()()
()lim
lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-==V V V V V V
00log log (1)ln(1)
lim
lim lim ln a
a x x x x x x x x x x x x x a
→→→+++===V V V V V V V V V
00ln(1)ln(1)lim lim ln ln x
x
x x x x x
x x x x a x a
→→++==V V V V V V
根据e 的定义1lim(1)x
x e x
→∞
=+ ，则0lim ln(1)x
x x x e x →+
=V V V ，于是
0ln(1)ln 1lim ln ln ln x
x
x x e x x a x a x a
→+===
V V V
4．证明正弦函数()sin f x x =的导数为''()(sin )cos f x x x ==
证：
'0
0()()sin()sin ()lim
lim x x f x x f x x x x
f x x x
→→+-+-==V V V V V V 根据两角和差公式sin()sin cos cos sin x x x x x x +=+V V V
00sin()sin sin cos cos sin sin lim
lim x x x x x x x x x x x x
→→+-+-==V V V V V V V
因0
lim(sin cos )sin x x x x →=V V ，约去sin cos sin x x x -V ，于是
0cos sin lim
x x x
x
→=V V V
因0sin lim
1x x
x →=V V V ，于是
sin lim(cos )cos x x
x
x x
→==V V V
5．证明余弦函数()cos f x x =的导数为''()(cos )sin f x x x ==-
证：
'0
0()()cos()cos ()lim
lim x x f x x f x x x x
f x x x
→→+-+-==V V V V V V 根据两角和差公式cos()cos cos sin sin x x x x x x +=-V V V
00cos()cos cos cos sin sin cos lim
lim x x x x x x x x x x x x
→→+---==V V V V V V V
因0
lim(cos cos )cos x x x x →=V V ，约去cos cos cos x x x -V ，于是
0sin sin lim
x x x
x
→-=V V V
因0sin lim
1x x
x →=V V V ，于是
sin sin lim()sin x x x
x x
→=-
=-V V V
6．证明正切函数()tan f x x =的导数为''21
()(tan )cos f x x x
==
证：
'0
0()()tan()tan ()lim
lim x x f x x f x x x x
f x x x
→→+-+-==V V V V V V
00sin()sin sin()cos sin cos()cos()cos lim lim cos()cos x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x →→+-
+-++==+V V V V V V V V V
根据两角和差公式
sin()sin cos cos sin x x x x x x +=+V V V , cos()cos cos sin sin x x x x x x +=-V V V
代入上式
0(sin cos cos sin )cos sin (cos cos sin sin )
lim
cos()cos x x x x x x x x x x x x x x x
→+--=+V V V V V V V
00cos cos sin (sin sin sin )sin (cos cos sin sin )
lim
lim cos()cos cos()cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
→→--+==++V V V V V V V V V 因2
2
cos sin 1x x +=
0sin lim
cos()cos x x
x x x x →=+V V V V
因0sin lim
1x x
x →=V V V ，0
lim cos()cos x x x x →+=V V ，上式为
20
sin 11lim cos()cos cos x x x x x x x →??==??+??V V V V
7．证明余切函数()cot f x x =的导数为''2
1
()(cot )sin f x x x
==-
证：
'0
0()()cot()cot ()lim
lim x x f x x f x x x x
f x x x
→→+-+-==V V V V V V
00cos()cos cos()sin cos sin()sin()sin lim lim sin()sin x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x →→+-
+-++==+V V V V V V V V V
根据两角和差公式
sin()sin cos cos sin x x x x x x +=+V V V , cos()cos cos sin sin x x x x x x +=-V V V
代入上式
0(cos cos sin sin )sin cos (sin cos cos sin )
lim
sin()sin x x x x x x x x x x x x x x x
→--+=+V V V V V V V
222200sin sin cos sin sin (sin cos )lim lim sin()sin sin()sin x x x x x x x x x x x x x x x x x
→→---+==++V V V V V V V V V 因2
2
sin cos 1x x +=,且0sin lim
1x x
x →=V V V ，0
lim sin()sin x x x x →+=V V ，代入上式
20sin 11lim sin()sin sin x x x x x x x →??=-=-??+??
V V V V
8．证明复合函数()()f x g x +的导数为[]'
''()()()()f x g x f x g x +=+
证:
[]'
()()()()()()lim x f x x g x x f x g x f x g x x →+++--?
?
+=????V V V V
0()()()()lim x f x x f x g x x g x x x →+-+-??
=+????V V V V V
''()()f x g x =+
9．证明复合函数()()f x g x 的导数为[]'
''()()()()()()f x g x f x g x f x g x =+
证:
[]'
()()()()()()lim x f x x g x x f x g x f x g x x →++-?
?
=????
V V V V
[][]0()()()()()()()()lim x f x x f x f x g x x f x g x x g x x g x x →??++-+++-+-=????
V V V V V V
[][]0()()()()()()()()()()lim x f x x f x g x x f x g x x f x g x x f x g x x g x x →??+-+++-+++-=????V V V V V V V [][]0()()()()()()lim x f x x f x g x x f x g x x g x x →??+-+++-=????
V V V V V
0()()()()lim ()()x f x x f x g x x g x g x x f x x x →+-+-??=++????V V V V V V
''()()()()f x g x f x g x =+
10．证明复合函数()()f x g x 的导数为'
''2
()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ??-=????
g g 证:
'
0()()()()()lim ()x f x x f x f x g x x g x g x x →+??
-????
+=????????
????
V V V V 0()()()()lim ()()x f x x g x f x g x x xg x g x x →??
+-+=??+??
V V V V V [][]0()()()()()()()()lim ()()x f x x f x f x g x f x g x x g x g x xg x g x x →??+-+-+-+=??+??V V V V V
[][]0()()()()()()()()()()lim ()()x f x x f x g x f x g x f x g x x g x f x g x xg x g x x →??+-+-+--=??+??V V V V V
[][]0()()()()()()lim ()()x f x x f x g x f x g x x g x xg x g x x →??+--+-=??+??V V V V V
[][]0()()()()()()lim ()()x f x x f x g x x g x g x f x x x g x g x x →??+-+--??
=??+??
????
V V V V V V
'''
2()()()()()
f x
g x f x g x g x -=g g
11．证明复合函数[]()f g x 的导数为[]'''()(())()f g x f g x g x =g
证:
[]'
(())(())(())lim x f g x x f g x f g x x →+-??
=????V V V
令()u g x = ,则有()()u g x x g x =+-V
V
0())()lim x f u u f u x →+-??
=????V V V 0())()lim x f u u f u u u x →+-??=????V V V V V
0())()()()lim x f u u f u g x x g x u x →+-+-??=????V V V V V ''()()f u g x =g
''(())()f g x g x =g
12．证明复合函数[]ln ()f x 的导数为[]''
()ln ()()
f x f x f x =
证:
令()u f x =,
[][]''
'ln ()ln f x u u =g
''1()()
f x u u f x ==
g 13．求复合函数x x 的导数
解: 令x
u x =
ln ln u x x =
等式左边求导为()'
'
ln u u u
=
等式右边求导为(
)'
''1
ln ln (ln )ln ln 1x x x x x x x x
x x
=+=+=+
于是有'
ln 1u x u
=+,
'(ln 1)u x u =+
则'
()(ln 1)x x
x x x =+
14. 证明反三角函数arcsin x 的导数为'
(arcsin )x =
证:
令arcsin y x =,则
sin y x =
对上式两边求导,等式右边'
1x =
等式左边(根据复合函数求导公式),其导数为'
'
(sin )(cos )y y y =g 于是有'
(cos )1y y =g
'
1(cos )y y =
=
再将arcsin y x =代入上式
'
(arcsin )x =
=
15. 证明反三角函数arccos x 的导数为'
(arccos )x =证:
令arccos y x =,则 cos y x =
对上式两边求导,等式右边'
1x =
等式右边(根据复合函数求导公式),其导数为()'
'
cos (sin )y y y =-g
于是有'
(sin )1y y -=g ,整理后如下：
'
1(sin )y y =-
=
再将arccos y x =代入上式
'(arccos )x ==
16. 证明反三角函数arctan x 的导数为'2
1
(arctan )1x x =
+ 证:
令arctan y x =,则 tan y x =
对上式两边求导,等式右边'
1x =
等式右边(根据复合函数求导公式),其导数为()'
2'tan (1tan )y y y =+g
于是有2
'
(1tan )1y y +=g ,整理后如下：
'21
1tan y y
=
+
再将arctan y x =代入上式
'22
11
(arctan )1tan arctan 1x x x
=
=++
17. 证明:反函数的导数为原函数导数的倒数'1'
'1(),(()0)()
f y f x f x -??=≠?? 如果函数()x y ?= 在某区间y I 内单调、可导且'
()0y ?≠ ，那么它的反函数()y f x =在对应区间 x I 内也可导，并且'
'1
()()
f x y ?=。 证：
因为()y f x =连续，所以当0x →V 时，0y →V
''0011()lim
lim ()
x x y f x x x y y
?→→===V V V V
即'
'
1
()()
f x y ?= 举例：
'
'11(arcsin )(sin )cos x y y =
====
导数公式的证明(最全版)
导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了） 用定义求导数公式 （1）f(x)=x^n 证法一：（n为自然数） For personal use only in study and research; not for commercial use f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx For personal use only in study and research; not for commercial use =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ x)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1) For personal use only in study and research; not for commercial use 证法二：（n为任意实数） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) （2）f(x)=sinx
f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim cosxsinΔx/Δx =cosx （3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx
导数公式及证明
编辑本段导数公式及证明 这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）： 基本导数公式 1.y=c(c为常数) y'=0 2幂函数。y=x^n, y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3.(1)y=a^x ,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4.(1)y=logaX, y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记 y=lnx ,y'=1/x 5.y=(sinx ）y'=cosx 6.y=（cosx） y'=-sinx 7.y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8.y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9.y=（arcsinx）y'=1/√1-x^2 10.y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11.y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12.y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3. 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）： y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的： y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与
导数公式证明大全(更新版)
（麻烦那些盗取他人成果的人素质点，最近总有人把我的作品抄袭过去，改改标题就作为他的东西。愤怒啊！！！！！！） 导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了） 用定义求导数公式 （1）f(x)=x^n 证法一：（n为自然数） f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ x)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1)
证法二：（n为任意实数） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) （2）f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx
=lim cosxsinΔx/Δx =cosx （3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx （4）f(x)=a^x 证法一： f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx
函数导数公式及证明
函数导数公式及证明
复合函数导数公式
) ), ()0g x ≠' ''2 )()()()() ()()f x g x f x g x g x g x ?-=?? ())() x g x , 1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -== 证： ' 00()()()()lim lim n n x x f x x f x x x x f x x x →→+-+-== 根据二项式定理展开()n x x + 011222110(...)lim n n n n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x ----→+++++-= 消去0n n n C x x - 11222110...lim n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x x ----→++++= 分式上下约去x 112211210 lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++ 因0x →，上式去掉零项 111 n n n C x nx --== 12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x ----→+-+++++++=
12210 lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++ 1221...n n n n x x x x x x ----=++++ 1n n x -= 2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a = 证： ' 00()()()lim lim x x x x x f x x f x a a f x x x +→→+--== 0(1)lim x x x a a x →-= 令1x a m -=，则有log (1)a x m =-，代入上式 00(1)lim lim log (1)x x x x x a a a a m x m →→-==+ 1000 ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m a m a a a a m m m a m →→→===+++ 根据e 的定义1lim(1)x x e x →∞ =+ ，则1 0lim(1)m x m e →+=，于是 1 ln ln lim ln ln ln(1) x x x x m a a a a a a e m →===+ 3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1 ()(log )ln a f x x x a == 证： '0 0log ()log ()() ()lim lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-== 00log log (1)ln(1) lim lim lim ln a a x x x x x x x x x x x x x a →→→+++===
导数证明
3 利用导数证明不等式 ① 函数不等式的证明 a. 构造辅助函数 1 移项构造 例10 ()x x <+1ln ，()0>x 经典不等式 2 变形构造 例11 已知()()x a ax x x f ln 12 12-+-= ，51<--x x x f x f 3 换元构造 4 控制变量构造 例12 若()2ln 2x mx x x f -+=有两个零点1x ，2x ()21x x <，且2210x x x +=。求证()00<'x f 例13 已知()x e x f =，设b a <，试比较?? ? ??+2b a f 与()()a b a f b f --的大小，并说明理由. b. 利用充分性证明 例14 证明0>x 时，ex e x x 21ln -> 例15 已知函数()x x x f ln -=，()x x x g ln = ，证明()()21+>x g x f . 正整数不等式的证明 1 直接构造函数证明 例16 证明*∈N n ，n n n n +<+11ln 2 比较通项构造证明 例17 证明*∈N n ，2≥n 时，n n ln 13121<+++
例18 证明()1 1ln 13ln 12ln 1+>++++n n n 例19 证明()1 11ln 43ln 32ln 2+-<++++n n n n 例20 证明()()() 12121ln 33ln 22ln 222222++-<+++n n n n n 3 利用经典不等式证明 例21 求证e n ?x ，()0 函数导数公式及证明 函数类型常量函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 原函数 f (x) C ，C为常量 f (x)x a f (x)x m f (x)a x f (x)e x f ( x)lo g a x f (x) ln x f (x)sin x f (x)cosx 求导公式 f ' ( x)0 ( x a )'ax a 1 ( x a )( n)a(a 1)...(a n1)x a n ( a 0,1,2..., n1) ( x m )( n) m! x m n, (n m) (m n)! ( a x )' a xln a ( a x )( n) a x ln n a , (0 a 1) (e x )'e x (e x )(n ) e x (log a x)' 1 x ln a (log a x)(n ) ( 1)n 1 (n 1)! ,(0 a 1) x n ln a (ln x)' 1 x (ln x) (n ) ( 1)n 1 (n 1)! x n (sin x)' cosx (sin x)( n) sin(x n ) 2 (cosx)' sin x 反三角函数双曲函数反双曲函数f (x)tan x f (x)cot x f (x) arcsinx f (x)arccosx f (x) arctanx f (x)arccot x f ( x)sinh x f ( x) coshx f (x)tanh x f ( x)coth x f (x)arsinh x f (x) arcoshx f (x)ar tanh x (cosx)( n) cos(x n ) 2 (tan x)' sec2 x 1 x 1 (tan x)2 cos2 (cot x)' csc2 x 1 1 (cot x)2 sin2 x (arcsin x) ' 1 1 x2 (arccos x)' 1 1 x2 (arctan x)' 1 1 x2 (arccot x)' 1 1 x2 (sinh x)' coshx (cosh x)' sinh x (tanh x)' 1 cosh2 x (coth x)' 1 x sinh2 ( ar sinh x)' 1 x2 1 ( ar cosh x) ' 1 x2 1 (ar tanh x)' 1 1 x2 复合函数导数公式 复合函数求导公式 导数公式的证明(最全版) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了） 用定义求导数公式 （1）f(x)=x^n 证法一：（n为自然数） f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ x)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1) 证法二：（n为任意实数） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) （2）f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim cosxsinΔx/Δx =cosx （3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx （4）f(x)=a^x 证法一： f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx =lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1) 导数的定义:：(x)=lim △ y/A x △ x—0 (下面就不再标明A x—0 了) 用定义求导数公式 1)f(x)=x A n 证法一：n为自然数) f'(x) =lim [(x+A x)An-xAn]/A x =lim (x+ A x-x)[(x+ A x)A(n-1 )+x*(x+ A x)A(n -2)+...+xA(n-2)*(x+ A x)+xA(n -1 )]/ A x =lim [(x+A x)A(n-1)+x*(x+A x)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+A x)+xA(n-1)] =xA(n-1 )+x*xA(n -2)+xA2*xA(n -3)+ ...xA(n-2)*x+xA(n -1 ) =nxA(n-1) 证法二：n为任意实数) f(x)=xAn lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*xAn f'(x)=nxA(n -1) (2)f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+A x)-sinx)/A x =lim (sinxcos A x+cosxsin A x-sinx)/ A x =lim (sinx+cosxsin A x-sinx)/A x =lim cosxsin A x/A x =cosx (3)f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+A x)-cosx)/A x =lim (cosxcos A x-sinxsin A x-cosx)/A x =lim (cosx-sinxsin A x-cos)/A x =lim -sinxsin A x/A x =-sinx 4)f(x)=a A x f'(x) =lim (aA(x+A x)-aAx)/A x =lim a A x*(a A△ x-1)/A x 设"Ax-仁m,贝U A x=logaA(m+1)) =lim aAx*m/logaA(m+1) =lim aAx*m/[ln(m+1)/lna] 基本初等函数的导数公式推导过程 一、幂函数()f x x α=（α∈Q *）的导数公式推导过程 命题 若()f x x α=（α∈Q *），则()1f x x αα-'=． 推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220 011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααααααααααααααααααααα ααααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++L L L L ()11 11 C x x x ααααααα---?== 所以原命题得证． 二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程 命题 若()sin f x x =，则()cos f x x '=． 推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时，sin 22 x x ??=，所以此时sin 212x x ?=?． 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ，所以原命题得证． 三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程 命题 若()cos f x x =，则()sin f x x '=-． 导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了） 用定义求导数公式 （1）f(x)=x^n 证法一：（n为自然数） f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1) 证法二：（n为任意实数） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) （2）f(x)=sinx f'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx （3）f(x)=cosx f'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx （4）f(x)=a^x f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)） =lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1) =lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna若a=e，原函数f(x)=e^x 则f'(x)=e^x*lne=e^x （5）f(x)=loga^x f'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx 反三角函数求导公式的证明 §2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则 一、反函数的导数 设)(y x ?=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ?=在I y 内单调、可 导，而且0)(≠'y ?，则反函数)(x f y =在间} ,)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可 导的，而且 )(1 )(y x f ?'= ' (1) 证明： ?∈x I x ，给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??= ??1 因直接函数)(y x ?=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→?x 时，必有0→?y ) (1 1lim lim 0 y y x x y y x ?'= ??=??→?→?即： )(1 )(y x f ?'= ' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(lo g )ln 11121 1312 2 x x a rctg x x a x a x '= -'=+'= 证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数 函数 y x sin =在 ) 2,2(π π- =y I 上单调、可导，且 ' =≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (= ' 注意到，当 ) 2,2(π π- ∈y 时，0cos >y ，2 2 1sin 1cos x y y -=-= 因此， 2 11)arcsin (x x -= ' 证2 设x tgy =， ) 2,2(π π- =y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 cos 12 >= 'y x 故 2 2 2 11 11cos )(1)(x y tg y tgy arctgx += += =' = ' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (= = ' = ' 类似地，我们可以证明下列导数公式： §2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： x x x f cos sin )(1+=x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?=)sin()(2ax x g = x x x f a log cos )(3= x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4=x x g arccos )(4= 一、导数的四则运算 问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±==μ.即 )'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=± 一般地,有如下和的导法则： 定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='±（求导是线性运算） 证明 令)()()(x g x f x y += 。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++ ?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x x g x x g x x f x x f x x g x f x x g x x f x y 问题2 设x a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗？ 分析 一般地,有如下乘积的求导法则： 导数的定义：f(x)=lim △ y/ △ x △ x—0 (下面就不再标明△ x—0 了) 用定义求导数公式(1) f(x)=x A n 证法一：( n 为自然数) f'(x) =lim [(x+ △ x)An-xAn]/ △ x =lim (x+ △ x-x)[(x+ △ x)A(n-1)+x*(x+ △ x)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+ △ x)+xA(n-1)]/ △x =lim [(x+ △ x)A(n-1)+x*(x+ △ x)A(n-2)+...+xA(n-2)*(x+ △ x)+xA(n-1)] =xA(n-1)+x*xA(n-2)+xA2*xA(n-3)+ ...xA(n-2)*x+xA(n-1) =nxA(n-1) 证法二：( n 为任意实数) f(x)=xAn lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f(x)=n/x*x5 f(x)=nx^( n-1) (2)f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+ △ x)-sinx)/ △ x =lim (sinxcos △ x+cosxsin △ x-sinx)/ △ x =lim (sinx+cosxsin △ x-sinx)/ △ x =lim cosxsin △ x/ △ x =cosx 3)f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+ △ x)-cosx)/ △ x =lim (cosxcos △ x-sinxsin △ x-cosx)/ △ x =lim (cosx-sinxsin △ x-cos)/ △ x =lim -sinxsin △ x/ △ x =-sinx (4)f(x)=a A x f'(x) =lim (aA(x+ △ x)-aAx)/ △ x =lim aAx*(aA △ x-1)/ △ x (设aA △ x-1=m，贝U △ x=logaA(m+1) ) =lim aAx*m/logaA(m+1) =lim aAx*m/[ln(m+1)/lna] =lim aAx*lna*m/ln(m+1) =lim aAx*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a A x* lna/ln[ (m+1F(1/m)] =lim aAx*l na/lne =aAx*lna 实用文档之"二轮专题 （十一） 导数 与不等式证明" 【学习目标】 1. 会利用导数证明不等式. 2. 掌握常用的证明方法. 【知识回顾】 一级排查：应知应会 1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意∈x [b a ,]都有 )()(x g x f ≤，可设)()()(x g x f x h -=，只要利用导数说明)(x h 在[b a ,] 上的最小值为0即可． 二级排查：知识积累 利用导数证明不等式，解题技巧总结如下： （1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式. （2）多用分析法思考. （3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式. （4）常用方法还有隔离函数法，max min )()(x g x f ≥，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题. （5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许 多题都是利用泰勒展开式放缩得来. 三极排查：易错易混 用导数证明数列时注意定义域. 【课堂探究】 一、作差（商）法 例1、证明下列不等式： ①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③ x x 1 -1ln ≥ ④1 x 1) -2(x ln +≥ x )1(≥x ⑤)2 ,0(,2sin π π∈> x x x 二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式 函数导数公式及证明-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 函数导数公式及证明 ), 2 )()()()() ()()f x g x f x g x g x g x ?-=?? []''()(())() g x f g x g x =, 1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -== 证： ' 00()()()()lim lim n n x x f x x f x x x x f x x x →→+-+-== 根据二项式定理展开()n x x + 011222110(...)lim n n n n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x ----→+++++-= 消去0n n n C x x - 11222110...lim n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x x ----→++++= 分式上下约去x 112211210 lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++ 因0x →，上式去掉零项 111 n n n C x nx --== 12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x ----→+-+++++++= 12210 lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++ 1221...n n n n x x x x x x ----=++++ 1n n x -= 2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a = 证： ' 00()()()lim lim x x x x x f x x f x a a f x x x +→→+--== 0(1)lim x x x a a x →-= 令1x a m -=，则有log (1)a x m =-，代入上式 00(1)lim lim log (1)x x x x x a a a a m x m →→-==+ 1000 ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m a m a a a a m m m a m →→→===+++ 根据e 的定义1 lim(1)x x e x →∞ =+ ，则1 0lim(1)m x m e →+=，于是 1 ln ln lim ln ln ln(1) x x x x m a a a a a a e m →===+ 3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1 ()(log )ln a f x x x a == 证： '0 0log ()log ()() ()lim lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-== 导数公式之证明 导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了） 用定义求导数公式 （1）f(x)=x^n 证法一：（n为自然数） f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^ (n-1) =nx^(n-1) 证法二：（n为任意实数） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) （2）f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim cosxsinΔx/Δx =cosx （3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx （4）f(x)=a^x f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx =lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)） =lim a^x*m/loga^(m+1) =lim a^x*m/[ln(m+1)/lna] =lim a^x*lna*m/ln(m+1) =lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne =a^x*lna 若a=e，原函数f(x)=e^x函数导数公式及证明.doc
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