高中数学总结归纳 点面距离的几种求法

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点面距离的几种求法

立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.

一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面

求点A 到平面PBD 的距离.

解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作AH

⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22,则

PO=17,∴

AH=1734

617

223=

?=?PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346.

二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.

例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴=

?11D AB S 2

22

3)2(43a a =?. 由1111

11D AB A B AA D V V --=,易得

A 1到面A

B 1D 1a 3

3

. 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C. (1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小;

2

(3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离.

解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,所以CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由B AA C ABC

A V V 11--=,可得点C 到面A 1

ABB

1

的距离为

3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为3.

总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.