0是方阵A 的特征值；
行
列
行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多，技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．
行列式的性质
【例】：已知531，252，234都是9的倍数，利用行列式的性质（而不是展开），证明522
3
53124
也是9的倍
数。
解答：522
3
53124231321010r r ,r r ++522
35353125223413
9r 522
9353582726
【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？
解答：设原行列式为
????
? ??=n A ααM 1det ，则新的行列式为???
????
?
??----=-113
221det ααααααααn n n B M
， ()00,,3,2det 11321113221=???????
?
??---=+???????? ??----=--ααααααααααααααn n n i n n n n i r r B M
ΛM
特殊行列式
1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式
11
11
11111122
112222111
1111n
ii
i nn
nn
nn
a a a a a a a a a a a a a a a a ===
=∏L L
O
M M O O
M L
2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式
()
()12
11111121221
2121
1
11
1
1
1n n n
n
n n n
,n ,n
,n ,n ii
i n n,n nn n n a a a a a a a a a a a
a a a a a ----=-=
==-∏L
L N N M N L
3、分块三角行列式 形式简记为：
*=
=?*
A O A A
B B
O B
，
()
1k n
?*=
=-?*
O A A
A B B
B O
4、范德蒙德行列式
()21111211
212222
222121212111111
112
1
121111111,,,11n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x --------------==L L L L L L M M M M M M M M L L
L
()()121
,,,n i
j
n i j f x x x x x ≥>≥=-∏L ()()()()()121
3
21121
21
11
,,,n n
j n j j j n j n j j j f x x x x
x x
x x
x x x --≥≥-≥≥≥≥≥≥=
-?
---∏∏∏∏L L
()()()()1221n n n n n n x x x x x x x x --=----L
()()()()
()()()
12131211323121n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -------------L L
认识范德蒙德行列式
可以将n 阶范德蒙德行列式看成式关于n 个变量12,,,n x x x L 的函数，即()12,,,n n D f x x x =L 。此种类型行列式具有如下三个特点：
○1从列的角度看：第j 列元素从上到下依次为同一个变量j x 的零次幂、1次幂、…、n －1次幂，1,2,,j n =L ； ○2从行的角度看：第i 行元素是从左往右依次为12,,,n
x x x L 的i －1次幂，1,2,,i n =L ○3从结果看：()()121
,,,n
i j n i j f x x x x x ≥>≥=-∏L 是关于变量12,,,n x x x L 的()1
12n n -次齐次函数；而且该齐次函数可以分解为
()1
12
n n -个一次因式()i j x x -之积，
其中1n i j ≥>≥，即脚标大者与脚标小者之差。（说明：i 可以取值为1,2,,n L ，例当i 取值为4时，j 只可以取值为3、2、1，即区间[]1,1i -中的每一个整数）
当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值。 参见“范德蒙德行列式专辑”
认识余子式（Minor ）和代数余子式（Algebraic Minor ），及其之间的关系
()ij det a 的()i,j 元ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A ，仅与位置()i,j 有关，ij a 的取值如何并不影响其余
子式ij M 和代数余子式ij A 的取值。()
1i j
ij ij +=-A M ，代数余子式即为带符号的余子式。
利用教材P21例13深入理解余子式和代数余子式及其关系。 【例】：已知4阶行列式D 中，第一行元素分别为1，2，0，-4；第三行的4个元素的余子式分别为：
313233346192M ,M x,M ,M ====。求x 的值。
解答：11311232133314340a A a A a A a A +++=，所以有313234240M M M -+=，
62420x -+?=，所以7x =。
【例】：
1、设行列式A det 的元素为ij a ，行列式
试证：∑=+=n
j i ij
A x A D
1
,det det ，其中ij A 为ij a 在A det
中的代数余子式。
证明：把D det 升阶得到
∑∑∑===+=+++=n
j i ij
n j nj n j j A x A A x A x A 1
,1
1
1det det Λ
2、设()ij
a A =
，ij
A 是ij
a 在A det 中的代数余子式，求证
??→
?++
+-3
211c c c c c c n n n Λ???→?按第一行展开
11
11111
11112,12,11,1.12
,22122,11111
,21,12,1.11,22221,11211
.11,2211,111++++-----------------n
n n n nn
n n n n n n n
n n n n n n nn
n n n n n n n n n n
n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Λ
ΛM M
M M Λ
ΛΛΛ
ΛM M M M Λ
Λ
Λ
M M M ΛΛ()()()()()1,1,21
,11
12111
1
2111-----+++-+++++-++++=n n n n n n n nn n n A A A
A A A A A A ΛΛΛΛ
计算技巧：
○1利用特殊行列式计算，利用公式B A AB ?=求行列式值
【例】：计算行列式
令AB C C D n
=?=，
?????
?
??
?????????? ??=-0000
000011
11
0010010010011212
22
2
Λ
M M M M ΛΛΛΛ
ΛM M M M
ΛΛn n b b b b a a a a C ()()2,1,3,0
2
12111==≥???
??--+=?=∴n n n b b a a b a B A D n
○
2加边法专辑 加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单且特殊，从而实现计算的简化。
此种方法其实是反向利用Laplace 展开定理，看似复杂化，其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化，更易发现规律。同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变。 【例】：
○
1121111111
11n
a a a +++L
O M
M O O L
，其中.,,2,1,0n i a i
Λ=≠
解答：
n
a a a +++11
1
1
111
1121Λ
M M M ΛΛ121
1
11
10
11101110
111n
n a a a ++++L
L L M
M M O M L
加边
12
1
111110010
02,,100i n n a r a i n
a +---=-L L L L M M M O M L
1r 1
111121
1111100
00001,,0
j n
i i
j a n
n a c c a a j n
a =++++=∑
L L
L L M M M O
M L
11
11n
n
i i i i a a ==??=+ ???∑∏ ○
211121212221
2
111n n n n n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++L
O M O O M L
。
解答：1211121212221
21
101010
1n n n n n n n n
n b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b +---++++?++++++++L L
L
M
M M M L
加边
12111
11
22
21
111112,,1
11n
i n n n
n b b b a a a r r a a a i n a a a +---+++=++L L L L M M M M L
12111122222
100000111111
1n n n
n
n
n
n b b b a a a a a a a a a a a a +----+-+-+L L
L
M M M M L 加边
12
1
1
2
2
10111
01
1100
10
3,,2
1001
n
j
n n
b b b
c c a
a
j n
a
+
---
+-
-
=+
-
L
L
L
O L M
L
M M M O O
L
12
1
2
1
2
2
1111
01
01
3,,2
01
01
n
i n
i
j
n n
n
b b b b
c c
a
j n
a
a
=
+
-
+---
-
-
=+
-
-
∑
L
L
L
L
L
M M M M
L
12
11
12
2
1111
1
001
3,,2
001
001
n n
i i i n
i i
j j
n
n
a b b b b b
c a c
j n
==
-
+
-
-+---
+
=+
∑∑
L
L
L
L
L
M M M M
L
111
11
n n n
k k k k
k k k
a b n a b
===
????
=++-
???
????
∑∑∑
○3爪型行列式专辑
爪型行列式形如：
方法：将D的第i+1列乘以()
1,2,,
i
i
c
i n
a
-=L都加到第1列，得
有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。
【例】：
1
2
3
n
n
a x x x
x a x x
D x x a x
x x x a
=
L
L
L
M M M O M
L
化为爪型行列式的方法：
○1
1
12
1
13
1
00
00
2,3,,
00
i
n
n
a x x x
x a a x
r r
D x a a x
i n
x a a x
--
-
--
=
--
L
L
L
L
M M M M
L
()()()
1
1
21
11
1
11
n n
n n
n
i i
i i
i i
i i
a x x
x a a x
x a x a a x
-
==
==
????
=-+-=-+
? ?
---
????
∑∑
∏∏
○2先采用加边法
1
2
3
1
n
n
x x x x
a x x x
x a x x
D
x x a x
x x x a
=
L
L
L
L
M M M M M
L
1
12
3
1
1
1000
1000
1000
2,,1
1000
i
n n
x x x x
a x
r r a x
a x
i n
a x
+
--
---
--
=+
--
L
L
L
L
L
M M M M M
L
1
11
1
2
3
1
1
0000
0000
2,,1
0000
0000
j
n
i i
j
a
n n
x
x x x x
a
a x
c c
a x
j n
a x
a x
=
+
??
+ ?
??
-
+
-
=+
-
-
∑L
L
L
L
L
M M M M M
L
()
1
1
1
n n
i
i
i i
x
a x
a
=
=
??
=-+
?
??
∑
∏
加边法与爪型行列式结合可以计算如下行列式值：
○
4范德蒙德行列式专辑 2
2
2
2
44441111a b c d a
b
c
d
a b c d ，此4阶行列式并非范德蒙德行列式，并非4个元素的零次至3次幂构成。
解法一：采用降阶法，即利用行列式展开定理，逐步展开行列式。
2
2
2
2
4
4441111a b c d a
b
c
d
a b c d 213141
c c c c c c ---2
2
2
2
2
2
2
444
44
44
1
000a
b a
c a
d a a
b a
c a
d a
a b a c a d a ---------
或者
22224
4
4
4
1111
a b c d a b c d a
b
c
d
212
31441
r ar r a r r a r ---22222244
44
44
1
1110
00b a
c a
d a b a c a d a b a c a d a ---------
按第1行展开22
222244
44
44
b a
c a
d a b a c a d a b a c a d a ---------
()()()
()()()()()()
2222221
11b a c a d a b a
c a
d a
b a b a
c a c a
d a d a ---++＝＋＋＋＋＋＋＋
2131
c c c c --()()()
()()
221
00b a c a d a b a c b d b
b a b a x
y
-----＋＋＋()()()()222222x c b a b c ac bc ab y d b a b d ad bd ab ??=-+++++ ? ?=-+++++??
()()()
c b
d b b a c a d a x
y
--=---
()()()()()
22222211
b a
c a
d a c b d b a b c ac bc ab a b d ad bd ab
=-----++++++++++()()()()()()()b a c a d a c b d b d c a b c d =------+++
解法二：利用范德蒙德行列式。但是首先对原行列式增加一行一列，使之成为5阶范德蒙德行列式
(),,,,f a b c d x
()2
22223
33334
4
4
4
4
11111,,,,a
b c d x
a
b c d x f a b c d x a b c d x a b c d x =，其中（4，5）元素3x 的余子式即是所求4D 。 按第5列展开()234
1525354555
,,,,(1)f a b c d x A xA x A x A x A =++++，即445D A =-
根据范德蒙德行列式得
()()()()()()
,,,,,,,(2)f a b c d x x a x b x c x d f a b c d =----
其中
()()()()()()432x a x b x c x d x a b c d x ab ac bc ad bd cd x ----=-+++++++++
()abc abd acd bcd x abcd -++++
(1)式与(2)式是x 的4次多项式(),,,,f a b c d x 的两种表示方式，比较两者3
x 的系数，于是得到3
x 的系数为
()()45A a b c d f a,b,c,d =-+++
所以()()445D A a b c d f a,b,c,d =-=+++
()()()()()()()4D a b c d d a d b d c c a c b b a =+++------
【例】：计算行列式
11
111111
11
222222
1
11
111111
?
n n n n
n n n n n
n
n n n n
n n n n n n
a a
b a b b
a a
b a b b
D
a a
b a b b
--
--
+
--
++++++
==
L
L
M M M M
L
22
111
111
22
222
1222
1
22
111
111
1
1
1
n
n
n i
i
n n n
n n n
b b b
a a a
b b b
D a a a a
b b b
a a a
+
=
+++
+++
????
? ?
????
????
? ?
=????
????
? ?
????
∏
L
L
M M M M
L
()
1
11111
n
j
n i
i j i i j
i j i n j i n
i j
b
b
a a
b a b
a a
+
=≤<≤+≤<≤+
??
=-=-
?
?
??
∏∏∏
【例】：计算
12
222
1122
121212
1122
111
111
n
n n n
n n n n n n
n n
x x x
D x x x x x x
x x x x x x
------
+++
=+++
+++
L
L
L
M M M
L
解答：将第1行的－1倍加到第2行，再将第2行的－1倍加到第3行，…，最后将第n－1行的－1倍加到第n行，于是原行列式变换为
n
D
21321
n n
r r,r r,,r r
-
---
L()
12
222
12
1
111
12
111
n
n i j
n i j
n n n
n
x x x
x x x x x
x x x
≥>≥
---
=-
∏
L
L
L
M M M
L
【例】：计算
12
12
12
222
12
111
12
111
n
n
n
n
n
n n n
n
x
x x
x x x
x x x
D
x x x
x x x
---
---
=
L
L
L
M M M
L
解答：依次对每一行提出因子12
1
j
j
x
,j,,,n
x
=
-
L
n D 121211112n n
x x x n x x x c ,c ,,c ---L 122
221122
1121212
11221111111
n n j n n j j n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x =----------------∏L L L M M M L
21321n n r r ,r r ,,r r -+++L ()1
2222
12111
1
11
121111
1n
n n j
j n i j j j n i j j j n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ==≥>≥---=---∏∏∏L L L M M M L
【例】：设0a b c >>>，用范德蒙德行列式证明
2
2
32
0a a bc
D b b ac c c ab
=< 解答：给定行列式并非范德蒙德行列式，因此需要对其进行变换化为范德蒙德行列式。
()2222
22331322
22
a a a a
b b
c ca a a ab bc ca D c a b c c b b b ab bc ca c c b b ab bc ca c c c ab bc ca
c c ab bc ca
+++++++++++-+++++++ ()()22
22322122
1
11111a a a a ab bc ca b b c c ,c c ab bc ca b b c c c c =++??++
()()()()ab bc ca c a c b b a =++---
()()()()0
00ab bc ca a b c ,c a c b b a ++>??>>>∴?---
2
2
32
0a a bc
D b b ac c c ab
∴=< ○
5三角形行列式 利用性质将行列式化为三角形行列式进行计算。注意通常化为以下几类三角形行列式：
○
1()
()
11
11121212222211221200000
0n n nn n n nn
nn
a a a a a a a a a a a a a a a =
=L L O
M L L M M O M M O M L
L
下三角形上三角形；
○
2()
()111111*********
1211211110
0100
n
,n n n n ,n n
,n n ,n n ,n n n,n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a -------=
=-L L M N
L L N M M M N N M L L
爪形行列式最终将行列式化为三角形行列式计算。
○
6递推法 变换行列式为同类型得较低阶行列式来表示，从而建立起递推关系。 【例】：计算行列式
111
2
1
1
00000010n n
n n a a a β?β++=L O O M M M
O O M L L
()11
2
010010001n
n n n
a a a ?β+-L M O O M M M
O O O L L L L
111122111
1
n
n
n n n i i i n
β?αβαβαβαβαβα--==-==
---=-∑L 。
【例】：计算三对角线行列式（即行列式的非零元素都在对角线上，以及与对角线“平行”的上、下两条斜线上）
1
1
1
n D αβ
αβ
αβαβ
αβαβ
++=
+O O O
O
解答：将n D 按第1列展开得，建立递推公式
1
1
1
n D αβ
αβ
αβαβ
αβαβ
++=
+O O O
O ()11
1
1
1
n n D αβ
αβαβ
αβαβαβ--+=+-
+O O O
O
()()1122
1
1
n n n n D D D αβαβ
αβαβ
αβαβαβαβ
----+=+-=+-+O O O
O
即得：()12n n n D D D αβαβ--=+-，整理得()112n n n n D D D D αβα----=- 递推得到：()()()2
21122321n n n n n n n D D D D D D D D αβαβ
αβα-------=-=-==-L
按第一
1D αβ=+，2221D αβ
αβ
ααββαβ
+=
=+++
所以：1n n n D D αβ--=，即得到递推公式1n
n n D D βα-=+
并依此公式递推：()1
12122n n n n n n n n n D D D D βαβα
β
αβαβα-----=+=++=++
11n n i n i n n βαβαβαβα---==++++++L L L
○
7数学归纳法： 教材习题一5（5）
12121122
1
10000100
0001n n n n n n n
n n x
x D x a x a x a x a x a a a a x a -------==+++++-+L L L
L L L L
用数学归纳法证明： 1、当n ＝1时，11D x a =+ 2、当n ＝2时，221221
1
x D x a x a a x a -=
=+++ 3、假设对于n －1阶行列式命题成立，即()123112211n n n n n n D x a x a x a x a ------=+++++L
那么按第一列展开D n ，
1
22
1
100001000
00
1n n
n n x x D x a a a a x a ----=-+L L L
L L
L
()1111111111112n n n n n n n n n
D a A a A xD ()a ()xD a +---=+=+--=+
将(1)式带入(2)式，即可得12
121n n n n n n D x a x a x a x a ---=+++++L
Cramer 法则
线性方程组
11112211
21122222
1122
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+++=
?
?+++=
?
?
?
?+++=
?
L
L
L
L
当
12
n
b b b
====
L时，该线性方程组称为齐次线性方程组；
当
12
,,,
n
b b b
L不全为零时，该线性方程组称为非齐次线性方程组
注意：○1Cramer法则只适用于解决方程个数＝未知量个数且0
D≠的线性方程组；○2齐次线性方程组总有解，总是有零解。
二、矩阵
1.要求：
1.理解矩阵的概念.
2.了解单位矩阵，纯量矩阵、对角矩阵，三角矩阵，对称矩阵以及它们的基本性质.
3.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则.
4.理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充要条件，掌握可逆矩阵的性质.
5.掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法.
6.了解矩阵等价的概念
7.理解矩阵秩的概念并掌握其求法.
2.知识脉络图
3.矩阵运算性质 矩阵加法
运算规律：（,,A B C 都是同型矩阵）
○
1+=+A B B A ；○2()()++=++A B C A B C ；○3+=A O A ；○4()+-=A A O 矩阵数乘
运算性质：
○
1()k l k l +=+A A A ；○2()k k k +=+A B A B ；○3()()k l kl =A A ；○41?=A A 矩阵的乘法：
运算性质：（假设下列运算有意义）
○
1()()
=AB C A BC ；○
2()+=+A B C AB AC
；○
3()+=+B C A BA CA
；○
4()()()k k k ==AB A B A B
注意：一般情况下，○
1不满足交换律≠AB BA ； ○
2没有消去律=?=AB AC B C ； （若0n n ?≠A ，则有11
--=?=?=AB AC A AB A AC B C ） 例如：,1002,0002,0001???? ??=???? ??=????
??=C B A 则,0002,0002???
?
??=???? ??=AC AB 显然AC AB =，但C B ≠。 ○
3=?==AB O A O B O 或或,≠≠?=A O B O AB O 且 例如：???? ??=???? ??--???? ??--=???? ??--???? ??--???
?
??--=???? ??--=???? ??--=00001111,
1111,,a a a a b b b b a a a a
b b b b a a a a C B A
转置矩阵
运算性质：
○
1()
T
T =A A ；○
2()T T T +=+A B A B ；○3()T T T =AB B A ；○4()T
T k k =A A 方阵的行列式
运算性质：（,A B 均为n 阶方阵）○
1T
=A A ；○2n
k k =A A ；○3=AB A B ，且=AB BA 注意：○
3中只有当,A B 均为n 阶方阵时才成立。若,A B 分别为,m n n m ??型矩阵时，=AB BA 未必成立
○
41
1
--=A A ，()0≠A 时；○
51
n -*
=A A ；○
6一般情况下+≠+A B A B 伴随矩阵
n 阶方阵A 与其伴随矩阵*
A 时可交换的：**
==AA A A A E 运算性质：（,A B 均为n 阶方阵）
○
1()
*
**=AB B A ；○21
n -*=A A
；○3()1n k k *-*
=A A ；○
4()()()(),1,10,1
n R n
R R n R n *=??==-??
<-?A A A A ；○5()()
T
T *
*=A A ；
○
6若0≠A ，则()
()1
1-*
*-=A A ；○
7若0≠A ，则()2
n *
-*
=A A A ，n ≥2.
逆矩阵
运算性质：（,A B 均为n 阶可逆方阵）
○
1若0≠A ，则()
1
1--=A
A
;○
2()1
1
1
0λλλ---≠?=A A
；○
3()
1
11
---=AB B A
；○
4()
()
1
1T
T
--=A A
n 阶方阵A 可逆的充分必要条件：
n 阶方阵A 可逆0?≠A （即A 是非奇异方阵）()R n ?=A （即A 是降秩方阵）?A 可以表达成若
干个初等矩阵的乘积?齐次线性方程组0n n x ?=A v v 只有零解?非齐次线性方程组n n x b ?=A v
v 只有唯一解
求逆矩阵的方法：
以下方法○1、○2适用于给定(),i j 元素值的可逆方阵求逆 ○
1伴随矩阵求逆法，1
1-*=
A A A ；○2初等变换法()()
1r
-??→A,E E,A ，或者1c -??????→ ? ?????
A E E A ○
3分块对角矩阵求逆法（仅限于方阵的分块矩阵是分块对角矩阵）， 1
2
s ??
?
?= ?
??
?A A A A O
，111
121s ----??
?
?= ? ? ??
?
A A A A O
○
4利用1-=AA E ，或者1-=A A E 得到1
-A （习题二的15，19，20，21，22） 若给出矩阵A 满足的关系式，要求与A 有关的某个矩阵()A f 的逆矩阵，一般情况下，可以将给定的关系式等价的化简为()()E A A =g f ，或者()()E A A =f g 的形式，从而证得()A f 可逆，并可以求出
()()()A A g f =-1
初等矩阵
初等矩阵的逆矩阵仍然为初等矩阵，
()()1,,i j i j -=E E ；()()()()11,0k i k i k -=≠E E ；()()()()1,,i j k i j k -=-E E 分块矩阵
在对矩阵进行分块运算时，要注意分块的合理，保证分块矩阵运算由意义。
○
1一般情况下，≠-A B AD BC C D
