量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac 符号系统与表象
一、Dirac 符号
1. 引言
我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量
（1）. 右矢空间
力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如：
=n n
a n ψ∑
（2）. 左矢空间
右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。
的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开：
|ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ...
展开系数即相当于 Q 表象中的表示：
12
n a a a ψ?? ? ? ?= ? ? ??
?
<ψ| 按 Q 的左基矢 <ψ| = a*1 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： ψ+= (a*1, a*2, ..., a*n , ... ) 同理 某一左矢量 <φ| 亦可按 Q 的左基矢展开： <φ| = b*1 的标积为：*n n n b a ?ψ=∑。显然<φ|ψ>* = <ψ|φ>。对于满足归 一化条件的内积有：*1n n n a a ψψ= =∑。 这样，本征态的归一化条件可以写为： 由此可以看出：<ψ | 和 |ψ> 满足： a ）在同一确定表象中，各分量互为复共轭； b ）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加； c ）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。 （4）. 本征函数的封闭性 a ）分立谱 展开式： =n n n a Q ψ?∑|()|()()m n m n n mn n n n Q a t Q Q a t a t ψδ<>= <>= =∑ ∑ 可得： |||n n n Q Q ψψ>= ><>∑ 因为 |ψ> 是任意态矢量，所以： ||1n n n Q Q ><=∑ b ）连续谱 对于连续谱 |q > ，q 取连续值，任一状态 |ψ >展开式为： |()|q a t q dq ψ>= >? ? 因为 |ψ> 是任意态矢量，所以： ||1q dq q ><=? 这就是连续本征值的本征矢的封闭性。 c ）投影算符 |Q n > 因为|ψ> 在 X 表象的表示是ψ(x, t)，所以显然有： 在分立谱下： ||1n n n Q Q ><=∑ ||'|'n n n x Q Q x x x <><>=<>∑ 所以*(')()(')n n n u x u x x x δ=-∑。 在连续谱下： ||1q dq q ><=? |||x q d q q x x x ''<><>=<>? '|''(''')'|''(''')|n m nm p p p p x x x x Q Q δδδ<>=-<>=-<>=连续谱连续谱分立谱 |||q dq q ψψ>= ><> ? |(,)||**(,)x x t x x x t ψψψψψ<>=?? <>=<>=? 所以*(')()(')q q u x u x dq x x δ=-?。 上述讨论即本征矢的封闭性，其与完备性的区别如下： 正交归一性的表示式是对坐标的积分，封闭性的表示式是对本征值的求和或积分。所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正 交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。 3. 算符 （1）. 右矢空间 X 表象下： 在一般Dirac 表象下： 利用分立谱下的完备性可以得到： 写成矩阵形式为： 即Q 表象下ψ = F φ。 平均值公式：?||F F ψψ=<>。利用利用分立谱下的完备性可以得到： * ?||||m m n n m n m m n n m n F Q Q F Q Q a F a ψψ=<><><>= ∑ ∑ （2）. 共轭式（右矢空间） * ?||*|||* |*|()|??|||||m m m n n n m n n nm n nm n n n n n n m m n Q Q Q F Q Q F Q F Q F Q Q Q F Q F Q ψψ??????+ ++? ?<>=< >=<><> ? ?? ??=<>=<>=<> ???= <><>=<>∑ ∑∑ ∑ ∑ 从而可以得到：?||F ψ?+<=<。如果?F +为厄米算符，则有?||F ψ?<=<。 )'()()'(*)'()()'(*x x dq x u x u x x x u x u q q n n n -=-=?∑δδ) '()()(*)()(*'q q dx x u x u dx x u x u q q nm m n -==??δδ??(,)(,)(,)x t F x p x t ψ?=>>=<<φψ|?||F Q Q m m >><<=∑φ||?|n n m n Q Q F Q >>=φψ|?|F ??? ??? ? ? ??><><><><><><><=???????? ??><><>< φφφψψψ||||?|,|?|,|?|,|?|,|?||||2112212211121n n n Q Q Q Q F Q Q F Q Q F Q Q F Q Q F Q Q Q Q 表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。 例：力学量算符 x 在动量中的形式 ?||x ψ?>=> ??||||||p p x p x p dp p ψ??'''<>=<>=<><>? ??||||||||||()|1 ||21122() i i px p x i i i i px p x px p x p x p p x dx x x x dx x p p x dxx x x dx x p p x dxx x x dx x p p x xdx x p e xe dx i e e dx i e e dx p p i p p p δπππδ'- ''- - '''''<>=<><><>'''''=<><><>'''''= <>-<>'=<><>= ??= = ??? '=-????????? ???? ?? 即有： 故坐标算符 x 在动量表象中取如下形式： ?x i p ?=? 4. 总结 >'<'>'<>=>=< p x p p > ='<''-??=?φφδ||)(p p i p p d p p p i （1）X 表象描述与狄拉克符号 1 ) ( |) ( | 1 ) , ( ) , ( ) ( ) ( ? ) , ( ? ) ( | ) , ( * * >= ψ ψ < >= < = ψ ψ = ? - > ψ ψ ? ? t t Q Q dx t x t x dx x u x u F i r F t t x mn n m mn n m δ δ 本征函数 归一化 算符 波函数 Dirac 符号项目X 表象 ? ? ∑ ? = < > = >< - ' = ' - ' = ' '' - ' >= '' ' < '' - ' = '' ' 1 | | 1 | | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( * * * q dq q Q Q x x dq x u x u x x x u x u q q q q q q dx x u x u n n q q n n n q q δ δ δ δ 封闭性 本征函数 归一性 正交 > =< = > >= = > Φ >= ψ Φ = ψ ?ψ ψ ψ ψ ψ λ ψ λψ ψ |? | ? | |? ) ( ) ( )?, (? ) ( |? ) ( | ) , ( ) ?, (? ) , ( *F F dx F F F r r p r F t F t t x p x F t x x 平均值 本征方程 公式 > ψ >= ψ ψ ? - = ψ ? ? - > =< =? ) ( | ? ) ( | ) , ( ) , ( ? ) , ( | ? | ? * t H t dt d i t r i r H t r t i S n F m F dx F F mn n m mn 方程 矩阵元ψ ψ （2）左右矢空间的对应关系 左矢空间右矢空间 > <ψ ψ| | F F? ?+ > >= =< <+φ ψ φ ψ|? | ?| |F F （3）厄密共轭规则由常量C、左矢、右矢和算符组成的表 示式，求其厄密共轭式的表示规则1）把全部次序整个颠倒2）作如下代换： 常量 C C* < | 左矢右矢| > | > < | + F F? ? * |] | |?|ψ φ>< > F u C* | ?| | |C u F v> < ><+ φ ψ 二、态的表象 到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。 波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。 1. 动量表象 在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。 动量本征函数： / ()ipx p x ψ= 组成完备系，任一状态Ψ可按其展开。 展开系数：(,)(,)() p x t C p t x dp ψ ψ=?，(,)*()(,) p C p t x x t dx ψ =ψ ?。 命题：假设Ψ(x,t) 是归一化波函数，则C(p,t) 也是归一。 证明： 1*(,)(,) [(,)()]*[(,)()] (,)*(,)*()() (,)*(,)() (,)*(,) p p p p x t x t dx C p t x dp C p t x dp dx C p t C p t dp dp x x dx C p t C p t dp dp p p C p t C p t dp ψψ ψψ δ ' ' =ψψ '' = '' = ''' =- = ? ??? ??? ?? ? C(p, t) 的物理意义： |Ψ(x,t)|2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在x → x + d x 范围内的几率。 |C(p,t)|2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p → p + d p 范围内的几率。 Ψ(x,t) 与C(p,t) 一一对应，描述同一状态。Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数；而C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。 若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定动量p’ 的自由粒子态，即： 则相应动量表象中的波函数： 所以，在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p为变量的δ- 函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。 x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值x’本征函数是δ(x'-x)。这可有本 μ ψ 2 ) ( ) , ( 2 / p E e x t x p t iE p p ' = = ψ ' - ' ' dx t x x t p C p ) , ( ) (* ) , (ψ =?ψdx e x x t iE p p p / ) ( ) (*' - ' ?=ψ ψ dx x x e p p t iE p) ( ) (* / ' -? ' =ψ ψ ) ( /p p e t iE p' - =' -δ 征方程看出： ()()x x x x x x δδ'''-=- ()()x x x x ψδ''=- 2. 力学量表象 推广上述讨论： x, p 都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量Q 都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。 （1）. 具有分立本征值的情况 设 算符Q 的本征值为： Q 1, Q 2, ... , Q n , ...， 相应本征函数为： u 1(x), u 2(x), ... , u n (x), ...。 将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函数展开： (,)()() ()*()(.)n n n n n x t a t u x a t u x x t dx ψ= = ψ∑ ? 若Ψ, u n 都是归一化的，则 a n (t) 也是归一化的。 证明： 1*(,)(.)[()()]*()()*()()*()()*()()*()() m m n n m n m n m n m n m n m n m n n n n x t x t dx a t u x a t u x dx a t a t u x u x dx a t a t a t a t δ= ψψ==== ?∑∑ ?∑∑ ?∑∑ ∑ 根据矩阵形式归一化可写为： （2）. 具有连续本征值的情况 ? ? ???? ?? ??=ψ )()()(21t a t a t a n () * )(* )(* )(21t a t a t a n =ψ+ () 1212()()()*()*()* ()()*()1 n n n n n a t a t a t a t a t a t a t a t +?? ? ? ?ψψ= ? ? ??? ==∑ 设力学量Q 的本征值和本征函数为： Q 1, Q 2, ..., Q n , ..., q u 1(x), u 2(x), ..., u n (x), ..., u q (x) 则有： 归一化： 其中： 在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵表示： 12()()()()n q a t a t a t a t ?? ? ? ?ψ= ? ? ? ? ??? () 12()* ()* ()* ()*n q a t a t a t a t +ψ= 3. 讨论 有上述讨论可以知道，我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系， u 1(x), u 2(x), ..., u n (x), ... 是Q 表象的基本矢量简称基矢。 波函数 12()()()()n q a t a t a t a t ?? ? ? ?ψ= ? ? ? ? ??? 是态矢量Ψ在Q 表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q 表象的基矢有无限多个， 所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert 空间。 三、算符的矩阵表示 1. 力学量算符的矩阵表示 Q 表象： (,)()()()()n n q q n x t a t u x a t u x dq ψ=+∑?*()()*()()1 n n q q n a t a t a t a t dq +=∑????? ?ψ=ψ= ??dx t x x u t a dx t x x u t a q q n n ),()(*)(),()(*)( (,)()()(,)()() m m m m m m x t a t u x x t b t u x ?ψ=?? Φ=?? ∑∑ 代入坐标表象： ??(,)(,)(,)?(,)(,) x x t F x p x t F x i x t ? ?Φ=ψ=-ψ 得到： ()() m nm nm m m m b t F a t δ= ∑ ∑ 即()() n nm m m b t F a t = ∑ 。其中利用了下式： ?*()(,)()nm n m x F u x F x i u x dx ??≡ -? 从而得到Q 表象的表达方式：()() 1,2,n nm m m b t F a t n ==∑ 写成矩阵形式为 简写为F ψ?= 例：求 L x 在 L 2, L z 共同表象，λ=1子空间中的矩阵表示。 令： u 1 = Y 11 u 2 = Y 10 , u 3 = Y 1-1，则L x 的矩阵元计算如下： ?()*,1,2,3x ij i x j L u L u d i j = Ω=? 利用 12 ,1 ??()x lm l m L L L L Y +- ±±= += 可得： ) ()(),(?)()(x u t a i x F x u t b m m m x m m m ∑∑ ?? -= ) (])(),(?*[)(*)(t a dx x u i x F u dx x u u t b m m x n m m n m m ??-= ? ∑?∑ ??????? ? ???? ??? ??? ??=?????? ?? ?? )()()()()()(2121222211121121t a t a t a F F F F F F F F F t b t b t b m nm n n m m n ?=+=-+10111 1)??(1Y Y L L u L x 写成矩阵： 由此可得L x 的矩阵元为 (L x )11 = (L x )22 = (L x )33 = 0 (L x )13 = (L x )31 = 0 (L x )12 = (L x )21 = (L x )23 = (L x )32 = η/21/2 2. Q 表象中力学量算符F 的性质 （1）.力学量算符用厄米矩阵表示 ?*()()?[()(())*]*?[*()()]***()nm n m n m m n m n nm nm F u x Fu x dx u x Fu x dx u x Fu x dx F F F += =====? ?? 所以厄米算符的矩阵表示是厄米矩阵。 例：在例1中给出了 L x , L y 在 L 2, L 表象中的矩阵形式，下面我们验证 一下这两个矩阵是厄密矩阵。（略） （2）.力学量算符在自身表象中的形式 ?()()n n n Qu x Q u x =，则Q 的矩阵元为： ?*()()*()()nm n m m n m m nm Q u x Q u x dx Q u x u x dx Q δ= ==? ? 结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。 3 .Q 有连续本征值的情况 讨论只有连续本征值的情况 如果 Q 只有连续本征值q ，上面的讨论仍然适用，只需将u, a, b 的角标从可数的 n, m 换成连续变化的 q ，求和换成积分，见下表。 ???? ? ? ?-=10 0000 01 z L ???? ? ??--=000002i i i i L y ????? ??=010******* x L 算符F 在Q 表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定： ?*()(,)()qq q q x F u x F x i u x dx ? ''?= -? 四、量子力学公式的矩阵表示 1 .平均值公式 坐标表象下：?*(,)(,)F x t F x t dx =ψψ? 。 在Q 表象中： (,)()()*(,)*()*() n n n n n n x t a t u x x t a t u x ?ψ=?? ψ=??∑∑ ?*()*()()()?()*[*()()]()()*() m m n n m n m m n n m n m m n n m n F a t u x F a t u x dx a t u x Fu x dx a t a t F a t = == ∑ ∑?∑∑ ?∑∑ 写成矩阵形式为： () 11 12112122221212()()*(),*(),,*()()n n m m m m n n F F F a t F F F a t F a t a t a t F F F a t ???? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ??? ? ? 即*F F =ψψ 2 .本征方程 ?()()F x x F ψλψψλψ == 写成矩阵形式为： 整理改写为： 上式是一个齐次线性方程组： 方程组不完全为零解的条件为久期方程等于零，即： 求解此久期方程得到一组λ值：λ1, λ2, ..., λn , ....就是F 的本征值。 将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各λi 的本征矢： 于是求解微分方程的问题化为求解代数根的问题。 例： ? 本征函数 u m (x) 在自身表象中的矩阵表示。 同样将 u m (x) 按 ? 的本征函数展开：()()m n n n u x a u x =∑，所以 u m (x) 在自身表象中的矩阵表示如下： ? ??? ?? ?? ??=?? ?????? ?????????? ?? n n nn n n n n a a a a a a F F F F F F F F F 2121212222111211λ021212222111211=? ? ?? ?? ?? ?????????? ??--- n nn n n n n a a a F F F F F F F F F λλλ ,2,10)(==-∑m a F n mn mn n λδ0212222111211=--- λλλnn n n n n F F F F F F F F F n i a a a ni i i ,,2,121=? ? ??? ? ?? ?? 例：求 L x 本征态在 L z 表象中的矩阵表示，只讨论(λ=1)情况。 L x 本征方程为： 从而有λ(-λ2 + ?2) = 0 ，解得本征值为：λ= 0, ±?。 取λ= ?代入本征方程得： 解得：a 1=(1/21/2) a 2 a 3=(1/21/2) a 2 则λ=1, L x = ?的本征态可记为： 有归一化条件得到： 同理得到另外两个本征值对应的本征函数： ?????? ??? ? ??==????? ???? ? ??=????? ????? ??=01000010000121m m a u u u ???? ? ??=????? ??????? ? ?32132101 010101 02 a a a a a a λ 020220 2321=???? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?---a a a λλλ 2 22 02=---λ λλ 020******* =? ?? ?? ?????????? ? ??---a a a 2 2121111a ?? ?? ?? ??=ξ221212212111111*1a a ????? ? ??? ??? ??=+ξξ2 12= a 1||222==a 2 .薛定谔方程的矩阵形式 ?(,)(,)i x t H x t t ?ψ=ψ? ，按力学量算符Q 的本征矢展开有 (,)()()n n n x t a t u x ψ= ∑ 代入薛定谔方程得到： ?()()( )()n n n n n n i a t u x H a t u x t ? =?∑∑ ?()*()()()*()()n m n n m n n n i a t u x u x dx a t u x Hu x dx t ? = ?∑∑ ?? ()()n mn n mn n n i a t a t H t δ?= ?∑ ∑ ()() ,1,2,m mn n n i a t H a t m n t ?= =?∑ ?*()()mn m n H u x Hu x dx = ? 得到：11 12111212222212()()() ()()()n n n m m m n n H H H a t a t H H H a t a t i t a t H H H a t ?? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?=? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? 简写为：i H t ?ψ=ψ ? ，其中H ，Ψ都是矩阵。 四、Hellmann - Feynman 定理及应用 1 .引言 关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F 定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。 （1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F 定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算； （2）利用 H-F 定理可以很巧妙地推出维里定理。 2 .H-F 定理 设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 λ，E n 是 H 的本征值，ψn 是归一 ????? ? ??-=????? ? ? ?-= ? ??? ? ? ??=-2121211 12 12110212121110ξξξ 的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则 ?n n n E H ψ ψλ λ ??=?? 证明：据题设，ψn 满足本征值方程： ?()|0n n H E ψ->= 其共轭方程为： ?|()0n n H E ψ<-= ??| ()||()| ?| |||0 ?|||?| |n n n n n n n n n n n n n n n n n n n H E H E H E E H E H ψψψψλ λψψψψλλψψψψλ λ ψψλ λ ??<->+<->=??? ?<>-<>= ????<>=<> ????=<>?? 3 .实例 （1）证明一维谐振子 。 证明：一维谐振子哈密顿量： 方法 I ：取μ作为参数λ 简记为 2 ()2p V x μ <>=< > 22 2212212 ?2()0,1,2,n d H x dx E n n μωμω=-+=+= 0=??μn E 222122222?x dx d H ωμμ+=?? ])2([12 2212 22x dx d μωμμ+--= )](2[12x V p +- =μμn n n H E ψμψμ??=???n n x V p ψμ ψμ)(2102 +-=n n n n p x V ψμψψψ2)(2= 方法II 令λ= ω 2 ?x H μωω =??[ 2 2 1μω ω =) (2 x V ω = n > < )( x V n E n V 21 2121)( =+>=<ω > <+>>=<= > <+>>=< 2 > >=<<μ 22 p V 方法III 取λ= ]2[?2 22 1 2 22 x dx d H μωμ+ - ??=?? 2 dx d μ - =]2[2]2[22 222 μ μp dx d =-=由HF 定理 n n n H E ψ ψ ??= ???> <= + μ ω22)(2 2 1 p n n E n p 21 21212 )(2=+>= < ωμ ] 2[2 2 1><+>< =V p μ > >=<<μ22 p V > ??>=< 2 n n n r V r ψ ψψ )(2 1 ??= ) (2?2 2 r V H +?-=μ 将 视为参数由HF 定理 μ μ 22?2 2 p H = ? - =??n n n H E ψ ψ ??=???II.在动量表象 p i r ??=?(2?2 p i V p H ?? +=μ) (?p i V H ????=??由HF 定理 > ??<=??V r E n 1> ??<>= < V r p 1222 μ n p ψμ ψ2?22 = ???? =r r V r )(V r ??= 1>??<>= 2122μ 狄拉克符号（Dirac ） 1狄拉克符号 量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。 问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。 1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间 任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有 ∑=n n n u a ψ （1） n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵） ????? ?? ? ??= n a a a 21ψ () ,,,,* *2*1n a a a =+ψ （2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间 注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u 表象 1.1.2 态空间中内积（标积）的定义 设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为 () ∑=????? ?? ? ??=+n n n n n B A b a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3） 注意：A B B A ψψψψ+ +≠ 1.1.3狄拉克符号的引入 态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间?伴随空间 如何输入特殊符号（上标、下标、数学符号、单位等） 分享到：0 发布日期：2010/1/6 11:04:00 来源：作者：点击：14204 教你如何在word、excel中输入特殊符号，包括上标、下标、数学符号、单位符号、分数等。方法1：用公式编辑器的方法输入分数。该方法是从word或者菜单栏里选择插入对象，然后选择Microsoft公式3.0就可以编辑任何你想要的公式了。（使用本方法的前提是您的... 教你如何在word、excel中输入特殊符号，包括上标、下标、数学符号、单位符号、分数等。 方法1：用公式编辑器的方法输入分数。 该方法是从word或者菜单栏里选择“插入”>“对象”，然后选择“Microsoft 公式3.0”就可以编辑任何你想要的公式了。（使用本方法的前提是您的电脑中装了“Microsoft 公式3.0”） 另一个方法是用EQ域（如果您的电脑没有安装公式编辑器的话可用此法）。例：输入分数的具体方法如下： 按“Ctrl+F9”组合键，出现灰底的大括号，里面有光标在闪动，在这个大括号里面输入“eq \f(X,Y)”（不含双引号），其中X、Y分别是分子和分母的式子（中文也行）；最后按一下“Shift+F9”组合键，这个分式就打出来了。 比如要输入分数3(X+Y)+Z／2X 的话，在这个大括号里面输入“eq \f(3(X+Y)+Z,2X)”（不含双引号），最后按一下“Shift+F9”组合键，这个3(X+Y)+Z／2X 分数就打出来了。 注：输入域代码“eq \f(3(X+Y)+Z,2X)”时需在英文输入法状态下输入，eq后面有一个空格。 其实，经本人实践，EQ域其实本身就是“Microsoft 公式3.0”。 方法2：使用ASCII码（按下ALT键的同时输入一组十进制的ASCII码序列） 例如：在EXCEL表格中输入平方数的2（方法：按下alt键同时连续输入178，然后释放alt键即可）-----该输入方法除了适用于word、excel，同时也适用于网页，记事本等快速输入。立方数的3的ASCII序列号为：179 在word中输入下标的办法：同时按下ctrl和= ，这时光标自动缩小到下半部分，随便输入一个数字看看，呵呵。输入上标（平方、立方等）的办法：同时按下ctrl 、shift 和=，这时光标自动缩小到上半部分，输入2或者3试试，呵呵。 附部分ASCII码表： 特殊字符 字符 十进制 转义字符 " 量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ 称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ 876 量子力学考试大纲 一、考试性质与范围 本《量子力学》考试大纲用于北京科技大学物理学相关各专业硕士研究生的入学考试。本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定性关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利不相容原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 二、考试基本要求 （一）波函数和薛定谔方程 1．了解波粒二象性的物理意义及其主要实验事实。 2．熟练掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性和单值性。深入理解波函数的概率解释。 3．理解态叠加原理及其物理意义。 4．熟练掌握薛定谔方程的建立过程。深入了解定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相互关系。了解连续性方程的推导及其物理意义。 （二）一维势场中的粒子 1．熟练掌握一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论，掌握一维有限深方势阱束缚态问题的求解方法。 2．熟练掌握势垒贯穿的求解方法及隧道效应的解释。掌握一维有限深方势阱的反射、透射的处理方法。 3．熟练掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点及其应用。 4．了解 --函数势的处理方法。 （三）力学量的算符表示 1. 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。 2．熟练掌握厄米算符的基本性质及相关的定理。 3．熟练掌握坐标算符、动量算符以及角动量算符，包括定义式、相关的对易关系及本征值和本征函数。 4．熟练掌握力学量取值的概率及平均值的计算方法，理解两个力学量同时具有确定值的条件和共同本征函数。 5．熟练掌握不确定性关系的形式、物理意义及其一些简单的应用。 6．理解力学量平均值随时间变化的规律。掌握如何根据哈密顿算符来判断该体系的守 输入法：先输入E000,在同时按下Alt和X 输入法：先输入E001,在同时按下Alt和X 输入法：先输入E002,在同时按下Alt和X 怎样在EXCEL里面快速输入立方米、平方米？很简单！ ALT+178（平方米）输入平方米 ALT+179（立方米）输入立方米 Alt+137-------‰（千分号） Alt+177-------±（正负、误差） 图片： 【分享】1级、2级、三级钢筋符号CAD中的输入 简单说明：下载sjrf.rar ，解压缩到AUTO安装目录FONTS（字体）目录下。 在CAD里，“多行文字”是无效的，“单行文字”有效。 注意：画新图纸要先在CAD “格式”下“文字样式”里选用字体sjrf，中文用多行输入，有钢筋符的或是数字用单行文字输入，这样都可正常显示（因为sjrf字体不支持中文的） 输入条件： 首先保证Font文件夹中有txt文件，没有的话在下边下。 txt >>下载其次输入的内容要在text中，也就是单行文字中输入。 输入内容： 钢 ％％130 一级钢符号 ％％131 二级钢符号 ％％132 三级钢符号 ％％133 四级钢符号 ％％134 特殊钢筋 ％％135 L型钢 ％％136 H型钢 ％％137 槽型钢 ％％138 工字钢 格式 ％％140 上标文字开 ％％141 上标文字关 ％％142 下标文字开 ％％143 下标文字关 ％％144 文字放大1.25倍％％145 文字缩小0.8倍％％146 小于等于号≤ ％％147 大于等于号≥ ％％u 带下划线字体％％o 带上划线字体 数字 ％％150 Ⅰ ％％151 Ⅱ ％％152 Ⅲ ％％153 Ⅳ ％％154 Ⅴ ％％155 Ⅵ ％％156 Ⅶ ％％157 Ⅷ ％％158 Ⅸ ％％159 Ⅹ 常用 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 特殊字符输入方法--信手拈来 分类：电脑王国| 修改| 删除| 转自十二郎wl| 被959人转藏| 推荐到分类| 2009-06-26 23:32:09 合作：英雄无敌火爆公测，注册送大礼包！ 一.特殊字符信手拈来 用Word或Excel等编辑文档时，经常会遇到一些特殊的符号如商标符号、人性化符号、欧元符号等，少数常用符号可由Word XP/2003的符号工具栏中输入，但大多数符号还是不能直接输入。下面提供几种简单的方法可以用来实现特殊字符的输入。 一、插入符号法 这恐怕是大家最常用的特殊字符的输入方法。在Word中执行"插入→符号"，在对话框中有许多特殊的字符在里面，找到想要的符号插入即可。Excel中没有没有"插入→符号"命令，可利用Word插入想要的符号，再通过"复制"、"粘贴"到Excel中，这种方法比较慢，但可以输入很多非常特殊的字符。 二、自动替换法 首先，打开菜单"工具→自动更正"，在"自动更正"选项卡中选中"键入时自动替换"。下面有一些自带的自动更正项目，也可以由"替换"和"替换为"进行添加，然后就可以使用了。 如：要输入Intel?，可以在输入Intel后紧接着输入英文状态下的"(r)"（不含引号）。再如：要输入Windows?、Lg?，同样输入英文状态下的"(tm)"、"(c)"即可。需要说明两点：实现上述自动更正的前提是先将其添加到自动替换列表中（如图）；如果不想执行"自动更正"，按一下退格键即可。 三、特殊字体法 在字体中选择"Wingdings"字体，再键入键盘上的字母，出现的都是一些特殊的符号。如果想详细知道该字体中含有哪些符号，可打开Windows附件中系统工具之一的字符映射表，在字体栏中选择Wingdings，下面即显示出该字体相应的字符。除"Wingdings"字体外，还有"Webdings"、"Wingdings2" 等也都是符号字体。 四、软键盘法 中文输入法中的"软键盘"也同样可以轻松地输入常用符号。如输入中文小写数字"○"：打开中文输入法，用鼠标右键单击输入法的"软键盘"标志，选"单位符号"，打开软键盘，按键盘上的Q键或用鼠标点击"软键盘"上的Q键，中文小写的"○"便被录入进来。通过软件盘 §4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),(==j i e e ij j i δ 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A += 其中),(11A e A =，),(22A e A =称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e ，且同样有 )2,1,()','(==j i e e ij j i δ 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A += 其中投影分量是),'('11A e A =，),'('22A e A =。 而)','(21A A A = 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是：这两个表示有何关系？ 显然，22112211''''e A e A e A e A A +=+=。 用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有 ),'(),'('2121111e e A e e A A += ),'(),'('2221212e e A e e A A += 表成矩阵的形式为 ??? ? ?????? ??=???? ??212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为θ，显然有 ??? ? ?????? ??-=??? ? ?????? ??=???? ??21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ 或记为 ??? ? ??=???? ??2121)(''A A R A A θ 其中 ??? ? ? ?-=θθ θθθcos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示???? ??''21A A 和??? ? ??21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明，R 具有下述性质： I R R R R ==~ ~ 由于1)(det )~ det(2==R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R -∑=， 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det =R （对应于真转动（proper rotation ））且R R =* （实矩阵） Word中特殊字符输入集锦 我们常常要在文档中输入一些键盘上没有的特殊字符，如商标符号TM、英磅符号￡、人民币符号￥等。常用一点的在一些中文输入法中能直接输入，很多却不能，乍一接触这些无法输入的特殊符号，还真有点不知从何下手，其实在Word、Excel等Office系列中，我们有多种方法“对付”它们。 1.利用符号插入命令 执行“插入”菜单下的“符号”命令，就出现“符号”对话框，在“符号”选项卡中有各种符号，按字体和字体的子集分门别类，选中一个后单击“插入”按钮就可以将其输入到文档中的插入点处；单击“特殊符号”选项卡，我们就可以找到商标符、版权符、注册符、段落标记等特殊符号了。 2.利用定义快捷键或自动更正功能快速输入 上面的方法掌握起来比较简单，但略显繁琐，如果经常要使用某一特殊字符，就可以给它定义一组快捷键，如TM符号的系统缺省快捷键是“Ctrl＋Alt＋T”。给一个符号定义(或重新定义)快捷键只要在“符号”对话框中选中它后单击下面的“快捷键”按钮输入新快捷键即可。如我们要将商标符号的快捷键定义为“Ctrl＋Alt＋1”，单击“快捷键”后出现“自定义键盘对话框，插入点自动位于“新快捷键”的空栏中，只要同时按下“Ctrl＋Alt ＋1”，该组合键就输入其中，单击“指定”按钮即可。 还有一种快速输入特殊符号的方法就是使用自动更正功能，在英文状态下按顺序输入tm后，Word会自动将其变为TM，其实这里使用的就是Word的自动更正功能。在“符号”对话框中选中一个符号后单击下面的“自动更正”按钮就会出现“自动更正”对话框，“替换为”栏中显示的是选中的特殊字符，在前面的“替换”栏中键入要替换的内容即可。如我们要用(＋)来替换∑符号，只要先在“符号”对话框中找到∑符号，单击“自动更正”按钮，在“替换”栏中键入(＋)，单击下面的“添加”(修改时为“替换”)按钮即可。以后在英文半角状态下顺序输入(＋)后Word会自动将它转换成∑。如果不想让它自动更正，只要不处于英文半角状态或不按顺序输入即可。 3.利用符号域(Symbol) Word中的域使用稍稍有点复杂，但功能非常强大，合理地使用它可以大大地方便我们的工作。Symbol 域用于引进键盘无法输入的ANSI字符集中的字符或字符串，既可将字符格式直接用于域结果，也可用开关来指定格式(用开关指定的格式优先于对域结果使用的格式)。 域代码：{SYMBOL CharNum[S ches]} 其中：CharNum指字符或十进制、十六进制的ANSI代码。其中十六进制数必须用0xn这样的格式，即在该十六进制数n之前加0x(一个零)。比如我们要插入商标符号TM，就可以执行“插入”菜单中的“域”命令，选择“等式和公式／Symbol”，在下面的“域代码”栏中出现的Symbol后而键入数字153，确认后就会在插入点输入TM。 这样输入的符号字符与Symbol域代码所用的字体一致。我们还可以对符号的字体等格式进行控制：在“域”对话框中单击“选项”按钮，可以指定6种域选项开关，主要的开关参数含义分别是：?f ″Font Name″ 要插入的字符所用的字体，字体名必须括在引号中。如果没有该开关，字符用Symbol域代码所用的字体。 ?h 插入符号而不影响段落的行距。在用该开关插入大符号时，该符号上部的文本可能会被覆盖。 ?s points 以磅为单位指定字体的尺寸。 熟练之后，我们就可以快速地输入域代码： (1)按Ctrl＋F9，建立域符； (2)在域符中键入域名symbol; (3)键入ANSI字符集中字符的十进制编号作为域指令，这里是153；要对字体字号进行控制的话再加上开关项。完整的域代码就为{Symbol 153f ″Comic Sans MS″ s16}； (4)选择整个域代码，按域显示切换键Shift＋F9，即得到字体为Conic Sans MS字号为16磅的商标符号TM。因为用开关指定的格式优先于对域结果使用的格式，所以就算整个文档都使用别的字体如宋体，该符号的字体都不会改变。为方便大家使用，笔者搜集了一些常用符号的域代码如下： 4.利用小键盘 要是你觉得使用域太麻烦，还可以直接利用小数字键盘来输入它们，方法是：“Alt＋小键盘上的数字”，如“Alt＋153”就是商标符号TM。 同样，对照上表，我们可以非常方便地输入各种特殊字符。 这几种方法在Word、Excel、PowerPoint中都可用。 量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 如何输入特殊符号（上标、下标、数学符号、单位等 第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ?、)(r ψ，定义内积 r d r r )()(),(ψ?ψ?*?= (5.1) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找 到粒子处在状态()r ?的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下： “对任意两个波函数?、ψ，如果算符 U 恒使下式成立 ),()?,?(ψ?ψ?=U U (5.2) 而且有逆算符1?-U 存在，使得I U U U U ==--11????1，称这个算符U ?为幺正算符。” 任一算符A ?的厄米算符+A ?定义为：+A ?在任意?、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ??(,)(,)A A ?ψ?ψ+= (5.3) 由此，幺正算符U ?有另一个等价的定义： “算符U ?为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++???? (5.4a) 或者说 1??-+=U U 。” (5.4b) 证明：若),()?,?(ψ?ψ?=U U 成立，则按+U ?定义， ),??()?,?(),(ψ?ψ?ψ?U U U U +== 由于?、ψ任意，所以 I U U =+?? 又因为U ?有唯一的逆算符1?-U 存在，对上式右乘以1?U -，即得 1??U U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质： i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U 有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U -1 。 中英文标点符号切换：Ctrl＋.(句点) 特殊符号快速切换：Ctrl＋/(斜杠) 全角半角切换：Shift＋空格 一些特殊符号的快捷输入方法（数字键）：Alt+33! Alt+34" Alt+35# Alt+36$ Alt+37% Alt+38& Alt+40( Alt+41) Alt+42* Alt+43+ Alt+44, Alt+45- Alt+46. Alt+47/ Alt+58: Alt+59; Alt+60< Alt+91[ Alt+92\ Alt+93] Alt+94^ Alt+95_ Alt+96` Alt+123{ Alt+124| Alt+125} Alt+126~ Alt+128€Alt+130?Alt+131?Alt+132…Alt+133…Alt+134? Alt+135?Alt+136?Alt+137‰Alt+138?Alt+139?Alt+140?Alt+142?Alt+145?Alt+146‘Alt+147―Alt+148‖Alt+149?Alt+150–Alt+151—Alt+152?Alt+153?Alt+155?Alt+162 ￠Alt+163 ￡Alt+164 ¤Alt+165 ￥Alt+166 |Alt+167 §Alt+168 ¨Alt+169 ?Alt+170 aAlt+171 ?Alt+172 ?Alt+174 ?Alt+175 ˉAlt+176 °Alt+177 ±Alt+178 2Alt+179 3Alt+180 ′Alt+181 μAlt+182 ?Alt+183 ·Alt+184 ?Alt+185 1Alt+186 oAlt+187 ?Alt+188 ?Alt+189 ? 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????? ? ?=**2110 0E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 第三章一维定态问题 第三章 目 录 §3.1一般性质 (2) （1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简 并的 ...................................... 2 （2）不同的分立能级的波函数是正交的。 .......... 4 （3）振荡定理 .................................. 4 （4）在无穷大位势处的边条件 .................... 5 §3.2阶梯位势 ....................................... 6 §3.3位垒穿透 (8) （1） E alt+34148=卍 alt+34149=卐 alt+43144=? alt+43151=◤ alt+41459=◇ alt+41460=◆ alt+43113=╥ alt+43114=╦ alt+43115=╧ alt+43116=╨ alt+43117=╩ alt+43118=╪alt+43119=╫alt+43120=╬alt+43121=╭alt+43122=╮alt+43123=╯alt+43124=╰alt+43125=╱alt+43126=╲alt+43127=╳alt+43128=? alt+43130=?alt+43131=?alt+43132=?alt+43133=?alt+43134=?alt+43144=?alt+43145=?alt+43146=?alt+41457=●alt+41458=◎ alt+43139▋alt+43140▌alt+43141▍alt+43142▎alt+43143▏alt+43147▓alt+43148▔alt+43149▕alt+43151◤alt+43152◥ alt+43154? alt+43156? 另外我再首先介绍2个符号?和?组建搭配的输入玩法: ?的打法是按住A!t加数字43133然后放手 ?的打法是按住A!t加数字43136然后放手 通过组建在游戏名中就可以打出以下图形： ?????? ?????? ?????? ?????? ????????????alt+41441=♂alt+41424=⌒alt+43088=≒a lt+41442=♀alt+43401= alt+43402= alt+43403= alt+43404= alt+43405= 量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， %%d------度数 %%c------直径 %%p------正负 %%DC-----温度 我经常用另一种方法。 在word里先打出你需要的符号（word 符号还是比较全的） 然后用CAD里的“文字编辑”（点工具条里的大写字母“A”符号） 将word里的内容复制粘贴到这里就行了。然后将文字平移或旋转到你需要的位置。文字还可以缩放大小 特殊符号的输入 我们知道表示直径的“Ф”、表示地平面的“±”、标注度符号“°”都可以用控制码％％C、％％P、％％D来输入，但是如要输入其他符号怎么办呢？我们可以通过“字符映射表”来输入特殊字符，具体步骤如下： 1、输入“MText”命令，然后建立一个文本框，之后就会打开“Multiline Text Editor”对话框，在这个对话框中，我们可以看到右侧四个按钮中有一个是[Symbol]按钮； 2、单击这个按钮右下角的箭头，打开一个下拉列表，我们可以看到有“Degress ％％d”、“Plus/Minus ％％p”、“Diameter ％％c”、“Non－breaking Space”、“Other”四个选项，选择前三个的某一选项可直接输入“°、”、“±”、“Φ”符号，这样就免去了我们记不住特殊控制码的苦处。 3、单击“Other”时，会打开“字符映射表”对话框，该对话框包含更多的符号供用户选用，其当前内容取决于用户在“字体”下拉列表中选择的字体，它的界面完全是我们所熟悉的中文界面，相信各位应该没有什么问题。 4.在“字符映射表”对话框中，选择要使用的字符，然后双击被选取的字符或单击[选择]按钮，再单击[复制]按钮，将字符拷贝到剪贴板上，点[关闭]返回原来的对话框，将光标放置在要插入字符的位置，用“Ctrl＋V”就可将字符从剪贴板上粘贴到当前窗口中。 、！Δ￥ァ┆ CAD快捷键一览 创建三维阵列3A 创建三维面3F 在三维空间创建由直线段组成的多段线3P 在二维和三维空间中将某对象与其他对象对齐AL 加载AutoLISP、ADS 和ARX 应用程序AP 创建圆弧 A 计算对象或定义区域的面积和周长AA 创建按指定方式排列的多重对象拷贝AR 执行外部数据库命令的管理功能AAD 输出选择对象的链接信息AEX 管理对象和外部数据库之间的链接ALI Dirac 符号系统与表象 一、Dirac 符号 1. 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量 （1）. 右矢空间 力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如： =n n a n ψ∑ （2）. 左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。 的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开： |ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 12 n a a a ψ?? ? ? ?= ? ? ?? ? <ψ| 按 Q 的左基矢 和 <φ|
或
狄拉克符号(Dirac)
特殊符号输入方法
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学考试大纲
特殊符号输入法
量子力学期末考试题解答题
特殊字符输入方法
量子力学的矩阵形式和表象变换.
Word中特殊字符输入集锦
量子力学基础简答题(经典)【精选】
如何输入特殊符号
教你如何在 word、excel 中输入特殊符号，包括上标、下标、数学符号、单位符号、分数等。 方法 1：用公式编辑器的方法输入分数。该方法是从 word 或者菜单栏里选择插入对象，然 后选择 Microsoft 公式 3.0 就可以编辑任何你想要的公式了。（使用本方法的前提是您的电 脑中装了 Microsoft 公式 3.0）另一个方法是用 EQ 域（如果您的电脑没有安装公式编辑器 的话可用此法）。例：输入分数的具体方法如下：按 C
教你如何在 word、excel 中输入特殊符号，包括上标、下标、数学符号、单位符号、分数等。 方法 1：用公式编辑器的方法输入分数。 该方法是从 word 或者菜单栏里选择“插入”>“对象”，然后选择“Microsoft 公式 3.0”就可以编 辑任何你想要的公式了。 （使用本方法的前提是您的电脑中装了“Microsoft 公式 3.0”）
另一个方法是用 EQ 域（如果您的电脑没有安装公式编辑器的话可用此法）。例：输入分数 的具体方法如下： 按“Ctrl+F9”组合键，出现灰底的大括号，里面有光标在闪动，在这个大括号里面输入“eq \f (X,Y)”（不含双引号），其中 X、Y 分别是分子和分母的式子（中文也行）；最后按一下“S hift+F9”组合键，这个分式就打出来了。 比如要输入分数 3(X+Y)+Z／2X 的话，在这个大括号里面输入“eq \f(3(X+Y)+Z,2X)”（不含 双引号），最后按一下“Shift+F9”组合键，这个 3(X+Y)+Z／2X 分数就打出来了。 注：输入域代码“eq \f(3(X+Y)+Z,2X)”时需在英文输入法状态下输入，eq 后面有一个空格。 其实，经本人实践，EQ 域其实本身就是“Microsoft 公式 3.0”。 方法 2：使用 ASCII 码（按下 ALT 键的同时输入一组十进制的 ASCII 码序列） 例如：在 EXCEL 表格中输入平方数的 2（方法：按下 alt 键同时连续输入 178，然后释放 a lt 键即可）-----该输入方法除了适用于 word、excel，同时也适用于网页，记事本等快速输 入。 立方数的 3 的 ASCII 序列号为：179
在 word 中输入下标的办法：同时按下 ctrl 和= ，这时光标自动缩小到下半部分，随便输入 一个数字看看，呵呵。 输入上标（平方、立方等）的办法：同时按下 ctrl 、shift 和=，这 时光标自动缩小到上半部分，输入 2 或者 3 试试，呵呵。 附部分 ASCII 码表：量子力学的表象与表示
一些特殊符号的快捷输入方法
量子力学习题
量子力学的矩阵形式及表象理论
特殊符号输入 特殊符号密码
量子力学的矩阵形式及表象理论
cad中特殊符号的输入
量子力学之狄拉克符号系统与表象
和 <φ| 的标积为：*n n n b a ?ψ=∑。显然<φ|ψ>* = <ψ|φ>。对于满足归 一化条件的内积有：*1n n n a a ψψ= =∑。 这样，本征态的归一化条件可以写为：