§1.3.7 可口可乐饮料罐的形状

1.3.7可口可乐饮料罐的形状

可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为什么是这样的?

找一个可口可乐饮料罐具体测量一下:它顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约为6厘米和12厘米.中间胖的部分的直径约为6.6厘米,胖的部分高约为10.2厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升(即355立方厘米).根据有关的数据,要求通过数学建模的方法来回答相关的问题.

参考答案

我们先看这样的数学题: “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器,问应当如何设计,才能使用料最省,这时圆柱的直径和高之比为多少?”(一般数学分析或高等数学教材中导数的应用(极值问题)部分的一道例题).实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径r 和高h )为多少?

表面积用S 表示, 体积用V 表示, 则有

)(222),(22rh r r rh h r S +=+=πππ,h r V 2π=,)(2r V h π=.

)2(2))(2(2)(0322

ππππV r r r V r r S -=-='=,32πV r =, d r V V

V V V r V h ======228443322323222ππππππ.即圆柱的直径和高之比为1:1.

问题分析和模型假设

首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.

实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.

图1.2

(厚,因为要使劲拉),假设除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同,b α.想象一下,硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).因此,我们可以进行如下的数学建模. 这时必须考虑所用材料的体积. 用S 表示表面积,体积用V 表示.

模型的建立 明确变量和参数：设饮料罐的半径为r (因此,直径为r d 2=), 罐的高为h . 罐内体积为V .b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积SV 是因变量, 而b 和V 是固定参数,α是待定参数.

饮料罐侧面所用材料的体积为

322222)1()1(22)

)1()(2())1()()((b b h b r rbh b h b rb b h r b r αππαππαππαππ+++++=+++=++-+

饮料罐顶盖所用材料的体积为2r b πα,饮料罐底部所用材料的体积为2r b π.所以,SV 和V 分别为

3222)1()1(2)1(2),(b b h b r b r rhb h r SV αππαππαπ+++++++=,h r h r V 2),(π=

因为r b <<,所以带2b ,3b 的项可以忽略.(这是极其重要的合理假设或简化). 因此

b r rhb h r S h r SV 2)1(2),(),(παπ++=≈,记V h r h r g -=2),(π.于是我们可以建立以下的数学模型：???=>>0

).(,0,0..),(min h r g h r t s h r S . 其中S 是目标函数,0),(=h r g 是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的r ,h 和α使得r ,h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.

模型的求解

一种解法(从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题).从0),(2=-=V h r h r g π解出)(2r V h π=,代入S ,使原问题化为:求h d :使 S 最小,即,求

r 使])1(2[

))(,(2r r

V b r h r S απ++=最小. 求临界点:令其导数为零得0])1[(2])1[(2322=-+=-+=V r r

b r V r b dr dS παπα.解得3)1(πα+=V r ,2)1()1()1()1(2)1(2323d r V V V h ααπααπαπ+=+=??????++=???? ??????

??+=. 测量数据为2=d

h ,即41=+α,3=α.即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍. 为验证这个r 确实使S 达到极小.计算S 的二阶导数0]2)1(2[43>++=''r

V b S απ,(因0>r ).所以,这个r 确实使S 达到局部极小,因为临界点只有一个,因此也是全局极小. 模型另一种解法--Lagrange 乘子法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件

极值问题).当然,这是把问题化为多元函数极值问题来处理了.

在上述解法中,从0),(2=-=V h r h r g π解出h 是关键的一步.但是常常不容易或不能从约束条件0),(=h r g 中解出一个变量为另一个变量的函数(或者虽然能解出来,但很复杂),无助于问题的求解. 但是,如果0),(=h r g 表示变量间的隐函数关系,并假设从中能确定隐函数)(r h h =(尽管没有解析表达式, 或表达式很复杂),那么,我们仍然可以写成))(,(r h r S ,而且,由隐函数求导法则,我们有

0=??+??dr

dh h g r g ,因此,),(00h r 是S 的临界点的必要条件为 0=??????-??=??+??=h g r g h S r S dr dh h S r S dr dS ,( h

g r g

dr

dh ????-=). 假设),(00h r 是S 的临界点, 则有λ=????=????),(),(0000h r h

g

h S

h r r g r S ,于是,在),(00h r 处, 0)(=-??=??-??g S r r g r S λλ,0)(=-??=??-??g S h

h g h S λλ. 因此,如果我们引入),(),(),,(h r g h r S h r L λλ-=,那么,就有

????

?????==??=??-??=??=??-??=??000g L h g h S h L r g r S r L λλλ 把问题化为求三元函数L 的无条件极值的问题.函数L 称为Lagrange 函数,这种方法称为Lagrange 乘子法.具体到我们这个问题,有如下的结果.

引入参数0≠λ,令)()1(2),,(22V h r b r rhb h r L --++=πλπαπλ.求临界点

????

?????=--=??=-=-=??=-++=??0)(0)2(20

2)1(2222V h r L r b r r rb h

L rh rb hb r L πλλπλππλππαπ

从第2,3式解得2r

V h π=,r b 2=λ,代入第1式得 0)1(222)1(22322=-+=-++r V r b r V r r b rb r V b παππππαππ,∴3)1(π

α+=V r , 333232223)1()1()1()1(πααππαπαπ++=+=???

? ????????+=V V V V V h ,和前面结果相同. 同学们可能会觉得这个方法不如前一个方法简单,但是当你们做后面习题时你们就会体会到Lagrange 乘子法的优点,以及进一步体会到使用数学软件的重要性和必要性.

模型验证及进一步的分析：

有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为3553.3391232<≈??=πV ,即装不下那么多饮料,为什么?模型到底对不对?

实际上,饮料罐的形状是图2.12左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.

粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3 厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为 31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.

然后,我们再来通过测量重量或容积(怎么测量?)来验证.我们可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.

测量结果为:未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐确实重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料(365克),而是留有10立方厘米的空间余量.

有意思的是,计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为 6.6/10.2 = 0.647,非常接近黄金分割比0.618.这是巧合吗? 还是这样的比例看起来最舒服,最美?

此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为3 + 0.4 + 0.2 = 3.6平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固,耐压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求,必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.因此,我们也可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程,只依靠数学知识是不够的,必须和实际工作者的经验紧密结合.