往年广东省梅州市中考数学试题及答案

往年广东省梅州市中考数学试题及答案

一、选择题：本大题共5小题,每小题3分,共15分．每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的． 1． 四个数－1,0,

1

2

,2中为无理数的是 A ．－1

B ．0

C ．1

2

D ．2

【答案】D ．

2． 从上面看如左图所示的几何体,得到的图形是

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】B ．

3． 数据2,4,3,4,5,3,4的众数是

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2 【答案】B ．

4． 不等式组20

20x x +>??-≥?

的解集是

A ．2x ≥

B ．2x >-

C ．2x ≤

D ．22x -<≤

【答案】A ．

5． 一个多边形的内角和小于它的外角和,则这个多边形的边数是

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 【答案】A ．

二、填空题：本大题共8小题,每小题3分,共24分． 6．－3的相反数是 ． 【答案】3．

7．若42α∠=?,则α∠的余角的度数是 ． 【答案】48°．

8．分解因式：22m m -= ． 【答案】(2)m m -．

9．化简：23a b ab ÷= ．

【答案】3a ． 10．“节约光荣,浪费可耻”,据统计我国每年浪费粮食约8000000吨,这个数据用科学记数法可表示为 吨． 【答案】6810?．

11．如图,在△ABC 中,AB =2,AC =2,以点A 为圆心,1为半径的圆与边BC 相切于点D ,则∠BAC 的度数是 ．

【答案】105°．

12． 分式方程

211

x

x =+的解是x = ． 【答案】1． 13．如图,已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形,以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边,画第二个等腰Rt △ACD ,再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边,画第三个等腰Rt △ADE ,…,依此类推,则第2013个等腰直角三角形的斜边长是 ．

【答案】()2013

2．

三、解答下列各题：本大题共10小题,共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

14．本题满分7分．

计算：()

1

01

20138|32|2cos45

2

-

??

?---+?

?

??

．

解：原式=12223222

?--+=．

15．本题满分7分．

解方程组

25

1

x y

x y

+=

?

?

-=

?

．

【解】

25

1

x y

x y

+=

?

?

-=

?

①

②

,①+②,得36

x=,即2

x=,将2

x=代入②,得1

y=．

所以原方程组的解为

2

1

x

y

=

?

?

=

?

．

16．本题满分7分．

如图,在平面直角坐标系中,A（－2,2）,B（－3,－2）

（1）若点C与点A关于原点O对称,则点C的坐标为；

（2）将点A向右平移5个单位得到点D,则点D的坐标为；

（3）由点A,B,C,D组成的四边形ABCD内．（不包括边界

．．．．．）任取一个横、纵坐标均为整数的点,求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．

【解】（1）∵点C与点A关于原点O对称,且A（－2,2）,∴点C的坐标为（2,－2）．

（2）∵将点A 向右平移5个单位得到点D ,∴点D 的坐标为（3,2）．

（3）四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点有15个,如图

其中横、纵坐标之和恰好为零的有3个,所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是

5

1153 ．

17．本题满分7分

18．“安全教育,警钟长鸣”,为此,某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计,图①和图②是通过数据收集后,绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息,解答以下问题： （1）九年级（1）班共有 名学生；

（2）在扇形统计图中,对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是 ；

（3）若全校有1500名学生,估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有 名．

【解】（1）九年级（1）班中“很好”所占的比例为30%,“很好”的人数为18,所以九年级（1）班共有18÷30%=60（人）．

（2）九年级（1）中“较好”的人数为30,所以“较好”所占的比例为30÷60=50%,所以“较差”的所占比例为1-30%-15%-50%=5%．所以对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是360°×5%=18（人）． （3）全校有1500名学生,估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有（5%+15%）×1500=300（人）．

18．本题满分8分．

已知,一次函数1y x =+的图象与反比例函数(0)k

y k x

=≠的图象都经过点A （a ,2）

． （1）求a 的值及反比例函数的表达式； （2）判断点B （22,

2

2

）是否在该反比例函数的图象上,请说明理由． 【解】（1）∵一次函数y=x+1的图象经过点A （a ,2）,∴2=a +1,解得a =1．又反比例函数

(0)k

y k x

=

≠的图象经过点A （a ,2）,∴12k =,∴k =2． ∴a 的值为1,反比例函数的表达

式为x

y 2

=．

（2）∵22222=?

,∴点B （22,22

）是在该反比例函数的图象上．

19．本题满分8分．

如图,在矩形ABCD 中,AB =2DA ,以点A 为圆心,AB 为半径的圆弧交DC 于点E ,交AD 的延长线于点F ,设DA =2． （1）求线段EC 的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

【解】（1）∵在矩形ABCD 中,AB =2DA ,∴AE =2AD ,且∠ADE =90°.又DA =2,∴AE =AB =4,∴

DE =3221622=-=-AD AE ,∴EC =DC -DE =324-.

（2）ADE AEF

S S S ?=-阴影扇形=260418

2232336023

ππ???-??=-?

20．本题满分8分．

为建设环境优美、文明和谐的新农村,某村村委会决定在村道两旁种植A ,B 两种树木,需要购买这两种树苗1000棵．A ,B 两种树苗的相关信息如下表： 项目 品种

单价（元/棵） 成活率 植树费（元/棵）

A 20 90% 5 B

30

95%

5

（1）写出y （元）与x （棵）之间的函数关系式；

（2）若这批树苗种植后成活了925棵,则绿化村道的总费用需要多少元？ （3）若绿化村道的总费用不超过31000元,则最多可购买B 种树苗多少棵？ 【解】解：（1）设购买A 种树苗x 棵,则购买B 种树苗（1000－x ）棵,绿化村道的总费用为y =(20+5)x +(30+5)（1000－x ）=25x +35000－35x =35000－5x ．

（2）90%x +95%（1000－x ）=925．解得x =500（棵）,则购买B 种树苗500棵． (20+5) ×500×90%+(30+5) ×500×95%=27875（元）．

（3）(20+5)x +(30+5)（1000－x ）≥31000,解得x ≤400．则1000－x ≥1000－400=600．所以最多可购买B 种树苗600棵．

21．本题满分8分．

（为方便答题,可在答题卡上画出你认为必要的图形）

如图,在四边形ABFC 中,∠ACB =90°,BC 的垂直平分线EF 交于点D ,交AB 于点E ,且CF =AE ．

（1）求证：四边形BECF 是菱形；

（2）若四边形BECF 为正方形,求∠A 的度数． 【解】（1）∵BC 的垂直平分线EF 交于点D ,∴BF =FC ,BE =EC .又∵∠ACB =90°,∴EF //AC . ∴BE ：AB=DB ：BC,∵D 为BC 中点,∴DB ：BC=1：2,∴BE ：AB=1：2,∴E 为AB 中点,即BE=AE,∵CF=AE,∴CF=BE,∴CF=FB=BE=CE,∴四边形BECF 是菱形．

（2）如图,∵四边形BECF 为正方形,∴∠BEC =90°.又AE =CE ,∴∠A =45°.

22．本题满分10分．

（为方便答题,可在答题卡上画出你认为必要的图形）

如图,已知抛物线2

22y x =-与x 轴交于A ,B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点C ． （1）写出以A ,B ,C 为顶点的三角形面积；

（2）过点E （0,6）且与x 轴平行的直线1l 与抛物线相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）,以MN 为一边,抛物线上的任一点P 为另一顶点作平行四边形,当平行四边形的面积为8时,求出点P 的坐标；

（3）过点D （m ,0）（其中m >1）且与x 轴垂直的直线2l 上有一点Q （点Q 在第一象限．．．．）,使得以Q ,D ,B 为顶点的三角形和以B ,C ,O 为顶点的三角形相似,求线段QD 的长（用含m 的代数式表示）．

【解】（1）∵抛物线2

22y x =-与x 轴交于A ,B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点

C ．∴2220x -=,C (0,-2)∴1x =±.∴A （-1,0）,B （1,0）.∴AB =2.∴1

2222

ABC S ?=

??=. （2）∵过点E （0,6）且与x 轴平行的直线1l 与抛物线相交于M 、N 两点,∴2

226x -=,解得2x =±,∴MN =4.又平行四边形的面积为8时,∴点P 到MN 的距离为2,即P 点的纵坐标为

4,∴2

224x -=,解得3x =∴点P 的坐标为（3-3）.

（3）设Q （m ,b ）,则可分两种情况： ①当

OB OC BD DQ =时,12

1m b =-,解得22b m =-（1m >）. ②当

OB OC DQ BD =时,121b m =-,解得11

22

b m =-（1m >）.

23．本题满分11分．

（为方便答题,可在答题卡上画出你认为必要的图形） 用如图①,②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出．．．．．．．．．．．．．．．

）,完成以下两个探

究问题：

探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合）,在BC边上有一动点P．

（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时,连接AP,求线段AP的长；

（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时,求∠PAB的度数．

探究二：如图④,将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处,并以点D为旋转中心旋转△DEF,使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点,连接MN,在旋转△DEF 的过程中,△AMN的周长是否存在有最小值？若存在．求出它的最小值；若不存在,请说明理由．

【解】

（1）过点A作AG⊥BC,垂足为G.当点P运动到∠CFB的角平分线上时,∠PFC=∠BFP=30°,

∴PC=1

2

PF.又∵∠CBF=30°,∴BP=PF.∵BC=3,∴BP=2.在Rt△BAC中,∵∠ABC=45°,∴

AG=BG=1

2

BC=

3

2

.∴GP=

1

2

.∴在Rt△AGP中,AP=22

9110

44

AG GP

+=+=.

（2）如图,过点A作AG⊥BC,垂足为G.在Rt△APG中,AP=CF=3,AG=3

2

,则

PG22

93 3

4

AP AG

-=-=,所以∠PAG=30°,所以∠PAB=15°.当点P位于点P′处

时,∠BAP =75°

.

探究二：过点D 分别作DH ⊥AB 于点H ,DI ⊥AC 于点I

.

在Rt △ABC 中,

∵点D 是BC 中点,AB =AC ,∴HD =DI .∴四边形HDIA 是正方形.∵∠HDI =∠MDN ,∴∠HDM =∠IDN . 在△HDM 与△IDN 中,

HDM IDN HD DI

DHM DIN ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△HDM ≌△IDN （ASA ）. ∴DM =DN ,HM =IN .

设MA =x ,则HM 3

24

x , ∴AN 332244x -322

x ∴MN 22AN AM +22

332242x x ????

-+-

? ?????

22939232822x x x x -++-+=2

945

2228

x x -

+

=

=

当x=,MN

3

4 =.

所以最小周长为AM+AN+MN有最小值=2AH+3

4

=AB+

3

4

3

4

.