微积分的发展历史
微积分的产生——划时代的成就
.
1 微积分思想的萌芽
1.1 古希腊罗马——微分、积分思想的发源地
原子论朴素的微分和积分思想.古希腊的原子论者具有朴素的微分和积分思想，该学派的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus)，代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特(Democritus of Abdera).原子论者把宇宙间的万物看成由不可再分的原子构成，以及原子虽然不能再分但仍有内部结构的思想，表现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积的量x ，进行了一次微分(dx)和二次微分(dx 2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥和棱锥的体积分别等于和它们同底同高的圆柱和棱柱体积的三分之一.
极限法的早期形式穷竭法.为了计算曲边形的面积和体积，欧多克斯（Eudoxus of Cnidos ）曾提出了一个计算方法，这个方法在17世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是：如果对于任意的正整数n ，等式
k b a n n =（常数）成立，且当n →∞时，A a n →，B b n →，则有k B A
=.他用这个方法证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥体积的公式.阿基米德(Archimedes)对穷竭法也作出了重要贡献，他在《圆的度量》、《论圆柱和球》、《抛物线求积》、《论螺线》等著作中，应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”概念.并且他用这种方法计算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体积等数学问题.
芝诺的拟难.芝诺(Zero of Elea)是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一个科学家，更谈不上是一位数学家，但他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，对微积分发展有一定的影响.其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽有无穷多项，但其和仍为有限的；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关.
1.2 阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究
在整个中世纪，希腊文化遗产在某种程度上是由逐渐缩小的、以君士坦丁堡为中心的拜占庭帝国保存下来的.但是，在黑暗时代的几个世纪中，有效地利用这些遗产，并且最后把它们输送到西欧去的，却是地中海地区的阿拉伯政权.
代数和三角学的确立.从7世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到8世纪，它已成为一个地跨亚、欧、非三洲，阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力进行天文观测，编制星表，集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期，“阿拉伯数学”却成了这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人”的工作才得以保存下来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是东西科学文化交流的桥梁，今天通行的“印度—阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等，都是通过阿拉伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件.有继承才有发展，阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角学的确立就是他们对数学所做出的贡献.
对无限和运动的研究.这一时期，除了“印度—阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角
学已经确立以及数学符号化已有端倪外，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学家们注意的中心.例如德国的红衣主教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成边数最多和边数最少的多边形，把无限大和零分别看成自然数的上界和下界.他还说尽管“世界不是无限的，但毕竟不能认为它是有限的，因为世界没有一条把它包围起来的界限”，这表明了他把无限看作一个过程的潜无限思想.14世纪英国很有声誉的数学家苏依塞斯的重要著作《算术》中，已有变量、极大和极小概念的原始形式，预示了变数和导数即将进入数学领域.他所使用的“流数”、“流量”等概念，被300年后的牛顿所采用.在无限问题上他指出，要解决所有关于无限的诡辩，只要认识到有限和无限不能有它们的比就行了，这是关于对有限和无限应有不同的论证的最早认识.
1.3 古代中国——面积、体积与极限思想的丰富
简单几何图形面积和体积的计算.在微积分的发展历史上，对任意封闭的平面曲线围成图形面积的计算，和任意封闭的空间曲线包围立体图形体积的计算，是产生积分概念的主要途径之一.计算面积和体积可以追溯到原始农业社会，根据我国甲骨文记载，约在300年以前的殷代，就把耕种的土地分成方形小块以求面积.积分概念就是在初等几何计算面积和体积的基础上逐渐形成的.
《庄子》和《墨经》中的极限思想.极限概念是微积分区别于初等数学的特有概念，没有极限概念就没有现代的微积分.战国时代的《庄子·天下篇》中，有不少极限思想，其中最脍炙人口的一句话是：“一尺之椎，日取其半，万世不竭.”可以理解为无穷无尽、永远达不到极限的潜无限思想.无穷或无限概念，是极限概念的特殊情况，是微积分的重要概念.《墨经》也是战国时代的重要著作之一，该书对有穷和无穷作了明确的区分.该书说，“穷，或有前，不容尺也”，意思是有穷就是有边界的区域，用尺沿一个方向去量它一定能量完；“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”，即有穷就是能量尽这个区域，如果量不尽，就是无穷.与此同时《墨经》也有丰富的微分思想，比如：“端，体之无厚而最前者也”；“端，无间也”；“非半则不动，说在端”.第一句话就是说，“端”就是不可度量且位于物体的最前面的东西.第二和第三句是说，如果没有空隙、也不能再进行分割的就是端.这是对构成物质的最基本的元素相当精确的定义，实际上就是对物体经“化整为零”后的微分概念.
极限思想的运用——割圆术.我国三国时的数学家刘徽提出的“割圆术”，他从圆内接正六边形做起，令边数成倍地增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，……，直到正3072边形，用这个正3072边形面积来逼近圆面积，就得到π的较精确的值3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法.
另外，古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”（月亮运行的最快点和最慢点）、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值（郭守敬甚至称之为“极数”）等问题，但东方学者以惯用的数值手段（“招差术”，即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率.总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是较少的.
2微积分孕育的半个世纪
在历史上，积分概念和方法的产生先于微分.积分的原理，溯源于古希腊人所创造的计算面积、体积和弧长相联系的求和方法，在古代的穷竭法中就已萌芽.微分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则几乎是16世纪下半叶后与近代力学同时产生和发展起来的.微分思想和积分思想起初互不相干，基本上是平行而又独立地发展着，都是对具体问题采取具体的方法，尽管在思想上有某些相似之处，但毕竟没有形成统一的方法.这两个统一方法形成后建立起其间联系又晚一些.
直至17世纪上半叶，以力学为中心的一系列问题向数学提出了挑战，迫使数学家探索新的数学思想和方法来解决求曲线的长度、曲线围成的面积和体积、物体的重心、变化率和切线、函数的极值、物体在任意时刻的速度和加速度等大量生产、科研实践中提出的数学问题.对上述问题的研究以及对二项式定理和级数的讨论所形成的数学思想和方法的成熟和发展，孕育了微积分的诞生.
2.1积分学概念和方法的产生
在积分概念和方法的形成过程中，最有代表性的工作主要有：
2.1.1 开普勒的同维无穷小方法
开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)是德国著名天文学家、力学家和
数学家，在大学学习时曾接触到哥白尼学说，他的思想受毕达哥拉斯和
柏拉图的影响较大，认为宇宙是上帝安排的和谐的体系，但他不象前人
那样盲目相信，而是尊重事实.他寻求宇宙是和谐体系的显著成绩是先后
总结出行星运动三定律，其中第一定律认为行星绕日运动并非是匀速运
动，其轨道也不是圆而是椭圆.这就从根本上打破了传统的、权威的观念，
是对哥白尼的天文学的重大发展. 图5-1 开普勒
开普勒的父亲好喝酒，以开酒馆为业，少年时期的开普勒常帮父亲营业.他发现当时酒商求奥地利酒桶容积的方法不精确，经过研究在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》，该书分为三个部分，第一部分是阿基米德式的空间几何，其中大约有90个旋转体的体积是阿基米德没有研究过的；第二部分重点是研究酒桶体积的求法；第三部分是这一方法的应用.在该书中，开普勒对古希腊的原子论方法作了发展——用无数个同维小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积.例如，把圆当作无限多个边的正多边形从而把无限多个以圆心为顶点的等腰三角形面积之和计为圆面积，于是得到圆面积等于周长乘半
径之半.
[]n S S S A ?++?+?= 21
21 221
r rs π==
图 5-2
他还认为球的体积是无数个小圆锥的体积之和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；将圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一??
? ???
?=3142R R V π.开普勒还用类似的方法算出了圆柱、圆环以及苹果形、柠檬形等的体积.
开普勒的方法并不严格.比如，当圆分解为其底为一点之等腰三角形时，无异于说这时的三角形是一个线段，圆的面积是无数条线段（即半径）之和.在一些问题中，开普勒也确认面积就是直线之和.用无数个同维无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，虽然还不严格，但确有合理之处，这也是开普勒方法的精华，他化曲为直和微小元求和的思想，对积分学很富有启发性.
2.1.2卡瓦列里和托里拆利的不可分量法
“不可分元”并无严格的定义，费尔马、帕斯卡和罗伯瓦尔等都有
类似思想，但是以卡瓦列里的思想最典型. 卡瓦列里(Bonaventura
Cavalieri,1598-1647)是意大利的牧师，也是伽俐略的学生.他的积分思
想同古代原子论一脉相承，但比开普勒的方法更普遍，称之为“不可r S i O
分元法”.这一思想集中体现在他的《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)和《六个几何问题》中两部著作之中.卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，就象链条由珠子穿成的一样；面是由无限多条平行线段组成，就象布是由线织成的一样；立体则是由无限多个平行平面组成，就象书是由每一页积累成的一样；不过它们都是对无穷多个组成部分来说的.换句话说，他把几何图形看成是比它低一维的几何元素构成的：线是点的总和，平面是直线的总和， 图5-3 卡瓦列里
立体是平面的总和，他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”.他建立了一条关于这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称：
两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比.
卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，然而他对积分学创立最重要的贡献还在于证明了：如果两线段之比为2:1,则其平方和之比为3:1,立方和之比为4:1,直到九次方和之比为10:1,实际上已相当于今天的积分式
?++=a n n a n dx x 0111 （n 为自然数）
使早期的积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡.卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括开普勒所使用的方法更接近于普遍的积分学算法，开普勒曾向同行们提出一个挑战问题：求抛物线弓形绕弦旋转而成的旋转体体积.卡瓦列里用自己的方法解决了开普勒的问题.人们认为，以卡瓦列里为代表的不可分量法就是17世纪初期的积分法，也是牛顿和莱布尼茨以前积分思想发展的高峰.卡瓦列里虽然克服了开普勒用各自不同的直线图形表示不同的曲边图形对应的不可分量之间的关系，而非每个面积中的不可分量全体，这就避免了无限的概念，自然就造成了理论上的不可克服的矛盾.同时，卡瓦列里求积法还具有不注意代数和算术的纯几何缺点.
对卡瓦列里不可分量法作出重要修正的是他的朋友、伽利略的学
生、意大利的托里拆利(E.Torricelli,1608-1647).1646年卡瓦列里发表《关
于无限抛物线》中批评说：“把不可分元看成是相等的，即把点与点在
长度上、线与线在宽度上、面与面在厚度上看成相等的说法纯属空话，
它既难以证明，又无直观基础.”他以圆和三角形的不可分元为例说明
二者的不可分元并不相同：一个是具有极小中心角的扇形，一个是具 图 5-4
有微小宽度的带状体.所以他用开普勒的同维无穷小去代替卡瓦列利的不可分量，同时又保留了不可分量法在求积上的有效性，不但取得了曲线求积问题的许多成果，而且在理论上向近代积分靠近了一步.
2.1.2 费马、帕斯卡和沃里斯等人的推进
费马于1636年提出了一个相当于近代定积分的积分法，用统一的矩形条分割曲线形；用矩形面积近似地代替曲边形面积；利用曲线方程求出矩形面积，并以其构成的几何级数之和近似地得到曲线面积；对和式取极限使近似值转化为精确值.而帕斯卡则采取等分x 轴上的区间和略去无穷序列之和的高阶差的方法，这对牛顿、莱布尼茨产生了很大的影响.费马还将其积分法用于求弧长，他把曲线长视为微小线段长之和，再把线段长度之和转化为求曲线围成的面积来获得结果.
英国数学家沃里斯1656年发表《无穷的算术》，使卡瓦列里、费马的不可分法得到系统的推广.他用数的语言把几何方法算术化，使无限的概念以解析的形式出现，开辟了用级数表示函数的道路，使得无限算术代替了有限算术，这对确立微积分奠定了重要的思想基础.沃里斯还利用微分三角形，给出了近代意义的弧微分概念和计算公式：22dy dx ds +=，
但未能给出弧长的计算方法.到17世纪60年代，求积法已取得十分丰富的成果，发展得相当完善了.
2.2微分学概念和法则的发展
以上介绍的微积分准备阶段的工作，主要采用几何方法并集中于积分问题，解析几何的诞生改变了这一状况.解析几何的两位创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引入微分学问题研究的前锋.
2.2.1费马借助微小增量作切线
费马在1637年发表了《求最大值和最小值的方法》，记述了一个求曲线切线的方法，这个方法的大意如下：
设PT 是曲线在P 点的切线（如图5-5），TQ 叫次切线，只要知其长，就可确定T 点，再连接PT 就可以了.
为了确定TQ ，设QQ 1为TQ 的微小增量，其长为E （即今之△x ），
∵△TQP ∽△PRT 1
∴1RT PR
QP TQ
=
费马认为，当E(=PR)很小时，RT 1同RP 1几
乎相等，因此有QP P Q E RP E
QP TQ
-==111 图 5-5
用现在的符号，把QP 写成)(x f ，于是有)()()(x f E x f E
x f TQ
-+=
即 )
()()
(x f E x f x f E TQ -+?=这时，费马先用E 除分子和分母，然后再让E=0就得到TQ 的数值（即今之)()
(x f x f TQ '=）.费马用这个方法解决了许多难题，应当说，这是微分方法的
第一个真正值得注意的先驱工作.但是，他没有通过割线移动来决定切线，也没有通过计算斜率的极限来求切线.割线移动决定切线的思想，是笛卡儿1638年提出来的.
2.2.2笛卡儿“圆法”
求曲线)(x f y =过点))(,(x f x P 的切线，笛卡儿的方法是首先确定曲线在点P 处的法线与x 轴的焦点C 的位置，然后作该法线的过点P 的垂线，便可得到所求的切线.
如图5-6，过C 点作半径r=CP 的圆，因CP 是曲线)(x f y =在P 点处的法线，那么点P 应是该曲线与圆2
22)(r v x y =-+的“重交点”（在一般情况下所作圆与曲线还会相交于P 点附近的另一点）.如果[]2)(x f 是多项式，有垂交点就相当于方程
222)()]([r x v x f =-+ P T 1P 1R T Q Q 1O X
Y
P
y=f(x)
x v C
r f(x)
将以P 点的横坐标x 为重根.但具有重根e x =的多项式的形式必须是∑?-i i x c e x 2)(，笛卡儿把上述方程有重根 的条件写成：
∑-=--+i
i x c e x r x v x f 2222)()()]([， 图 5-6 然后用比较系数法求得v 与e 的关系.带入x e =，就得到用x 表示的v ，这样过点P 的切线的斜率就是)(x f x
v -.
以抛物线kx y =2为例，kx x f y ==)(，方程22)
(r x v kx =-+有重根的条件为： 222)()(e x r x v kx -=--+
令x 的系数相等，得e v k 22-=-，即k e v 21
+=.代入x e =，于是次法距k x v 21
=
-，求出抛物线过点()kx x ,的切线斜率是x k kx k x f x
v 21
2
/)(==-.
笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的.
笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658年荷兰数学家胡德(J.Hudde)提出了一套构造曲线切线的形式法则，称为“胡德法则”.胡德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算.
2.2.3费马求极值的方法
用代数方法求函数的极大值和极小值，是产生微分学的重要途径之一.记载费马求极大值与极小值方法这份手稿，实际上是他写给梅森(M.Mersenne)的一封信，梅森是当时欧洲科学界领头任务伽利略、费马、笛卡儿、帕斯卡等人之间保持书信交往的中心.费马的方法用现在的符号表示大意如下：
设)(x f 是x （x 就是费马的A ）的某个多项式，现在讨论)(x f y =的极大值.
如果)(x f 在x 点达到极大值，则对充分小的E>0必有：
)(E x f +<)(x f 和)(E x f -<)(x f
将此二不等式之左边展开则有：
+++=+2)()()()()(E
x Q x E x P x f E x f <)(x f -+-=-2
)()()()()(E x Q x E x P x f E x f <)(x f 消去这两个不等式两边的共同项，再用E 除则分别给出下面两个不等式：
++E x Q x P )()(<0
-+-E x Q x P )()(<0
当E 充分小时，此二式左边的符号完全由)(x P 确定.可见，当)(x P 0≠时，此二式不可能有同一的符号，因此必须)(x P =0，从此式解出x 就是所求的极大值.
同理可以求出极小值.
费马的方法实际上就是，当计算有理整函数)(x f 的极值时，先计算它的导数x x f x x f x f x ?-?+='→?)
()(lim )(0，再令0)(='x f ，解之就是极值点.
不难看出，费马的方法尚有不足之处：第一，费马没有引入无穷小概念，我们在解释他的E 时设为“充分小”，是为了同今天的思想相一致，但费马并没有如此表述；第二，正如他自己所说，把求极值的方法普遍化问题尚缺乏证明；第三，令0)(=x P ，只是求出极值的必要条件，而不是充分条件.尽管费马求极值方法尚有不足之处，但已接近今天之形式，他已经看到了求切线和求极值有相同的数学结构.可以认为，在微分学的先驱工作中，费马是比较成熟的一个，无论是求切线还是求极值，他的方法在当时的影响都比较大.
2.3微积分系统理论探索的前夜
这里将要介绍的是帕斯卡、沃里斯和巴罗等人的工作，他们的工作对牛顿和莱布尼茨的微积分的产生有着直接的关系，如过把卡瓦列利和费马等人看作微积分先驱的杰出代表，则这几个人的工作是向牛顿和莱布尼茨微积分的过渡.
2.3.1帕斯卡等的无穷小方法
布莱斯·帕斯卡(Pascal Blaise,1623-1662)的一生，虽然只有
39岁，而他的一段黄金时期(30-35岁)又专门研究神学，但是他在
数学上的成就却很大.他是世界上第一架计算机的设计者，是概率
论和射影几何的奠基人之一，提出了西方数学史所谓的“帕斯卡
三角形”，他也是一位哲学家，并很有写作才能.他同罗伯瓦尔和费
马一起，被称为当时法国数学界的三巨头.
帕斯卡在积分学方面做的工作，是以他名字命名的三角形有 图5-7 帕斯卡
一定关系.因为用这个三角形可以比较容易地求出自然数幂的二项式的展开式，不过帕斯卡是用文字表述的.他凭借这个结果并引入无穷小概念，算出了以曲线n x y =为一边的曲边梯形的面积.他把无穷小概念也应用于微分学，在他的《四分
之一圆的正弦论》(1659)这部著作中，有一幅被称之为“微
分三角形”的图形（图5-8）.他说，当区间(即图中的RR=EK)
很小时，则“弧可以代替切线”.通过“微分三角形”说明
可以用直线代替，并进一步作出切线.
把无穷小概念引入数学，是微积分发展史上的重要事件.
以无穷小作基础才能把曲线看成直线.有人认为，如果帕斯卡能在无穷小的基础上寄兴趣于算术的考虑并致力于切线的求法，那么他就有可能比牛顿和莱布尼茨更早地击中微积 图 5-8
分的要害.事实上，帕斯卡的工作对莱布尼茨的微积分产生了直接的影响.
2.3.2沃里斯的算术化
英国的沃里斯(J.Wallis,1616-1703)是一位牧师的儿子，受过良好的
古典教育.在剑桥大学学习期间专攻神学，以后对数学感兴趣.从1649
年
B A R I D K R E E C
起任牛津大学的“沙维教授”，是17世纪时的英国仅次于牛顿的著名数学家.在微积分的先驱者中，沃斯里的算术化工作很有意义，可以说，没有算术化就没有牛顿的微积分.
沃里斯接受了韦达、笛卡儿和费马等前辈们的思想——应用代数研究几何问题，他试图使算术完全脱离几何表示.另外在求积问题上，他 图5-9 沃里斯
接受卡瓦列利的不可分元思想和流行的略去无穷小方法，并且应用尚不精确的无穷大和无穷小概念.他在数学史上第一次用符号∞表示无穷大，用∞1
表示无穷小或零量，并把它们和有
限数同样看待，一起参加运算.沃里斯在他的重要著作《无穷算术》(1655)一书中用算术方法得到如下的定理：“若有一无穷数列，从0开始按任意指数不断增加，那么，这些数之和与各数均等于其最大数的同样数目之和的比值为
该指数+11.”用今天的符号表示就是?+=10
11n dx x n （n 是整数或分数），这表明卡瓦列利和帕斯卡等所确定的关系?++=a n n a n dx x 0111
（n 为正整数），当n 为分数时仍然成立.
2.3.3巴罗的求切线和求积的互逆性
英国的伊萨克·巴罗(Isaac Barrow,1630-1677)是微积分发展史上最
重要的人物之一，他本人也是神学家，精通希腊文和阿拉伯文，所以对
希腊古典著作很有造诣；曾任剑桥大学教授、副校长，是牛顿的老师，
1669年即牛顿26岁的那年，他主动宣布牛顿的学识已超过自己，并把
“卢卡斯教授”职位让给牛顿，成了数学史上的佳话.他的主要著作是《光
学和几何讲义》.
巴罗的数学观基本上与希腊人相同，认为只有几何才是数学，而代
数他认为不应该看成数学，应包括到逻辑中去.尽管他偏爱几何，但对 图5-10 巴罗 即将临产的微积分也有深刻的理解.巴罗曾设想曲线是由所谓的“线元”构成的，而线则是线元之延长，这是不可分元的不同说法，不过巴罗最有意义的贡献是把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来.比如，他的《几何讲义》第十讲的命题十一和第十一讲的命题十九，用今天的符号表示分别是：
（1）如果?=x
zdx y 0，则zdx dy =
（2）如果zdx dy =，则?=x y zdx 0
（设x=0时y=0） 巴罗还采用帕斯卡二十年代提出而沃里斯正在使用的“微分三角形”思想来求曲线的切线.微分三角形是指由自变量增量x ?和函数增量y ?为直角边所构成的直角三角形.他第一个认识到x y
??对于决定切线有重大意义，于是将微分三角形和费马的方法结合起来，从而得到比
费马更优越的方法.实际上，巴罗已经接触到了微分的本质，因为x y
??可以用来决定导数.
微积分的先驱们的工作，以费马和巴罗为标志而结束，由于历史的局限性，上述数学家关注的是具体几何特有的解答方法，而未注意大量成果的优越性、创造性和普遍性能够提炼成新的统一的方法构成一门新的学科，也就是需要创立具有普遍意义的抽象概念、具有一般符号和一整套解析形式与规则的可以应用的微积分学.牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出
场的，时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步. 3微积分的产生
1670年以后，牛顿和莱布尼茨分别以创造性的工作，沿着前人和同代人所开辟的道路迈进了空前的一步.他们不理睬过去那一套论证方法而采用直观推断思维方式：不是根据严格证明来论证微积分的合理性，而是根据它内容完整、前后一致并且有多方面的应用，即作为一种容易驾驭的演算方法发展微积分理论，解决了建立概念、提炼出具有普遍意义的微积分方法、把概念和方法的几何形式改变为解析式等三个重大问题，从而分别完成了创建微积分这场接力赛的最后一棒.
3.1牛顿的流数术微积分
伊萨克·牛顿(Isaac Newton,1642-1727)出生于英国林肯郡一个叫乌尔索浦的小村子里，
父亲是一个农民，在牛顿未出生前就去世了，牛顿是不足月的遗腹子.
牛顿小时候智力一般，对读书无兴趣，但酷爱读书与制作玩具.17岁时
被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农，但在牛顿的舅父W.埃斯
库和格兰瑟姆中学校长史托克斯的竭力劝说下，牛顿的母亲在九个月后
又允许牛顿返校学习.1661年考入剑桥大学的三一学院，受教于巴罗，
同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃里斯等人的著作，22岁时获得了
英国剑桥大学的学士学位.1665-1667年间，伦敦流行鼠疫，剑桥大学关
闭，牛顿回农村住了18个月，在这期间他发现了二项式定律，酝酿 图5-11 牛顿 了微积分原理，提出了万有引力定律，也研究了光的分析.牛顿一生的最大成就都发轫于这期间，这时他才23岁.
3.1.1流数术的初建
牛顿对微积分的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法.就在此时，牛顿首创了小 记号表示x 的无限小且最终趋于零的增量.
1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展.据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）.1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》(Tract on Fluxions)著称，当时虽未正式发表，但在同事中传阅.《流数简论》（以下简称《简论》）是历史上第一篇系统的微积分文献.
《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景，该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语.牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下：
（1）设有两个或更多个物体A,B,C,…在同一时刻内描画线段x,y,z,….已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p,q,r,…的关系.
（2）已知表示线段x 和运动速度p 、q 之比q p
的关系方程式，求另一线段y.
牛顿对多项式情形给出（1）的解法，对于问题（2），牛顿的解法实际上是问题（1）的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法.特别重要的是，《简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”.牛顿在《简论》中是这样推导微积分基本定理的：
d a
e b c x
y
p=1q
f
图 5-12
如图5-12，设,x ab =曲边形abc=y 为已知曲线)(x f q =下的面积，作de ∥ab ⊥ad ∥be=p=1.当垂线cbe 以单位速度向右移动时，eb 扫出面积abde=x ，变化率
1==p dt dx ；cb 扫出abc 的面积为y ，变化率q dt dx q dt dy ==.由此得dt dy /dt dx =)(x f q p q
==，这就是说，
面积y 在点x 处的变化率是曲线在该处的q 值，这就是微积分基本定理.当然，《简论》中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证明.牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明.
在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积.前面讲过，面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的明锐力与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础.正如牛顿本人在《流数简论》中所说：一旦反微分问题可解，许多问题都迎刃而解.这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了两者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体.这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分.
在《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一的算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性.
3.1.2流数术的发展
《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的.牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬，但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力完善自己的微积分学说.
这个时期，牛顿关于微分学的著作主要有三篇论文：《运用无限多项方程的分析》(De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitas)，简称《分析学》，完成于1669年；《流数法与无穷级数》（Methodus Fluxionum er Serierun Infinitarum ），简称《流数法》，完成于1671年；《曲线求积术》(Tractatus de Quadratura Curvarum)，简称《求积术》，完成于1691年.这三篇论文反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到，牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释.
第一篇论文《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作，也是他创立微积分的标志.采用静态的无穷小量方法是牛顿此阶段研究方法的主要特征：把变量的无限小增量称做瞬，在运算中将式中各项除以无穷小量后再略去含有无穷小量的项，就得到了一个变量对于另一个变量的瞬时变化率.而且，他还证明了面积可以通过求变化率的逆过程
得到，这就揭示了微积分的基本性质.
例如，设一条曲线下面的面积为m ax Z =（m 为有理数），记横坐标x 的无限小增量即瞬为ο，面积增量即面积瞬为y ο，则新面积为m m x a y Z )(+=+ο.等式右端用二项式定理展开并在等式左端同除以ο之后再略去含有ο的项，就得到构成此面积的曲线1max -=m y .反过来，若曲线为1max -=m y ，则它下面的面积就是m ax Z =.此外，牛顿还给出了不定积分运算的一些性质等许多成果.牛顿给出求瞬时变化率的普遍方法和面积与求变化率的互逆性证明，迈出了建立微积分的决定性步骤.
第二篇论文《流数法》在牛顿去世后的第9年才出版，表明他的研究工作进入了第二阶段.此阶段的主要特征是创立了“变量流动生成法”.引入了流数的概念和符号，他把随时间变化的量，也就是以时间为独立变量的一切函数称为“流量”，这是一种连续变量，用字
母表中的最后几个字母v 、x 、y 、z 表示，流量的速度即变化率称为流量的“流数”.x
，y ，z 表示变量x ，y ，z 的一次流数（导数），x ，y
，z 表示二次流数，x ，y ，z 表示三次流数，等等.此外，牛顿认为：“数学量”（即反映实际的数量，如通常问题中的x ，y 等等）和“外延量”(即x ?、y ?等等)都是由联系运动产生的；他承认量可以无限分割，或者可以无限地减小，以至达到消失，可以把它称为零量的程度，或者比任何指定的量都小.
牛顿在《流数法》中，根据这两个思想和他的独特记号，主要解决如下三类问题：
（1）“诸流动量彼此之间的关系给出，试确定它们的流数之比”，这相当于今天由已知)(x f 求)(x f '.
例如，《流数法》中的问题是：“如果流量x 和y 之间的关系是0223=-+-y axy ax
x ，
则可求得x ：y =ax y -23：ay ax x +-232.” 牛顿的证法大致如下：
设x 、y 的瞬分别为οx
、οy ，于是x 、y 分别变为x+οx 、y+οy ，代入原方程得 0)())(()(323=+-++++-+οοοοοy y y y x x a x
x a x x ）（ 用二项式定理展开后，把余下的项除以ο就剩下
033233322232=---+++--++οοοοοοοοy y y y y y x a x y a y x a x a x x a x x x x x
至此牛顿说：“但我们已假定ο是无限微小，它可以代表流动量的瞬间，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项说来等于没有.因此我把它们丢掉，而剩下
03232=-++-y y x y a y x a x x a x x
这里我们可以看到，没有乘以ο的诸项也和那些乘以一次以上的ο的项一样，总是等于零.而其余除以ο的诸项总是具有根据上述规则所应有的形式.”
把上式换一个写法就是 x
：ax y y -=23 ：ay ax x +-232 这也就是今天的ax y ay
ax x dx dy
-+-=22323.
（2）“今提出一个方程，其中包含一些量的流数，试求这些量或流量彼此之间的关系.”这是问题（1）的逆问题，相当于今天求不定积分.在这类问题中还包括今天之某些常微分方程的问题.处理这类问题比处理第一类问题困难得多，牛顿用到了无穷级数，并计算了如下三种类型的问题：
①式中有x 、y 以及x 和y 之一出现，就是求不定积分：已知y '求y ，并用了一些变
量替换；牛顿还给出了一个简易的积分表.
②式中x 、y 、
x 、y 都出现，不如牛顿用逐步逼近法处理了方程xy x y x y +++-='231 ③有x
、y 、z 以及它们的流量出现.例如牛顿解出了方程02=+-x y z x ，这实际是解一个一阶偏微分方程. 此外，牛顿也有关于这类问题之应用.
例如“求曲线之长”.这时就要由流数22z y t +=来决定弧长t （如图5-13）.这里z=MN 及y=NR ，是曲线上动点R 的横坐
标及纵坐标，而上面关于t 的公式则由微分三角形Rsr ?推出，其
边可分别看作z 、y 、t 的瞬. 图 5-13
（3）流数法的应用.牛顿的研究涉及极值的求法、曲线的切线求法以及曲线在给定点的曲率等问题.他虽然没有给出曲率的定义，但他已得出，对于圆而言，曲率在一切点都相同；对不同的圆弧则曲率与直径成反比，且推导出求曲率半径的正确公式.
由此可见，在一些基本思想上，《流数术》比之《分析学》有一定的发展，主要是已开始把数学量看成连续运动生成的，承认它可以无限分割以至于消失，改变了《分析学》的原子论思想；在普遍的意义上更清楚地陈述了微分同积分的互逆关系；改变了《分析学》把瞬
看成ο静态无穷小的观点，承认瞬οx 、οy 可以随时间变化.但在基本的计算方法上，《分析
学》和《流数法》都是以无限小量为微积分算法的论证基础.大约到17世纪80年代，牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革，这就是“首末比方法”的提出，首末比方法最先以几何形式在《自然哲学的数学原理》一书中发布，其详尽的分析表述则是在其第三篇微积分论文《曲线求积术》中给出的.
第三篇论文《求积术》是牛顿最成熟的微积分著述.牛顿在其中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬ο的做法，引进了初生量最初比和消失量最后比的概念而转向极限观点，他借助于物理学的末速度和几何解释来说明最后比，指出最初比与最后比是极限，两种比值相等.举例说明如下：
求函数n x y =的流数，设x 的增量为ο 于是， +-++=+--2212)
1()(n n n n x n n x n x x οοο M N Q R n s r
t
y
z
两边同减去n x 得n x 的增量为 +-+
=-+--2212)1()(n n n n x n n x n x x οοο 从而得最初比ο:[]1)(=-+n n x n x :??
? ??+-+
-- 212)1(n n x n n nx ο
令0→ο时，得增量消失的最后比为1:1-n nx .
这个最后比正是x 的流数与n x 的流数之比，即x 的增量与n x 的增量的比率，最后比实际上应用了极限思想.
牛顿关于最初比和最后比的方法是他第三篇论文研究特征的体现，这无疑是对第一阶段无穷小量方法的否定.在这里，他不仅引入了导数概念，而且明确地把导数作为增量之比的极限.不过，他仍在无穷小与极限之间动摇不定，这种动摇，表明牛顿本人亦感觉到他的流数术微积分尚有不完善之处.牛顿创立的流数术微积分，不是出自逻辑的推导，他对数学概念的理解借助于物理直观，由于缺乏严格性而显得含混不清，不可避免地有历史的局限性.
牛顿对发表自己的科学著作态度谨慎，上述三篇论文发表都很晚，其中最先发表的是最后一篇《曲线求积术》，1704年载于《光学》附录；《分析学》发表于1711年；而《流数术》则迟至1736年才正式发表，当时牛顿已去世.牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》(Philosophiae naturalis principia mathematica )，因此《原理》也成为数学史上的划时代著作.
3.1.3《原理》与微积分
《原理》中并没有明显的分析形式的微积分，整部著作是以综合几何的语言写成的.其被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”.全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力.
《原理》中的微积分原理命题虽然都采用了几何形式来叙述、证明，但正如牛顿本人后来解释的那样：发现原理中的绝大多数命题是依靠使用了“新分析法”，然后再“综合地证明”.事实上，我们在前面已经看到，牛顿发明微积分主要是依靠了高度的归纳算法能力，并没有多少综合几何的背景.他1664年参加巴罗主考的三一学院津贴生考试时，因欧氏几何成绩不佳差点没有通过.而几乎是在同时，他开始研究微积分并在不到一年的时间里就做出了基本发现.牛顿后来才重新钻研了巴罗译注的几何《原本》，弥补了这方面的不足，其结果是《原理》中的力学综合体系.然而就数学而言，牛顿在《原理》中给微积分披上了几何的外衣，使他的流数术显得僵硬呆板.固守牛顿的几何形式，在18世纪阻碍了英国数学的发展. 牛顿的科学贡献是多方面的，在数学上，除了微积分，他的代数名著《普遍算术》，包含了方程论的许多重要成果，如虚数根必成对出现、笛卡儿符号法则的推广、根与系数的幂和公式等等；他的几何杰作《三次曲线枚举》，首创对三次曲线的整体分类研究，是解析几何发展新的一页；在数值分析领域，今天任何一本教程都不能不提到牛顿的名字：牛顿-格里高利公式、牛顿-拉弗森公式、牛顿-斯特林公式、……；牛顿还是几何概率的最早研究者.
3.2莱布尼茨的无穷小微积分
在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉.莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡，父亲是莱比锡大学道德哲学教授.
莱布尼茨自幼聪明、勤奋、谦虚，好学，是罕见的“神童”，18岁获哲
学硕士学位.莱布尼茨一生的大部分时间都作为一个巡回外交官，他是在
和许多数学家的接触中学习数学知识并开始从事微积分研究的，其中对他影响最大的是荷兰数学家、物理学家、天文学家惠更斯.他通过卡瓦列里、帕斯卡、巴罗等人的著作，了解并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题.1667年莱布尼茨获得阿尔特多夫大学法学博士学位，次年开始为缅因茨帝侯服务，不久被派往巴黎任大使.莱布尼茨在巴黎居留了四年(1672-1676)，这四年对他整个科学生涯的意义，可以与 图5-14 莱布尼茨
牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比，莱布尼茨许多重大的成就包括创立微积分都是在这一时期完成或奠定了基础.
莱布尼茨在微积分方面的贡献主要有：发现了微积分基本定理；给出了函数的和、差、积、商的微分法则，复合函数的微分法则，对数函数与指数函数的微分法则，弧微分法则；发明了在积分号下对参变量求微分的方法，以及求切线、极大极小值、拐点的方法；导出了曲线绕x 轴旋转所成旋转体体积公式?=dx y V 2π；对曲率、密切圆和包络理论也作了研究.莱布尼茨一开始就把微积分基本定理作为微积分运算的出发点，由此开展对微积分的研究.他创微积分的工作主要是在1672-1695年.与牛顿流数术的运动学背景不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究.
3.2.1特征三角形
特征三角形也称“微分三角形”，在巴罗的著作中已经出现，帕斯卡在特殊情形下也使用过这种三角形.受此启发，莱布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形，推广了帕斯卡的方法，得出对任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，只要用给定曲线的法线来替代圆半径，而借助于这样的无限小三角形，可以“迅速地、毫无困难地建立大量的定理”，这就是莱布尼茨从帕斯卡的工作中得到的启发. O X
Y
n
y p
ds dy dx t c
图 5-15
如图5-15，在给定曲线c 上点P 处作特征三角形，利用图示的两个三角形的相似性得到：
y dx
n ds
=
这里n 是曲线在p 点的法线长.由上式可得：ndx yds =，
求和得：??=ndx yds .
莱布尼茨当时还没有微积分的符号，他用语言陈述他的特征三角形导出的第一个重要结果： “由一条直线的法线形成的图形，即将这些法线（在圆的情形就是半径）按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比.”
实际上莱布尼茨在关于特征三角形的研究中认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差值变成无限小时之比；而求曲线下的面积则依赖于无限小区间上
的纵坐标之和（纵坐标之和在这里是指纵坐标乘以无限小区间的长度再相加，因而也相当于宽度为无限小的矩形面积之和），莱布尼茨还看出了这两类问题的互逆关系.
3.2.2莱布尼茨的《数学笔记》
《数学笔记》（简称《笔记》）是莱布尼茨从1673年起，研究了格利高里、费马、帕斯卡、笛卡儿等人的著作后，陆续写的札记，共约100页，且没有公开发表，但其中却有他的微积分思想、方法和记号.
莱布尼茨在1673年的笔记中，接受卡瓦列利曾经用过的符号：用拉丁文omnia 的头三个字母omn 表示积分号，并用l 表示今之dy ，经常把dx 写成a ，并在y=x 的条件下得出
omn .l =y (即今天的?=y dy )；
omn .y l =22
y (即今天的?=22
y ydy )
莱布尼茨还用下边的图形解释了第二式的含义：当l 很小时，y l 的和就是ABC ?的面积
22y . A
B C y y
l l
l
l
图 5-16 莱布尼茨后来做了大量工作，艰难地前进，从一串离散值过渡到任意函数y 的增量.在1675年10月29号的一份手稿中，他决定用符号?代替omn ，?显然是“sum ”的首字母s 的拉长.稍后，在11月11日的手稿中，莱布尼茨又引进了记号dx 表示两相邻x 的值的差，并探索?运算与d 运算的关系.无论如何，到1676年11月，莱布尼茨已经能够给出幂函数的微分与积分公式：dx ex dx e e 1-=和?+=+11
e x dx x e e ，其中e 不一定是正整数.他还着重指
出：“这种推理是一般的，而与x 的序列可能是没有什么关系.”也就是说x 也可以是自变量的函数而不是自变量本身，这相当于宣称计算复合函数微分的链式法则.
1677年，莱布尼茨在《笔记》中明确陈述了微积分基本定理.给定一条曲线，其纵坐标为y ，求该曲线下的面积. 莱布尼茨假设可以求出一条曲线，其纵坐标为z ，使得：y dx dz =即ydx=dz.于是原来曲线下的面积是：??==z dz ydx ，
莱布尼茨通常假设曲线z 通过原点，这就将求积问题化成了反切线问题，即：为了求出在纵坐标为y 的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为z 的曲线，使其切线的斜率为y dx dz
=.如果是在区间[a,b]上，由[0,b]上的面积
减去[0,a]上的面积，便得到：?-=b
a a z
b z ydx )()(. 3.2.3莱布尼茨的《新方法》
以上是根据莱布尼茨手稿中出现的内容来追溯莱布尼茨微积分的起源，这些手稿散乱且难懂.大约到17世纪80年代初，莱布尼茨开始总结自己陆续获得的结果，并将它们整理成文，公诸于世.
1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》(拉丁文全名Nova methodus pro maximis etminimis,itemque tangentibus,quae nec irrationals quantiquantitates moratur,et singulaze pro illi calculi genus,简称《新方法》)，刊登在《教师学报》上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献.该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx,dy.莱布尼茨假设横坐标x 的微分dx 是任意的量，纵坐标y 的微分dy 就定义为它与dx 之比等于纵坐标与次切距之比的那个量.若记次切距为p ，莱布尼茨就是用等式dy ：dx=y ：p 来定义微分dy.这个定义在逻辑上假定切线已有定义，而莱布尼茨将切线定义为连接曲线上无限接近的两点的直线.由于缺乏极限概念，这个定义是不能令人满意的.莱布尼茨后来还努力要给出高阶微分的合适定义，但并不成功.
《新方法》中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分方式： dx dw dy dz x w y z d ++-=++-)(
vdx xdv xv d +=)(
2)(y vdy ydv y v
d -=
dx ax dx
a a 1-= dx x
b a
x d b b
a b a -= 此外，《新方法》还包含了微分法在求极大、极小值、求拐点以及光学等方面的广泛应用. 1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》(De geometria recondite et analysi indivisibilium atque infinitorum).这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，给出了指数函数、对数函数以及形为x x 的函数的微分法则，以及曲率、密切圆和包络的讨论.莱布尼茨应用积分符号给出摆线方程
?-+-=2222x x dx
x x y
在这里，莱布尼茨的目的在于说明用积分方法和积分符号，能把一些曲线用方程表示出来，而用其他方法则是办不到的.为了把一种求积化为另一种求积的变数替换，莱布尼茨在文章中提到不能在积分号?下忽略乘以dx.可见他的积分计算法的基本概念是无穷小之和，这一点同牛顿从原函数概念出发不同.
给出微积分的一套符号是莱布尼茨的重要贡献之一，他的记号dx 、dy 和dx dy
现在仍然
使用；对于n阶微分，他引入符号n
d，对应于?和n重积分，他分别引入符号1-d和n d-等.
定积分的发展史.docx
定积分的发展史 起源 定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公 元前 240 年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。 公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。在历史上，积分观念的 形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（ 17 世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成， 直到牛顿 -- 莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立 发展起来。 未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16 世纪。此时的卡瓦列利与 他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9×N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。17世纪初巴罗提 供的第一个证明微积分基本定理。 牛顿和莱布尼茨 在一体化的重大进展是在 17 世纪独立发现的牛顿 ?? 和莱布尼茨的微积分 基本定理。定理演示了一个整合和分化之间的连接。这方面，分化比较容易 地结合起来，可以利用来计算积分。特别是微积分基本定理，允许一个要解决 的问题更广泛的类。同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学
框架。由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。 正式积分 定积分概念的理论基础是极限。 人类得到比较明晰的极限概念，花了大约 2000 年的时间。在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。经过十八、十九世纪 一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有 了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。现代教科书 中有关定积分的定义是由黎曼给出的。 术语和符号 艾萨克牛顿以上的变量使用一个小竖线表示一体化，或放置在一个盒子里的变量，竖线是很容易混淆。或牛顿用来指示分化和方块符号打印机难以重现，所以这些符号没有被广泛采用。 1675 年戈特弗里德莱布尼茨改编的积分符号，∫，从字母S（“总结”或“总”）。 ∫符号表示的整合 ; A和 B 的下限和上限，分别一体化，定义域的融合 ; f是积，x 在区间 [a ，b] 上的变化进行评估;
对《微积分的概念发展史》见解
对《微积分的概念发展史》见解 微积分和数学分析是人类智力的伟大成就之一，其地位介于自然和人文科学之间，成为高等教育成果硕然的中介。微积分发展史和对微积分的研究就是人类智力的斗争和一步步发展的历史，这种延续了500多xl年的斗争历史，深深扎根于人类奋斗的许多方面，并且，只要人们像了解大自然那样去努力认识自己，它就还会继续发展下去。教师、学生和学者若想真正理解数学的力量和表现，就必须从历史的角度来理解这一领域发展至今的现状，以广阔的视野看待数学。 《微积分的概念发展史》这本书以时间为顺序，通过对古希腊乃至更久远时期、中世纪和17世纪关于微积分学构想的描述，剖析了一些阻碍微积分学发展进程的哲学与宗教观点，叙述了微分和积分两方面的发展，以及牛顿、莱布尼茨的伟大贡献。 数学是从古代巴比伦人及埃及人建立起一套数学知识，并以之作为进一步观察的基础的而开始，出现了泰勒斯（Thales），毕达哥拉斯学派（Pythagoras）以及柏拉图（Plato）等等对数学进行演绎的哲学家和数学家，他们认为数学是对终极永恒的现实以及自然和宇宙固有性质的研究，而不是逻辑的一个分支或者是科学技术的所运用的一种工具。 历史到达中世纪，经院派的观点十分盛行，他们认为宇宙“秩序井然”，易于理解。到了14世纪，世人非常清楚的意识到逍遥学派对运动和变化所持的定性观最好能被定量研究所取代。这种信念在萨库的尼古拉斯、开普勒和伽利略的思想中都有体现，在某种程度上也出现在莱昂纳多·达·芬奇的思想中。微积分起源于古希腊数学家在试图表达其关于直线的比率或是比例的直觉观点所遭遇的逻辑困境，他们认为数是离散的，按照数的观点，迷迷糊糊的认为直线是连续的，这样一来，便涉及到在逻辑上不够满意的无穷小的概念。但是，古希腊科学家的严密的思想却将无穷小的观念排除在几何证明之外，并代以穷竭法，这种方法可以避开无穷小的问题，但十分麻烦。不过，14世纪的经院派哲学家对变量展开的定量研究，这种方法很大程度上是辩证的，但是也借助图示。这些哲学和宗教的概念实际上对以后很多数学家的研究起到或多或少的作用或是影响，又好
微积分概述
微积分概述 一、微积分的来历 早在公元前三世纪，在古希腊就出现了微积分的雏形。阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积等问题中，就隐含了近代积分的思想。到了十七世纪，有许多科学问题亟需解决，第一类是瞬时速度问题；第二类是求任意曲线的切线问题；第三类是最值问题；第四类是求曲线长、曲线所围面积等问题。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决以上问题做了大量的研究工作，例如费马、笛卡尔、巴罗、开普勒、伽利略等等。 十七世纪下半叶，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立研究和完成了微积分的创立工作。他们最大的功绩就是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题，一个是求积问题。 二、微积分的主要内容 众所周知，微积分由微分、积分组成，微分与积分互为逆运算，但是很多学生学完整本微积分，仍然对于微积分没有一个清晰的了解。下面我们通过一个例子来具体地了解微积分的主要问题。 引例：路程函数()()S S t v v t ==与速度函数，我们首先考虑匀速的情况； 上述两个图像表达的都是一个速度恒为1的匀速直线运动。我们可以根据图（1）画出图（2），也可以根据图（2）画出图（1）。这就说明一个运动的路程函数与速度函数有内在的联系。 然后，我们来考虑变速的情况：
请大家根据图（3）得出图（4）并解释运动的具体情况。 通过图（1）画出图（2）以及通过图（3）画出图（4），这个过程就是微分，即由路程函数微分可得速度函数。通过图（2）画出图（1）以及通过图（4）画出图（3）这个过程就是积分，即由速度函数积分可得路程函数。 类似的例子还有很多，通过这个例子，大家应该清楚微积分其实就是事物内部的某种规律。例如，一个运动的路程函数与速度函数的关系；一个物体体积与表面积的关系等。 所以，我们研究微积分其实就是帮助我们更好地了解世界中某些事物内部的规律变化。 三、微积分的应用 微积分在工程学、经济学、天文学、力学等许多领域都有着广泛的应用。实际上，只要有变量的问题，微积分就有其具体的应用。所以我们在大学期间要学习微积分这门课程。通过学习掌握好微积分的基本方法以后，我们在许多自然科学里能找到许多的基础应用。这是我们学习专业知识的基础。 四、微积分的基本构架 函数→极限→微分→应用 ↓ 积分→应用
微积分发展史
微积分发展史 摘要：本文将介绍微积分的由来以及发展过程以及他对于人类发展的重大意义。并且在文章中也会对微积分的一些基本内容和理论等进行说明和归纳 关键词：微积分，微分，积分，建立 一、微积分学的建立 微积分在如今的数学领域中占到了非常重要的地位，并且作为 一门学科，微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应 用的数学分支。它的起源可以追溯到其诞生的2000多年前， 比如，古代的人用方砌圆，我国庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，魏晋时刘徽的“割圆术”等等，都涉及到了以“直”代“曲” 的极限观念，属于微积分的朴素思想，阿基米德更可称为时微 积分学的先驱，他不仅成功地将“穷竭法”应用于求像抛物线弓 形那样复杂地曲边形地面积中，而且在求积时应用了各种微积 分学地思想。但微积分思想真正形成是在十七世纪，由牛顿总 结和发展了前人的工作，几乎同时建立了微积分的方法和理论 微积分的起源。牛顿是从物理角度建立了微积分的思想，而德 国数学家莱布尼兹从几何角度出发，独立地创立了微积分 （1675-1676）。这两位数学家总结出处理各种有关问题地一般 方法，并揭示出微分学和积分学之间的本质联系。两人各自建
立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及 其符号。这位日后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要 的基础。微积分的创立，极大地推动了数学地发展，过去很多 初等数学束手无策地问题，通过运用微积分，往往引刃而解。 使得微积分学地创立成为数学发展地一个里程碑式的事件。二、微积分建立的重要意义 恩格斯曾经说过：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世 纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如 果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就 正是在这里。”在微积分建立之前，人类基本还处于农耕文明时 期。但在微积分建立之后它为创立许多新的学科提供了源泉。 可以说微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类智 慧的结晶，它极大地推动了科学地进步，并且对社会也有深远 的影响。有了微积分，就有了工业革命，它是世界近代科学的 开端，同时也摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学， 对社会产生了极大的影响，使人们进入了现代化的社会。这一 切都表面了微积分学的产生是人类历史上的一次空前飞跃。三、微积分理论的基本介绍和归纳 微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出， 求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入 不定积分即得到积分值，微分则是倒数值与自变量增量的乘积。 作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求
数学史答案
一、刘徽在数学上的贡献 刘徽在数学上的贡献，主要在其《九章算术注》一书。《隋书》卷16《律历上》载：“魏陈留王景元四年刘徽注《九章》”。是知《九章算术注》完成于景元四年（263年）。《隋书》卷34《经籍志三》有《九章算术》十卷、《九章重差图》一卷，均注明系刘徽撰。后《九章重差图》失传，唐人将《九章算术注》内有关数学用于测量的《重差》一卷取出，独成一书，因其中第一个问题系测量海岛，故改名为《海岛算经》。刘徽这两个著作是我国数学史上宝贵的文献，即在世界数学史上也有一定的地位。今述其主要贡献如下： 1.极限观念与割圆术极限意识在春秋战国时已出现，实际加以应用的是刘徽。刘徽已领悟到数列极限的要谛，故能有重要创获。刘徽的杰出贡献首推他在《九章算术注》中创立的割圆术，其所用方法包含初步的极限概念和直线曲线转化的思想。刘徽建立的割圆术，是在圆内接正六边形，然后使边数逐倍增多，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。这是因为，圆内接正多边形无限多时，其周长极限即为圆周长，面积即为圆面积。他算到正192边形时，求得圆周率为3.14的近似值。他又用几何方法把它化为。后人即将3.14或叫作“徽率”。 2.关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多面体的体积计算较比容易解决，而圆锥、圆台之类的体积就难以求得。刘徽经过苦心思索，终于找到了一条途径，他分别做圆锥的外切正方锥和圆台的外切正方台，结果发现：“求圆亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥）的体积之比，也是π∶4。很显然，如果知道了正方台（锥）的体积，即可求得圆台（锥）的体积。刘徽这个成果，看似简单，实际起着继往开来的重要作用，故有的现代数学家称之为“刘徽定理”。 3.十进小数的应用在数学计算或实际应用中总不免出现奇零小数，刘徽建立了十进分数制。他以忽为最小单位，不足忽的数，统称之为微数，开平方不尽时，根是无限小数，这又是无限现象。他说：“微数无名者以为分子，其一退以十为分母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂（已经开出去的正方形面积）虽有所弃之数（未能开出的部分），不定言之也”。
微积分发展史
微积分发展史 微积分在数学发展史上可以认为是一个伟大的成就，由于微积分的创立不仅解决了当时的一些重要的科学问题，而且由此产生了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等。这个伟大的成就当然首先应该归功于牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)，但是在他们创立微积分之前，微积分问题至少被17世纪十几个大数学家和几十个小数学家探索过，得出了一些有价值的结论，且具有很大启发性。牛顿和莱布尼茨是在前人的基础上将微积分发展到了高峰。 17世纪遇到了哪些问题呢？主要有四类问题。第一类是速度和加速度问题。17世纪遇到的速度和加速度问题大都是变量问题，即变速与变加速。这与17世纪以前所遇到的大量常速问题所不同，如何求速度与加速度成为当时科学家们所关心的问题。第二类是切线问题。17世纪光学是一门重要的学科，例如透镜如何设计，这涉及切线与法线。切线问题在17世纪以前虽也解决过，但只限于圆锥曲线，而切线的定义是只与曲线接触一点的直线，这种情况不能适应17世纪所遇到的复杂的曲线的切线问题，另外物体运动时在它轨迹上的运动方向也涉及切线。第三类是最大值和最小值问题。炮弹的最大射程如何求，行星运行时离开太阳的最远和最近距离如何求，都是17世纪迫切要解决的。第四类是求曲线的长、曲线围成的面积和曲面围成的体积、物体的重心、引力等。这些问题在17世纪之前个别地解决过，但必须有较好的技巧，且方法缺乏一般性。 尝试解决这四类问题在牛顿、莱布尼茨之前已经有过不少经验，罗贝瓦尔(Roberval)从炮弹的水平速度与垂直速度构成矩形的对角线出发，认为这条对角线就是炮弹的轨迹切线。牛顿的老师巴罗(Barrow)，也给出了求切线的方法。17世纪开普勒(Kepler)证明了所有内接于球的，具有正方形底的正平行四面体中立方体的容积最大。当越来越接近最大体积时，相应尺寸的变化对体积的变化越来越小(就是我们现在所说的极值处的导数为0)。费马(Fermat)在1629年已经找到与现在求最大值和最小值的方法实质相同的方法。卡瓦列利(Cavalieri)在他老师伽利略(Galileo)和开普勒的影响下，并在他老师的敦促下，考查了微积分，并且获得n为正整数时的积分公式(1639年) 1634年罗贝瓦尔求出了旋轮线x=R(t-s in t)，y=R(1-c os t)一个拱下的面积。他还求出了正弦曲线一个拱下的面积及它绕底旋转的体积。一些图形的重心也计算出来了。格利哥利(Gregory)在1647年算出了 以上都是一些具体的结果，在原则性的问题上，如微积分的主要特征——积分与微分互逆，也早为人们所遇到。托里拆利(Torricelli)通过特殊的例子看到了变化率问题本质上是面积问题的反问题。费马同样也在特殊的例子中知道了面积与导数的关系。格利哥利1668年证明了切线问题是面积问题的逆问题。巴罗也看到了这种关系，但他们不是没有看到其普遍意义或一般性，就是没引起重视和看到其重要性。17世纪的前三分之二的时间内，微积分的工作被困拢在一些细节问题里，作用不大的细微末节的推理使数学家们精疲力竭了。
微积分论文
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微积分中的导数思想与应用 蔡淑铭 摘要：微积分在天文、力学、数学、化学、生物学、物理学、工程学和社会科学等领域都有什么样重要的作用,微积分的基本原理和思想在我们的日常生活中、学习、工作中也经常用到。一、导数在经济学中的应用导数反映函数的自变量在变化过程中,相应的函数值变化的快慢程度——变化率。如果在函数y- f(x)在某一点x_0处可导的前提下,若函数y-f(x)在某区间内每一点处都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记y=f'(x)为y=f(x) 在该区间内的可导函数(简称导数)。 关键词：流数术、可导、变化 1.导数的概念 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X 在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的 比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x 0处的导数，记作f'(x )或 df/dx(x )。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f(x)，x?f'(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 2.导数的历史沿革 2.1起源
微积分的起源与发展.
微积分的起源与发展 主要内容： 一、微积分为什么会产生 二、中国古代数学对微积分创立的贡献 三、对微积分理论有重要影响的重要科学家 四、微积分的现代发展 一、微积分为什么会产生 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第二类问题是求曲线的切线的问题。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
概述定积分的发展及应用
概述定积分的发展与应用 摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用. 关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用 微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分. 定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段. 1准备阶段 主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用. 2 创立阶段 主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门. 牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来
数学史试题及答案
浙江师范大学成教2006学年第2学期 《数学史》考试卷（A）（式样一） 一、单项选择题(每小题2分，共26分) 1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是( B ) A.刘徽 B.祖冲之 C.阿基米德 D.卡瓦列利 2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C ) A.秦九韶 B.杨辉 C.朱世杰 D.贾宪 3．就微分学与积分学的起源而言( A ) A.积分学早于微分学 B.微分学早于积分学 C.积分学与微分学同期 D.不确定 4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D ) A.《孙子算经》 B.《墨经》 C.《算数书》 D.《周髀算经》 5．发现著名公式e iθ=cosθ+i sinθ的是( D )。 A.笛卡尔 B.牛顿 C.莱布尼茨 D.欧拉 6．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )。 A.两汉时期 B.隋唐时期 C.魏晋南北朝时期 D.宋元时期 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( A )。 A.莱布尼茨 B.约翰·伯努利 C.雅各布·伯努利 D.欧拉 8．1834年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是( B )。 A.高斯 B.波尔查诺 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 9．古埃及的数学知识常常记载在（A）。 A.纸草书上 B.竹片上 C.木板上 D.泥板上
10．大数学家欧拉出生于（A ） A.瑞士 B.奥地利 C.德国 D.法国 11．首先获得四次方程一般解法的数学家是( D )。 A.塔塔利亚 B.卡当 C.费罗 D.费拉利 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（D）。 A.比例术 B.面积术 C.体积术 D.开方术 13．最早采用位值制记数的国家或民族是( A )。 A.美索不达米亚 B.埃及 C.阿拉伯 D.印度 二、填空题(每空1分，共28分) 14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：相容性、____完备性_______、____独立性_______。 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。 16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为____杨辉____三角，而数学史学者常常称它为_____贾宪___三角。 17．欧几里得《几何原本》全书共分13卷，包括有____5____条公理、____5____条公设。 18．两千年来有关欧几里得几何原本第五公设的争议，导致了非欧几何的诞生。 19.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了一次和二次方程的一般解法，并用__几何____方法对这一解法给出了证明。 20．在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽，如开普勒的旋转体体积计算、巴罗的微分三角形方法以及瓦里士的曲线弧长的计算等。 ε-语言的数学家是维尔斯特拉斯。 21．创造并最先使用δ 22．数学家们为研究古希腊三大尺规作图难题花费了两千年的时间，1882年德国数学家林德曼证明了数π的超越性。 23．罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点，至少有两条直
数学的发展历史
数学的发展历史 数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。 数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。 数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
[2018年最新整理]微积分发展历程(二)
微积分发展历程（二） 微积分学的诞生 随着时代的发展，实践中提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、巴罗……并取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊，因而出现了一门崭新的数学分支：数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光辉动人的乐章。 1）微积分的发展 无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。 不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒（B.Taylor ）、麦克劳林（C.Maclaurin ）、棣莫弗（A.de Moivre ）、斯特林（J.Stirling ）等。泰勒（1685_1731）做过英国皇家学会秘书。他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理()2 3 ....22..112123v v v x z v x x x x z z z ∴+=++++其中v 为独立变量z 的增量，.x 和. z 为流数。泰勒假定z 随时间均匀变化，故.z 为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”： ()()()()2 2!h f x h f x hf x f x '''+=+++。 泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。 泰勒公式在x=0时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。麦克劳林（1698_1746）是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作《流数论》，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功。《流数论》中还包括有麦克劳林关于旋转可耻椭球体的引力定理，证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体积成正比。 麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。与此相对照，在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。 2）积分技术与椭圆积分 18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。 当18世纪的数学家考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一片新天地，因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示。例如雅各布?伯努利在求双纽线
1数学史试题及答案
填空 1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927 的数学家是祖冲之 2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是(朱世杰 3．就微分学与积分学的起源而言(积分学早于微分学) 4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是(《周髀算经》 5．发现著名公式e iθ =cosθ +isinθ的是( 欧拉 6．中国古典数学发展的顶峰时期是(宋元时期)。 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是(.莱布尼茨)。 8．1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是(波尔查诺)。 9．古埃及的数学知识常常记载在（纸草书上）。 10．大数学家欧拉出生于（瑞士） 11．首先获得四次方程一般解法的数学家是(费拉利。 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（开方术）。 13．最早采用位值制记数的国家或民族是(美索不达米亚)。 14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：相容性、__完备性__、独立性 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。 16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为__杨辉__三角，而数学史学者常常称它为_贾宪__三角。 17．欧几里得《几何原本》全书共分13 卷，包括有_5_条公理、_5条公设。 18．两千年来有关欧几里得《几何原本》第五公设的争议，导致了《非欧几何》的诞生。 1 9.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了一次和二次方程的一般解法，并用__几何__方法对这一解法给出了证明。
常微分方程的发展史
摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微 分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定. 命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元 素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”. 关键词：常微分方程，发展，起源 正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。17 世纪，牛顿，英国，1642-1727)和莱布尼兹，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。雅可比·伯努利自己解决了
前者。翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。 有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。因此，最初人们的注意力放在某些类型的微分方程的一般解法上。 1691 年，莱布尼兹给出了变量分离法。他还把一阶齐次方程使其变量分离。1694 年，他使用了常数变易法把一阶常微分方程化成积分。 1695 年，雅可比·伯努利给出著名的伯努利方程。莱布尼兹用变换，将其化为线性方程。约翰和雅可比给出了各自的解法，其本质上都是变量分离法。 1734 年，欧拉，瑞士，1707-1783)给出了恰当方程的定义。他与克莱罗. Clairaut，法国，1713-1765)各自找到了方程是恰当方程的条件，并发现：若方程是恰当的，则它是可积的。那么对非恰当方程如何求解呢1739 年克莱罗提出了积分因子的概念，欧拉确定了可采用积分因子的方程类属。这样，到 18 世纪 40 年代，一阶常微分方程的初等方法都已清楚了，与此相联系，通解与特解的问题也弄清楚了。
《数学史》习题
《数学史》习题 总体要求 每一讲写一600字左右的读书笔记，30% 记录学期总成绩。 第一讲数学的起源与早期发展 1、您对《数学史》课程的期望。 2、谈谈您的理解：数学是什么? 3、数学崇拜与数学忌讳。 4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。 5、数的概念的发展给我们的启示。 6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。 第二讲古代希腊数学 1、试分析芝诺悖论：飞矢不动。 2、欧几里得《原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？ 3、简述欧几里得《原本》的现代意义？ 4、以“化圆为方”问题为例，说明未解决问题在数学中的重要性。 5、体验阿基米德方法：通过计算半径为1的圆内接和外切正96边形的周长，计算圆周率的近似值，计算到小数点后3位数。 6、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？ 第三讲：中世纪的东西方数学I 1、简述刘徽的数学贡献。 2、用数列极限证明：圆内椄正6?2^{n}边形的周长的极限是圆周长。 3、《九章算术》在中国数学发展史上的地位和意义如何？ 4、试比较阿基米德证明体积计算公式的方法与中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。
5、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。 6、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。 第四讲：中世纪的东西方数学II 1、印度数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学发展有何重要贡献？ 2、有关零号“0”的历史。 3、简述阿尔·花拉子米的数学贡献。 4、论述阿拉伯数学对保存希腊数学、传播东方数学的作用。 5、试说明：古代东方数学的特点之一是以计算为中心的实用化数学。 6、求斐波那契数列的通项公式。 第五讲：文艺复兴时期的数学 1、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。 2、简述符号“＋”、“－”的历史。 3、通过具体例子说明16世纪的意大利数学家是如何求解三、四方程的。 4、学习珠算有现实作用吗？ 5、简述欧几里得《原本》在中国出版的历史意义。 6、试分析中国传统数学自元末以后逐渐衰微的原因。 第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立 1、析几何产生的时代背景是什么？ 2、平面解析几何的产生与形数结合的思想。 3、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。 4、17世纪对哪些问题的研究导致了微积分的诞生？ 5、关于牛顿“站在巨人们肩膀上”的启示。 6、简述莱布尼茨关于微积分的工作。 第七讲：18世纪的数学：分析时代
微积分的发明历程
微积分的发明历程 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 从 世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个 世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。 微积分的思想 从微积分成为一门学科来说，是在 世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前 世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前 前 ）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在 年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在 年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
解析几何为微积分的创立奠定了基础 由于 世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。 到了 世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。 笛卡尔 年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立着的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。 牛顿的“流数术” 数学史的另一次飞跃就是研究“形”的变化。 世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化
数学史复习题
一、选择题 1、e和π分别是( D )数. A.代数数,超越数 B.超越数,代数数 C.代数数,代数数 D.超越数,超越数 2、我国最早提出负数概念的数学经典著作是( A ). A.《九章算术》 B.《算数书》 C.《周髀算经》 D.《代数拾遗》 8．《周髀算经》和（ D ）是我国古代两部重要的数学著作。 A.《孙子算经》 B.《墨经》 C.《算数书》 D.《九章算术》 3、被称做“非欧几何之父”的数学家是( A ). A.罗巴切夫斯基 B.玻利亚 C.高斯 D.欧拉 4、首先提出正态分布的数学家是( B ). A.牛顿 B.高斯 C.黎曼 D.欧拉 5、“复数”这一名称是( B )首先提出的 A.哈密尔顿 B.高斯 C.费尔马 D.牛顿 23、黎曼几何在二维的情形最初是( D )发展的。 A.黎曼 - B.笛卡尔 - C.克莱因 - D.高斯 6、以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( D ). A.爱奥尼亚学派 B.伊利亚学派 C.诡辩学派 D.毕达哥拉斯学派 7、《几何原本》的作者是( A ). A.欧几里得 B.阿基米德 C.阿波罗尼奥斯 D.托勒玫 15、欧几里得在《几何原本》中列出了五条公理，其中较有争议的是第( D)条公理 A.二 B.三 C.四 D.五 19、《几何原本》传入中国，首先应归功于科学家( C ) A.刘徽 - B.秦九韶 - C.徐光启 - D.李善兰 9．中国数学史上最先完成勾股定理证实的数学家是( B ) A.周公后人荣方与陈子 B.三国时期的赵爽 C.西汉的张苍、耿寿昌 D.魏晋南北朝时期的刘徽 10．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是(C) A.刘徽 B. 阿基米德 C.祖冲之 D.卡瓦列利 11、首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( A ). A.中国 B.印度 C.阿拉伯 D.古希腊 12、根据伽罗华的理论,能够用求根公式作出一般性解决的高次方程最多是( B )方程. A.三次 B.四次 C.五次 D.二次 13、被誉为中国人工智能之父,在几何定理的机器证实取得重大突破,并获得首届国家最高科学技术奖的数学家是( B ). A.张景中 B.吴文俊 C.华罗庚 D.陈景润 14、第一个在代数和几何上架起一座桥梁的人是数学家(C) A.莱布尼兹 B.高斯 C.笛卡尔 D.欧拉 16、 (D)所创立的几何把几何局部化，可以说是几何学的第四个发展。 A.笛卡尔 B.费尔马 C.罗巴切夫斯基 D.黎曼 17、 ( D )创造了现在通用的微分和积分的符号，提出了主要的求导法则等。 A.牛顿 - B.黎曼 - C.欧拉 - D.莱布尼茨 18、概率论最基本的规律之一大数律是( A )提出的 A.伯努利 - B.高尔顿 - C.皮尔逊 - D.柯尔莫哥洛夫 20、一般认为和笛卡尔同时代的法国数学家( A )也是解析几何的创建者之一。 A.费尔马 - B.莱布尼兹 - C.牛顿 - D.罗巴切夫斯基
微积分的发展历史
微积分的产生——划时代的成就 . 1 微积分思想的萌芽 1.1 古希腊罗马——微分、积分思想的发源地 原子论朴素的微分和积分思想.古希腊的原子论者具有朴素的微分和积分思想，该学派的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus)，代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特(Democritus of Abdera).原子论者把宇宙间的万物看成由不可再分的原子构成，以及原子虽然不能再分但仍有内部结构的思想，表现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积的量x ，进行了一次微分(dx)和二次微分(dx 2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥和棱锥的体积分别等于和它们同底同高的圆柱和棱柱体积的三分之一. 极限法的早期形式穷竭法.为了计算曲边形的面积和体积，欧多克斯（Eudoxus of Cnidos ）曾提出了一个计算方法，这个方法在17世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是：如果对于任意的正整数n ，等式 k b a n n =（常数）成立，且当n →∞时，A a n →，B b n →，则有k B A =.他用这个方法证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥体积的公式.阿基米德(Archimedes)对穷竭法也作出了重要贡献，他在《圆的度量》、《论圆柱和球》、《抛物线求积》、《论螺线》等著作中，应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”概念.并且他用这种方法计算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体积等数学问题. 芝诺的拟难.芝诺(Zero of Elea)是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一个科学家，更谈不上是一位数学家，但他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，对微积分发展有一定的影响.其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽有无穷多项，但其和仍为有限的；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关. 1.2 阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究 在整个中世纪，希腊文化遗产在某种程度上是由逐渐缩小的、以君士坦丁堡为中心的拜占庭帝国保存下来的.但是，在黑暗时代的几个世纪中，有效地利用这些遗产，并且最后把它们输送到西欧去的，却是地中海地区的阿拉伯政权. 代数和三角学的确立.从7世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到8世纪，它已成为一个地跨亚、欧、非三洲，阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力进行天文观测，编制星表，集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期，“阿拉伯数学”却成了这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人”的工作才得以保存下来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是东西科学文化交流的桥梁，今天通行的“印度—阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等，都是通过阿拉伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件.有继承才有发展，阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角学的确立就是他们对数学所做出的贡献. 对无限和运动的研究.这一时期，除了“印度—阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角