四 种 相 互 作 用
四种相互作用
牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》前言中写道：“我奉献这一作品，作为哲学的数学原理，因为哲学中的全部责任似乎在于——从运动的现象去研究自然界中的力，然后从这些力去说明其他现象。”牛顿本人正是实践这条思路的先驱，他在发表三大运动定律的同时，发表了万有引力定律。牛顿以后的三百年来，物理学家们从各种自然现象中，寻找支配这些运动现象的力。目前，物理学界公认，自然界存在四种基本的相互作用：万有引力(简称引力)、电磁力、强相互作用和弱相互作用。
在宏观世界里，能显示其作用的只有两种：引力和电磁力。
引力是所有物体之间都存在的一种相互作用。由于万有引力常量G很小，因此对于通常大小的物体，它们之间的引力非常微弱，在一般的物体之间存在的万有引力常被忽略不计。但是，对于一个具有极大质量的天体，引力成为决定天体之间以及天体与物体之间的主要作用。例如，地球对于它表面上的一般物体的引力，决定了物体的自由下落和抛体运动的规律。引力对于天体、人造地球卫星或关闭动力后的航天器的运动起主宰作用。
电磁相互作用包括静止电荷之间以及运动电荷之间的相互作用；两个静止点电荷之间的相互作用规律是19世纪法国物理学家库仑发现的，运动着的带电粒子之间，除了存在库仑静电力的作用外，还存在磁力(洛伦兹力)的相互作用。根据麦克斯韦电磁理论和狭义相对论，电和磁是密切相关的，是统一的：在一个参考系中观察到的磁力可以和另一个参考系中观察到的库仑力联系起来，因此，电力、磁力统一为电磁力相互作用。
引力、电磁力能在宏观世界里显示其作用。这两种力是长程力，从理论上说，它们的作用范围是无限的。但是，电磁力与引力相比，要强得多。宏观物体之间的相互作用，除引力外，所有接触力(弹力、摩擦力、表面张力、附着力等)都是大量原子、分子之间电磁相互作用的宏观表现。
弱相互作用和强相互作用是短程力。短程力的相互作用范围是原子核尺度内。强作用力只在10—15m范围内有显著作用，弱作用力的作用范围不超过10—16m这两种力只有在原子核内部和基本粒子的相互作用中才显示出来，在宏观世界里不能察觉它们的存在。弱相互作用是在原子核的β衰变中发现的，核子(质子、中子)、电子和中微子等参与弱相互作用。强相互作用是介子和重子(包括质子、中子)之间的相互作用，因为这种力把核子束缚在一起，核物理学家们把它称为核相互作用。
四种相互作用按强度来排列，顺序是：强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用、引力
任意奇数阶幻方的罗伯移步法
任意奇数阶幻方的罗伯移步法 学习心得 范贤荣2016.2.25 在学习幻方构成时，在网上看到了大多数幻友介绍的罗伯（loubere）法。读后，我有心得如下： 1、罗伯（loubere）法的确是最简单的任意奇数阶幻方的构成法。它只要一步一步地填写就可以了。 2、有人称之为楼梯法。这也非常形象，体现了一步一步斜着向上的填写规律。因此，我觉得以罗伯楼梯法谓之，倒是一个好办法，既尊敬了罗伯的创造，又形象地体现了填写规律。但是，楼梯太实用了，就采用了浪漫点的移步二字，编写了本文的题目。 3、罗伯法的填写步骤，非常经典。关于“出格/出框”、“重复/遇阻”的规定，也往往还被其他方法所引用。 4、罗伯法的口诀，对“1居上行正中央”的这种幻方，是很正确且准确的。但是，不知道这是不是罗伯老师的原话。我现在看到的都是幻友们的介绍。因此，就与幻友们讨论一下： 这个口诀，只适用于“1居上行正中央”的这种幻方。或者说“1居上行正中央”的这种幻方，只是罗伯幻方的一种。 罗伯幻方每一阶都有多种。幻方数与阶数相同。 因此，我建议在这口诀下面加一个注：“1居上行正中央”只是罗伯幻方有代表性的一种。1还可以在其他点格上。 5、1还可以在那些点格上呢？ 我们把方阵空格用（X，Y）即（行，列）表示。第一行，第三列表示为（1，3）那么，各阶数方阵有几个幻方，1点在何处，可见下表： 我们还可以形象地用方阵的方式，直观地看到1的位置。 5阶幻方的1点在幻和为65的格子内。
方法是： 1）与阶数一样，画出阶数方阵。例如，5阶 2）将该阶幻方的幻和填在方阵的“上行正中央”。例如5阶幻和65。 3）在斜着把幻和，逐行向左移一位，填在各行。如下图 4）再利用罗伯法则，将出格的数移回来。就可以直观地看到1在那些点格了。 5）顺便说说方阵中的其他数据是什么？从何而来？。这些数据都是一个不等于“幻和”的对角线之和。我是计算出来的，计算完5阶，我就知道7阶了。因此，就少画了许多方阵。 6）其他不等于“幻和”的对角线之和，就是将“幻和”向两边逐步加减“阶2”。 例如5阶，52=25 65+25=90、90+25=115、65-25=40、40-25=15 心得汇报完毕。方阵附后：
用尺规作三角形--习题精选(二)
用尺规作三角形习题精选(二) 一、训练平台（每小题6分，共24分） 1．如图11-55所示，已知线段a，c。求作R t△ABC，使∠C＝90°，BC＝a，AB＝c。 2．如图11-56所示，已知两边a，b，求作等腰三角形ABC。 3．如图11-57所示，已知线段m，n，∠A。求作△ABC，使AB＝m，AC＝n，∠A ＝∠a。 4．如图11-58所示，已知线段b，m（m＞b），求作Rt△ABC，使∠C＝90°，AC＝b，BC边上的中线AD＝m。
能力升级 二、提高训练（每小题6分，共24分） 1．如图11-59所示，已知钝角三角形ABC ，求作中线BE 、角平分线AD 、高CF 。 2．如图11-60所示，已知△ABC 。求作AC 上一点D ，使点D 到∠B 两边的距离相等。 3．如图11-61所示，已知△ABC 中的∠A 和∠B 分别等于图中的α∠，β∠，求作∠MON ，使∠MON ＝∠C 。 4．如图11-62所示，已知△ABC 。求作△ABC 的三边中垂线。
三、探索发现（每小题7分，共42分） 1.．如图11-63所示，已知线段c，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，AB＝c，AC＝BC。 ∠。求作Rt△ABC，使∠C＝90°，AC＝b，2．如图11-64所示，已知线段b，α ∠=∠。 Aα 3．如图11-65所示，已知线段a，b，c。求作△ABC，使AB＝c，AC＝a，BC＝b。 4．如图11-66所示，已知线段b，m（b＞m）。求作△ABC，使AB＝AC＝b，且BC 边上的高为m。
5．如图11-67所示，已知∠A ，求作α∠的补角的平分线。 6．如图11-68所示，已知△ABC 。求作BC 边上的中线AD 。 四、拓展创新（共10分） 如图11-69所示，已知线段c 和α∠，β∠。求作△ABC ，使A α∠=∠，B β∠=∠，AB ＝c 。
第四章相图
第四章 1.在Al-Mg合金中,X Mg 为,计算该合金中镁的W Mg 为多少。 2.根据图4-117所示二元共晶相图,试完成: (1)分析合金Ⅰ,Ⅱ的结晶过程,并画出冷却曲线. (2)说明室温下合金Ⅰ,Ⅱ的相和组织是什么并计算出相和组织组成物的相对量. (3)如果希望得到共晶组织加上相对量为5%的β初的合金,求该合金的成分. (4)合金Ⅰ,Ⅱ在快冷不平衡状态下结晶,组织有何不同. 3.分析图4-118所示Ti-W合金相图中,合金Ⅰ(ww=和(ww=在平衡冷却和快冷时组织的变化. 4.含W Cu 为的Al-Cu合金(见图4-119)圆棒,置于水平钢模中加热熔化,然后采用一端顺序结晶方式冷却,试求合金圆棒内组织组成物的分布,各组成物所占圆棒的百分数及沿圆棒长度上Cu浓度的分布曲线(假设液相内熔质完全混合,固相内无扩散,界面平直移动,液相线与固相线呈垂直)。 5.参看图4-45所示的Cu-Zn相图,指出图中有多少三相平衡,写出它们的反应式.并分析含wZn为的铜锌合金平衡结晶过程中的冷却曲线,主要转变反映式及室温相组成物与组织组成物.
6.根据下列数据绘制Au-V二元相图.已知金和钒的熔点分别为1064℃和1920℃.金与钒可形成中间相β(AuV3),钒在金中的固熔体为α,其室温下的熔解度为wV=,金在钒中的固熔体为γ, 其室温下的熔解度为wAu=.合金系中的两个包晶转变,即 (1) β(wV=+L(wV=== α(wV= (2) γ(wV=+ L(wV=== β(wV= 7.计算含wC为的铁碳合金按压稳态冷却到室温后组织中的珠光体`、二次渗碳体和莱氏体的相对量,并计算组成物珠光体中渗碳体和铁素体及莱氏体中二次渗碳体、共晶渗碳体与共析渗碳体的相对量. 8.根据显微组织分析,一灰口铁内含有12%的石墨和88%的铁素体.试求其wC. 9.汽车挡泥板应选用高碳钢还是低碳钢制造 10.当800℃时, 试求: (1)含wC =的钢内存在哪些相. (2)写出这些相的成分. (3)各相所占的相对量是多少.
三角形的边角与尺规作图
12 3 A C B D E B1 2013年全国中考题汇编 三角形的边角与尺规作图 一、选择题 1．（2013凉山）如图，330 ∠=o，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，击打白球时，1 ∠的度数为( ) A．30o B．45o C．60o D．75o 2．（2013南充）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（） A．70°B．55°C．50°D．40° 3．（2013毕节）如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（） A．30°B．60°C．90°D．45° 4．（2013重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（） A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2013郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40° 6．（2013宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4 7. （2013长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（） B.4 8.（2013巴中）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（）A．大B．伟C．国D．的 9.( 2013郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（） A．25°B．30°C．35°D．40°
染色体步移步骤
染色体步移技术（Genome Walking）是一种重要的分子生物学研究技术，使用这种技术可以有效获取与已知序列相邻的未知序列。染色体步移技术主要有以下几方面的应用： 1. 根据已知的基因或分子标记连续步移，获取人、动物和植物的重要调控基因，可以用于研究结构基因的表达调控。如分离克隆启动子并对其功能进行研究； 2. 步查获取新物种中基因的非保守区域，从而获得完整的基因序列； 3. 鉴定T-DNA 或转座子的插入位点，鉴定基因枪转基因法等转基因技术所导致的外源基因的插入位点等； 4. 用于染色体测序工作中的空隙填补，获得完整的基因组序列； 5. 用于人工染色体PAC、YAC 和BAC 的片段搭接。 其主要原理是根据 已知DNA 序列，分别设计三条同向且退火温度较高的特异性引物（SP Primer），与退火温度较低的兼并引物，进行热不对称PCR 反应。 现在有很多Genome Walking Kit，相应的说明书都介绍的很详尽，下面给你发一个原理图：
大致的原理是这样的，依据TaKaRa的试剂盒，具体的操作步骤如下： 1. 基因组DNA 的获取。 基因组DNA 的质量是侧翼序列获取成功与否的关键因素之一。建议不要使用只经过简单处理的基因 组DNA（例如：只进行细胞热处理或蛋白酶处理）作为模板，而要使用经过充分纯化的完整的基因组 DNA。此外，由于本方法灵敏度极高，模板DNA 一定不要污染，所需的DNA 量不要少于3 μg。 2. 已知序列的验证。 在进行PCR 实验之前必须对已知序列进行验证，以确认已知序列的正确性。具体方法为：根据已知序 列设计特异性引物（扩增长度最好不少于500 bp），对模板进行PCR 扩增，然后对PCR 产物进行测 序，再与参考序列比较确认已知序列的正确性。 3. 特异性引物的设计。 根据验证的已知序列，按照前述的特异性引物设计原则设计三条特异性引物，即：SP1、SP2、SP3。 4. 1st PCR 反应。 基因组DNA 经OD 测定准确定量后，取适量作为模板（不同物种的最佳反应DNA 量并不相同，实际 用量参考下面的注*1），以AP Primer（四种中的任意一种，以下以AP1 Primer 为例）作为上游引 物，SP1 Primer 为下游引物，进行1st PCR 反应。
北师大版七年级数学下册 3.用尺规作三角形教学设计教案
《3.4用尺规作三角形》教案 学习目标： 1、了解尺规作图的含义及其历史背景. 2、会作一个角等于已知角，并了解作法理由. 3、在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作三角形. 4、作已知线段的垂直平分线，并了解作法理由. 5、能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性. 学习重点： 基本尺规作图 学习难点： 作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线的作法分析过程. 学习设计： （一）预习准备 （1）预习书86~88页 （2）学具：圆规、直尺 （3）预习作业： 1、已知：a，求作：AB，使AB=a 2、已知：∠α 求作：∠AOB，使∠AOB=∠α α （二）学习过程： 1．作一个三角形与已知三角形全等 （1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形. 已知：线段a，c，∠α. 求作：ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α. α
作法与过程： 1.作一条线段BC=a， 2.以B为顶点，BC为一边，作角∠DBC=∠a； 3.在射线BD上截取线段BA=c； 4.连接AC，ΔABC就是所求作的三角形. 给出示范和作法，让学生模仿，教师可以在黑板上做一次示范，让学生跟着一起操作，并在画完图后，让学生再自己操作一遍.而在下面的作图中，就让学生小组内讨论、交流，通过集体的力量完成，教师再给以一定的指导. （2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形. 已知：线段∠α，∠β，线段c. 求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c. 作法与过程： 1.作____________=∠α； 2.在射线______上截取线段_________=c； 3.以______为顶点，以_________为一边，作∠______=∠β，________交_______于点_______.ΔABC就是所求作的三角形. 先让学生独立思考，探索作图的过程，对可以自己作出图形的学生，要求他们在小组内交流，用自己的语言表述作图过程.教师要注意提醒学生在作图过程中，是以哪个点为圆心，什么长度为半径作图. （3）已知三角形的三边，求作这个三角形. 已知：线段a，b，c. 求作：ΔABC，使得AB=c，AC=b，BC=a. 在完成三个作图后，同学们要比较各自所作的三角形，利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等.在此基础上，利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性.
【初一数学】用尺规作三角形及三角形全等应用(基础)巩固练习
用尺规作三角形及三角形全等应用 （基础）巩固练习 【巩固练习】 一.选择题 1．尺规作图是指（） A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图 C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图 2．如图，两钢条中点连在一起做成一个测量工件，AB的长等于内槽宽A'B'，那么判定 △OAB≌△OA'B'的理由是（） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．（2015?邵阳一模）如图，点C落在∠AOB边上，用尺规作CN∥OA，其中弧FG的（） A. 圆心是C，半径是OD B．圆心是C，半径是DM C．圆心是E，半径是OD D．圆心是E，半径是DM 4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（） A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC C．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC 5．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 6．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，其理论依据是全等三角形判定定理（） A．SAS B．HL C．AAS D．ASA 二.填空题 7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________. 8．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=a，EH=b，则四边形风筝 的周长是． 9.用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是 . 10．如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a． 作法：（1）作一条线段AB=； （2）分别以、为圆心，以为半径画弧，两弧交于C点； （3）连接、，则△ABC就是所求作的三角形．
《用尺规作三角形》同步练习1
用尺规作三角形 一、判断题 1.只要知道三角形的三个基本元素，就可以作出惟一的三角形.（） 2.用量角器作一个角等于已知角也是尺规作图的一种.（） 3.已知两边和一角一定能做出惟一的三角形.（） 4.作一个角等于已知角是尺规作图中的最常用的基本作图之一.（） 二、填空题 1.在几何里，把只用_________和_________画图的方法称为尺规作图. 2.完成下列作图语言：（1）作射线_________ （2）以点O为圆心，以OB为半径画弧，交射线_________于点B. （3）延长线段_________到_________，使_________=_________. （4）以_________为圆心，以_________为半径作弧，交_________于_________，交_________于_________. 三、选择题 1.尺规作图的画图工具是（） A.刻度尺、圆规 B.三角板和量角器 C.直尺和量角器 D.没有刻度的直尺和圆规 2.利用基本作图，不能作出惟一三角形的是（） A.已知两边及其夹角 B.已知两角及夹边
C.已知两边及一边的对角 D.已知三边 3.已知三边作三角形，用到的基本作图是（） A.作一个角等于已知角 B.作已知直线的垂线 C.作一条线段等于已知线段 D.作一条线段等于已知线段的和 4.用尺规画直角的正确方法是（） A.用量角器 B.用三角板 C.平分平角 D.作两个锐角互余 5.作△ABC的高AD，中线AE，角平分线AF，三者中有可能画在△ABC外的是（） A.AD B.AE C.AF D.都有可能 四、用尺规作图 已知线段a及锐角α，求作：三角形ABC，使∠C=90°，∠B=∠α，BC=a. （1）（2）（3） 图2 作法：1.作∠MCN=90°. 2.以_________为圆心，_________为半径，在CM上截取_________. 3.以_________为顶点，_________为一边作∠ABC=_________交CN于点A. 连结AB，则△ABC即为所作的三角形.
三阶移棱魔方新手解法
首先，说明三阶移棱魔方的十字是这个样子的。 第一步，用三阶魔方的层先法第一步，底面十字。（参考魔方小站三阶教程，自己举一反三）要注意的是，因为楞的顺序被调换了，所以十字与第二层的色块不一定方向重合，不必担心。第二步，对第二层的中心色块。 情况1： 情况1的公式就是FLFL’F’ 情况2 情况2的公式是F’R’F’RF 情况3： 情况3的公式是FLF2L’F’ 第三步，调整底层角块顺序（这一部中黑色块代表底面，灰色代表任意，白色为同色） 情况1： 如何让①块变到②块的地方，公式如下RU’R’ 情况2 ①到②公式如下：L’UL 情况3（不是在右边的话，把魔方整体往右转一下） ①到②公式如下URU’R’F’U’FU2RU’R’ 第三步：复原第二层
熟悉三阶二层公式的人就不用看这一步了，自己捉摸吧。 情况1 ①到②公式如下U’L’ULUFU’F’ 情况2 ①到②公式如下URU’R’U’F’UF 第四步：顶层十字（可参考魔方小站三阶教程）（此步所有公式正面为顶面（黑））。 情况1 情况1公式：RFUF'U'R' 情况2 情况2公式LDFD’F’L’
情况3 先做一遍情况2的公式，就会变成情况1，再摆正位置用情况1的公式。情况4 已经十字了，不用说了 特殊情况有一个或三个五边形向上（不在前四种情况的就是特殊） 公式：FRF'R'F'D'FDF'RF'R'F'D'FD 做完后就会变成前四种中的一种了 第五步：恢复顶面（本步同样公式中正面为顶面） 基本型： 基1（即魔方小站中说的“小鱼1”）： 基1公式R’F’RF’R’F2R 基2（即魔方小站中说的“小鱼2”）：
用尺规作三角形及三角形全等应用(提高)知识讲解
用尺规作三角形及三角形全等应用（提高） 【学习目标】 1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形； 2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力. 【要点梳理】 要点一、基本作图 1.尺规作图的定义 利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图. 要点诠释： 尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度. 2.常见基本作图 常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角； 3.作角的平分线； 4.作线段的垂直平分线； 5.作三角形. 要点诠释： 1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达； 2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图. 要点二、三角形全等的实际应用 在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决. 【典型例题】 类型一、基本作图 1、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 如图，已知，∠α、∠β． 求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β． 【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求． 【答案与解析】 解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．
【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用． 举一反三： 【变式】（2015?湖州模拟）请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】 解： （1）以点B为一顶点作等边三角形； （2）作等边三角形点B处的角平分线． 2、（2015?宝鸡校级模拟）如图，△ABC，用尺规作图作角平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【思路点拨】以C为圆心，任意长为半径画弧分别交CA、CB于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结CP并延长交BA于点D． 【解析】 解：如图所示：DC即为所求． 【总结升华】此题主要考查了角平分线的做法，熟练掌握基本作图方法是解题关键． 类型二、作三角形
尺规作图方法大全
七年级数学期末复习资料（七） 尺规作图 【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本 图, 通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 ,最常用的尺规作 2、五种基本作图： 1 、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段AB，使 AB = a . 作法： （1）作射线 AP； （2）在射线 AP上截取 AB=a . 则线段 AB就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段 MN. 求作：点O，使 MO=NO（即 O是 MN的中点） .作法： （１）分别以M、 N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两 弧相交于 P，Q； （２）连接PQ交 MN于 O． 则点 O就是所求作的ＭＮ的中点。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠ AOB， 求作：射线 OP, 使∠ AOP＝∠ BOP（即 OP平分∠作法： （1）以 O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交 OA， OB于 M， N； （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP。 则射线 OP就是∠ AOB的角平分线。 a A M AOB）。 M O B P P O N Q A P N B
（4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠ AOB。 求作：∠ A’ O’ B’，使 A’ O’ B’ =∠ AOB B B' N N'N' O MA O' M' A'O'M'A'O'M' A'① ②③ 作法： （1）作射线O’ A’； （2）以 O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以 O’为圆心，以 OM的长为半径画弧，交 O’ A’于 M’；（4）以 M’为圆心，以 MN的长为半径画弧，交前弧于N’； （5）连接 O’ N’并延长到 B’。 则∠ A’ O’B’就是所求作的角。 （5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图， P 是直线 AB上一点。 求作：直线 CD，是 CD经过点 P，且 CD⊥AB。 M A P B A 作法： （1）以 P为圆心，任意长为半径画弧，交AB于 M、 N；C Q N P B D （2）分别以 M、 N 为圆心，大于 （3）过D、Q作直线CD。 则直线 CD是求作的直线。1 MN 的长为半径画弧，两弧交于点Q；2 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 D 已知：如图，直线AB及外一点 P。 P P 求作：直线 CD，使 CD经过点P， 且CD⊥ AB。 A B A M N B Q C
《用尺规作三角形》典型例题
《用尺规作三角形》典型例题 例1 已知线段a 、b ，求作ABC ?，使得b AC a BC C ==?=∠,,90． 例2 已知，三角形的两个内角分别是50°和60°，其中60°角所对的边是3cm ，求作这个三角形． 例3 已知，三角形的两条边分别是3cm 和4cm ，且3cm 这条边所对的角是30°，求作这个三角形． 例4 已知：α∠和线段c ， 求作：ABC ?，使得c AB A B =∠=∠∠=∠,2,αα
参考答案 例1 分析：假定ABC ?已作出，那么应有b AC a BC C ==?=∠,,90．C ∠是BC 、AC 的夹角，本题是已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形．直角可以用直角三角形的直角来作． 解：作法：（1）作?=∠90PCQ ； （2）在PC 、QC 上分别截取线段b AC a BC ==,； （3）连接AB ． 则ABC ?即为所求作的三角形． 例2 分析：根据三角形内角和等于180°，可求出所作三角形的另一个角是70°，这就变成了已知三角形的两个角和其夹边来作这个三角形． 作法：根据三角形内角和等于180°，可求得该三角形的另一个角是70°． （1）作线段3=AB cm ． （2）以AB 为边，分别以A 、B 为顶点作?=∠?=∠70,50B A ． （3）B A ∠∠、的另一边交于C 点，则ABC ?就是所求作的三角形． 说明：由这个题我们可以知道，只要给出三角形的两个角和一个边，就可以作出这个三角形． 例3 分析：先作一个30°角，再作出它的一个邻边，只要再把三角形30°角所对的边确定了，所作的三角形就确定了． 作法：（1）作30°角； （2）截4=AB cm ； （3）以B 为圆心，以3cm 为半径画弧，交30°角的一边于C 、C '点； （4）连结BC 、C B '，得到的ABC ?和C B A '''?都是符合要求的三角形． 说明：给出三角形的两边和一边的对角，作三角形，有时可以作出两个，这也是全等三角形，不存在“SSA ”判别方法的原因．
新北师大版七年级数学下册《用尺规作三角形》教案
4.4 用尺规作三角形 〖教学目标〗 1．知识与技能：掌握利用尺规作三角形的基本方法。 2．过程与方法：(1)经历在给定条件下(两角夹边、两边夹角和三边)，利用尺规作出三角形的过程；(2)能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。 3．情感与态度：在利用尺规作图的过程中，培养自信心、动手能力和探索精神。〖教学设计〗 (一)巧设现实情境，引入新课 师：在第二章我们已学习过用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角。现在回忆一下用尺规作图的一般步骤。 生：用尺规作图的步骤有：已知、求作。 师：他的回答对吗? 生：他的回答不完整，应该还有分析、作法。 (点评：让学生在倾听其他同学发言的过程中，培养学生的批判意识和怀疑精神。) 师：很好。下面大家来作一条线段等于已知线段。 生：(小组讨论后一位同学回答)已知：线段a。求作：一条线段，使它等于a。 图1 作法：(1)作射线AC；(2)在射线AC上截取AB=a。 则线段AB就是所求作的线段。 图2 (点评：教师让学生分组讨论，有意识地培养他们合作学习的能力。) 师：好，那如何作一个角等于已知角呢? 生：已知：∠AOB。求作：一个角，使它等于∠AOB。
图3 作法：(1)作射线O′A′； (2)以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； (3)以O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′； (4)以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D′； (5)过D′作射线O′B′。 则∠A′O′B′就是所求作的角。 图4 师：很好，大家基本掌握了用尺规作线段和角。边和角是三角形的基本元素，如果给了一些三角形的基本元素，你能用尺规作出一个三角形，使它满足已知条件吗?这节课我们就利用尺规作一个三角形与已知三角形全等。 (二)讲授新课 师：下面我们来做一做：已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形。 如何求作这个图形呢? (师生共析：需要先写出已知、求作，然后进行分析，最后作图形，写作法。) 已知：线段a,c,∠α。 图5 求作：△ABC，使BC＝a，AB=c，∠ABC=∠α。 师：假设这个三角形已作出，从图中可知，已知条件是两边及其夹角。那么我们第一步应该先作什么呢?
尺规作图(作三角形)小结教案(教学设计)
华师大版数学八年级上册 第13章全等三角形 小结——尺规作图（作三角形） 一、课标依据： 1、利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 2、了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。 二、教材分析： 本节课重在发展学生的空间观念，培养学生的动手操作能力，养成研究生学习的好习惯，为以后利用作辅助线的解几何题的学习打下基础。尺规作图与全等知识相结合，对今后的画图作图有很大的帮助，会利用尺规作图解决实际问题。 尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容，由于其独特的知识结构，多年来在初中教学中未有深入的涉及和研究，对学生的教学要求，只局限于五种基本尺规作图法的理解和操作，随着新课程对学生能力培养的要求，对尺规作图的要求也提出了更高的要求：除了要熟练操作五种基本图形作法外，还要结合几何推理，对目标图形进行作图原理推究、作图方法探索。 三、学情分析： 学生学习本课前已经有一定的动手操作和口头表达能力。已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，积累了一定的尺规作图的学习经验，并能简单的表达作图过程，并且学习了三角形全等的知识，为三角形尺规作图的学习奠定了良好的知识基础。 在学生的实际学习中，对五种基本作图法的单一应用是没有问题的，但部分学生由于几何意识薄弱，对稍加组合的基本图形作法的应用，思维发挥尚有一定差异，主要原因在于双基落实过程中，深度不够，也就是说几何推理结合操作的综合能力不够到位，需要在教学过程中把握好难度分寸，给学生补充一些能激化思维、提升思维的内容，以达到对基本作图法的灵活应用。 四、教学目标： 知识与能力： 1、经历尺规作图实践操作过程，训练和提高尺规作图的技能，能根据条件利用尺规作出三角形：已知三边作三角形；已知两角及夹边作三角形；已知两边及夹角作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 2、会写出三角形的已知、求作，并能简要叙述作法。 3、能对所作三角形给出合理的解释。 过程与方法： 1、在用尺规作三角形与已知三角形的过程中，体会、思考作图的合理性及依据。
三角形知识总结与尺规作图知识点
第一部分三角形 考点一、三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
【七年级数学下册】3.4 用尺规作三角形 北师大版
3.4用尺规作三角形 一、教学目标： 1、知识与技能：经历尺规作图实践操作过程，训练和提高学生的尺规作图的技能，能根据条件作出三角形。 2、过程与方法：能依据规范作图语言，作出相应的图形，在实践操作过程中，逐步规范作图语言。 3、情感与态度：通过与同伴交流作图过程和结果的合理性，体会对问题的说明要有理有据。 二、教学设计分析 本节课设计了7个环节：情境引入——作三角形——合作分享——基础练习——拓展提高——课堂小结——布置作业。 第一环节情境引入 活动内容：首先提出“豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，你能帮他在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形吗？”的问题，自然地引发学生思考“如何作一个三角形与已有的三角形一样呢？”与此同时引导学生回顾三角形的基本元素，以及学过的基本作图——作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角。学生思考后独立回答。对于两种基本尺规作图，找两名学生板演示范，其他学生在练习本上做。完成后，请学生试着叙述作法，教师规范学生的语言。 活动目的：通过学生处理身边经历过的事情，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的善于观察生活，并能从生活中提炼出数学模型的能力。同时对两个基本尺规作图的复习是为后面的学习做铺垫。自然引出本节课的主要研究内容“如何利用尺规作一个三角形与已知三角形全等呢？” 第二环节作三角形 活动内容：师生共同探索、研究、交流、经历利用尺规作三角形，学生用自己的语言表述作图的过程。本环节学生要按要求完成三个尺规作三角形的内容： （1）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形；（豆豆所求助的三角形） （2）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形； （3）已知三角形的三边，求作这个三角形。 首先，学生在教师的引导下分析、交流作三角形时作边与角的先后顺序，再作所求的三
第四章 二元合金相图与合金凝固答案
第四章二元合金相图与合金凝固 一、本章主要内容： 相图基本原理：相，相平衡，相律，相图的表示与测定方法，杠杆定律； 二元匀晶相图：相图分析，固溶体平衡凝固过程及组织，固溶体的非平衡凝固与微观偏析固溶体的正常凝固过程与宏观偏析：成分过冷，溶质原子再分配，成分过冷的形成及对组织的影响，区域熔炼； 二元共晶相图：相图分析，共晶系合金的平衡凝固和组织，共晶组织及形成机理：粗糙—粗糙界面,粗糙—光滑界面,光滑—光滑界面； 共晶系非平衡凝固与组织：伪共晶，离异共晶，非平衡共晶； 二元包晶相图：相图分析，包晶合金的平衡凝固与组织，包晶反应的应用 铸锭：铸锭的三层典型组织，铸锭组织控制，铸锭中的偏析 其它二元相图：形成化合物的二元相图，有三相平衡恒温转变的其它二元相图：共析，偏晶，熔晶，包析，合晶，有序、无序转变，磁性转变，同素异晶转变 二元相图总结及分析方法 二元相图实例：Fe-Fe3C亚稳平衡相图， 相图与合金性能的关系 相图热力学基础：自由能—成分曲线，异相平衡条件，公切线法则，由成分—自由能曲线绘制二元相图 二、 1.填空 1 相律表达式为___f=C-P+ 2 ___。 2. 固溶体合金凝固时，除了需要结构起伏和能量起伏外，还要有___成分_______起伏。 3. 按液固界面微观结构，界面可分为____光滑界面_____和_______粗糙界面___。 4. 液态金属凝固时，粗糙界面晶体的长大机制是______垂直长大机制_____，光滑界面晶体的长大机制是____二维平面长大____和_____依靠晶体缺陷长大___。 5 在一般铸造条件下固溶体合金容易产生__枝晶____偏析，用____均匀化退火___热处理方法可以消除。 6 液态金属凝固时，若温度梯度dT/dX>0（正温度梯度下），其固、液界面呈___平直状___状，dT/dX<0时（负温度梯度下），则固、液界面为______树枝___状。 7. 靠近共晶点的亚共晶或过共晶合金，快冷时可能得到全部共晶组织，这称为____伪共晶。 8 共晶，包晶，偏晶，熔晶反应式分别为_______L1→α+β______, __ L+α→β____, ______ L1—L2＋α________, ___________γ→α+ L _______。 10 共析，偏析，包析反应式分别为______γ→α+β________，______ α1—α2＋β ________，
三角形.doc尺规作图
第三章三角形 4 用尺规作三角形 一、教学目标是： 1、知识与技能：经历尺规作图实践操作过程，训练和提高学生的尺规作图的技能，能根据条件作出三角形。 2、过程与方法：能依据规范作图语言，作出相应的图形，在实践操作过程中，逐步规范作图语言。 3、情感与态度：通过与同伴交流作图过程和结果的合理性，体会对问题的说明要有理有据。 二、教学设计分析 本节课设计了7个环节：情境引入——作三角形——合作分享——基础练习——拓展提高——课堂小结——布置作业。 第一环节情境引入 活动内容：首先提出检测68页第8题，自然地引发学生思考“如何作一个三角形与已有的三角形一样呢？”与此同时引导学生回顾三角形的基本元素，以及学过的基本作图——作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角。学生思考后独立回答。对于两种基本尺规作图，找两名学生板演示范，其他学生在练习本上做。完成后，请学生试着叙述作法，教师规范学生的语言。 活动目的：通过学生处理身边经历过的事情，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的善于观察生活，并能从生活中提炼出数学模型的能力。同时对两个基本尺规作图的复习是为后面的学习做铺垫。自然引出本节课的主要研究内容“如何利用尺规作一个三角形与已知三角形全等呢？” 第二环节作三角形 活动内容：师生共同探索、研究、交流、经历利用尺规作三角形，学生用自己的语言表述作图的过程。本环节学生要按要求完成三个尺规作三角形的内容：（1）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形； （2）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形；
（3）已知三角形的三边，求作这个三角形。 首先，学生在教师的引导下分析、交流作三角形时作边与角的先后顺序，再作所求的三角形。 第一个作图教师给出作法，并演示作图过程，让学生进行模仿操作； 第二个作图只给出作法，不演示，让学生根据已知步骤独立作出图形； 第三个作图让学生自己探索作法，并独立作出图形。 学生在每个作图完成后，进一步思考“还有没有其他的作法？”，思考后进行操作，尝试表述作图过程，并组织全班进行交流。再提出“大家画出的三角形是否全等”的问题供学生讨论。 活动目的：本环节通过分析——操作——再分析的形式培养学生分析和解决问题的能力。学生通过经历从模仿、独立完成作图、到探索作图的过程，巩固尺规作图的技能，循序渐进的会书写“已知、求作和作法”。在完成三个作图后，都鼓励学生比较各自所作的三角形，利用重合等直观方式观察所作出的三角形是否全等。在此基础上，还引导学生利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作出的三角形一定是全等的，即说明作法的合理性。这实际上体现了只管操作与推理的相结合，并从中也使学生意识到这两种方法的不同。 第三环节合作分享 活动内容：以4人合作小组为单位，根据问题开展活动。 问题（1）你都知道有哪些常用的作图语言可以用于描述作图过程（即作法）？ 问题（2）我们是如何分析作图题的？它的步骤是什么？ 活动目的：学生通过前一环节的实践操作，已经有了一定的作图经验。在此基础上提出这两个问题是为了让学生对刚刚的作图过程进行回顾、总结，培养学生善于思考，善于归纳数学方法的能力；并加强学生的语言表达能力。这一环节无论是对已完成的实践操作，还是下面的实战练习都起到至关重要的作用——承上启下。 第四环节基础练习 活动内容：1、你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？并写出作法。
用尺规作三角形_教案1
用尺规作三角形 【教学目标】 1．知识与技能：经历尺规作图实践操作过程，训练和提高学生的尺规作图的技能，能根据条件作出三角形。 2．过程与方法：能依据规范作图语言，作出相应的图形，在实践操作过程中，逐步规范作图语言。 3．情感与态度：通过与同伴交流作图过程和结果的合理性，体会对问题的说明要有理有据。 【教学过程】 第一环节情境引入 活动内容：首先提出“豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，你能帮他在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形吗？”的问题，自然地引发学生思考“如何作一个三角形与已有的三角形一样呢？”与此同时引导学生回顾三角形的基本元素，以及学过的基本作图——作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角。学生思考后独立回答。对于两种基本尺规作图，找两名学生板演示范，其他学生在练习本上做。完成后，请学生试着叙述作法，教师规范学生的语言。 活动目的：通过学生处理身边经历过的事情，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的善于观察生活，并能从生活中提炼出数学模型的能力。同时对两个基本尺规作图的复习是为后面的学习做铺垫。自然引出本节课的主要研究内容“如何利用尺规作一个三角形与已知三角形全等呢？” 第二环节作三角形 活动内容：师生共同探索、研究、交流、经历利用尺规作三角形，学生用自己的语言表述作图的过程。本环节学生要按要求完成三个尺规作三角形的内容： （1）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形；（豆豆所求助的三角形） （2）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形； （3）已知三角形的三边，求作这个三角形。 首先，学生在教师的引导下分析、交流作三角形时作边与角的先后顺序，再作所求的三角形。第一个作图教师给出作法，并演示作图过程，让学生进行模仿操作；第二个作图只给出作法，不演示，让学生根据已知步骤独立作出图形；第三个作图让学生自己探索作法，并
《用尺规作三角形》基础练习
4.4 用尺规作三角形 一、判断题 1.只要知道三角形的三个基本元素，就可以作出惟一的三角形.（） 2.用量角器作一个角等于已知角也是尺规作图的一种.（） 3.已知两边和一角一定能做出惟一的三角形.（） 4.作一个角等于已知角是尺规作图中的最常用的基本作图之一.（） 二、填空题 1.在几何里，把只用_________和_________画图的方法称为尺规作图. 2.完成下列作图语言：（1）作射线_________ （2）以点O为圆心，以OB为半径画弧，交射线_________于点B. （3）延长线段_________到_________，使_________=_________. （4）以_________为圆心，以_________为半径作弧，交_________于_________，交_________于_________. 三、选择题 1.尺规作图的画图工具是（） A.刻度尺、圆规 B.三角板和量角器 C.直尺和量角器 D.没有刻度的直尺和圆规 2.利用基本作图，不能作出惟一三角形的是（）
A.已知两边及其夹角 B.已知两角及夹边 C.已知两边及一边的对角 D.已知三边 3.已知三边作三角形，用到的基本作图是（） A.作一个角等于已知角 B.作已知直线的垂线 C.作一条线段等于已知线段 D.作一条线段等于已知线段的和 4.用尺规画直角的正确方法是（） A.用量角器 B.用三角板 C.平分平角 D.作两个锐角互余 5.作△ABC的高AD，中线AE，角平分线AF，三者中有可能画在△ABC外的是（） A.AD B.AE C.AF D.都有可能 四、用尺规作图 已知线段a及锐角α，求作：三角形ABC，使∠C=90°，∠B=∠α，BC=a. （1）（2）（3）作法： 1.作∠MCN=90°. 2.以_________为圆心，_________为半径，在CM上截取_________. 3.以_________为顶点，_________为一边作∠ABC=_________交CN于点A 连结AB，则△ABC即为所作的三角形.