小学六年级上册数学校本教材

目录：

1 分数的分拆（数与代数数学文化）

2 繁分数的计算（数与代数教材必要补充）

3 平移法求阴影面积（图形与几何数学转化思想）

4 行程问题之多次相遇问题（问题解决典型问题分析）

5 运用乘法分配律巧解圆周长问题（综合应用数形结合）

6 正方形和圆的面积问题（图形与几何数学文化）

7 特殊点法求阴影部分面积（图形与几何数学好玩）

8 趣味24点

1. 分数的拆分

我们已经学过分数的加法运算，反过来你能把一个分数拆成几个分数的和的形式吗？我们先看下面的例题：

怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们以()()111

6 =

+为例。

因为

115623235==???（扩分） 2323235235235+==+??????（拆开） 231130301510

=+=+（约分） 所以

()()

11161015=+ 通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤：

① 把16的分母写成质因数乘积的形式。即：11623=?

② 把123?的分子和分母同时乘以5，成为15

235

???的形式，这叫做扩分。

注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。 ③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即： 152323

235235235235

?+==+????????

④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。

【例1】填空：()()

111

14 =+

，并写出过程 【分析与解】

1119271111142727927927979296318

?===+=+=+????????? 事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只

要把分子、分母都乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。 【例2】把

11

12

分拆成三个不同的单位分数的和。 【分析与解】12的因数有1，2，3，4，6，12.其中1＋4＋6＝11；2＋3＋6＝11

∴2131121126411211++=++=

或2

1

4161126321211++=++=

【例3】先观察，找出规律。

11441311334121212124?===+=+? 11551411445202020205?=+=+=+? 11661511556303030306?===+=+? ……

由此可以得到：） （）

（） （） （1+=n （n 是自然数），也可以达到拆分的目的。

练习反馈

1、在下列各式的括号内填上适当的整数 ① ()()11128 =+ ② ()()()

111132 =++ 2、把24

13

分拆成三个分母为连续偶数的单位分数的和。

2.繁分数的化简与计算

同学们，你们知道什么叫做繁分数吗？

在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这样形式的分数，叫做繁分数。

繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数的主分数线（也叫主分线）。主分线比其他分数线要长一些，书写位置要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。如果一个繁分数的分子部分和分母部分又是繁分数，我们就把最长的那条主分线，叫做中主分线，依次向上为上一主分线，上二主分线……；依次向下叫下一主分线，下二主分线……；两端的叫末主分线。

如：

根据分数与除法的关系，分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。

什么叫做繁分数化简？

把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简。繁分数化简一般采用以下两种方法：

（1）先找出中主分线，确定出分母部分和分子部分，然后这两部分分别进行计算，每部分的计算结果，能约分的要约分，最后写成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出最后结果。

此题也可改写成分数除法的运算式，再进行计算。

（2）繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通过计算化为最简分数或整数。

繁分数的分子部分和分母部分，有时也出现是小数的情况，如果分子部分与分母部分都是小数，可依据分数的基本性质，把它们都化成整数，然后再进行计算。如果是分数和小数混合出现的形式，可按照分数、小数四则混合运算的方法进行处理。即：把小数化成分数，或把分数化成小数，再进行化简。

繁分数的运算基本法则

1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．

2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．

3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．

例1. 化简下面各题。

为了简便，分子、分母可同时计算。

例2. 化简下面的繁分数

把分子、分母部分同时扩大10000倍（小数点向右移动四位）

练习反馈

1.

3241611+-

2. 03.09.04

.021

496.0???

3.平移法求阴影面积

图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形，今天我们重点研究平移法求阴影部分面积。

【例 1】 求右图中阴影部分的面积．(π取3)

【解析】 看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求

出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手． 这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．

1413145113+-141

3

14511371271571271571215754+-==÷=?=

(法1)我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB 的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以AC 为直角边的等腰直角三角形，而AC 为四分之一圆的半径，所以有AC

=10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为1

1010502

??=，所以阴

影部分的面积为15050100-=(平方厘米)． 【例2】如图，阴影部分的面积是多少？

【解析】 首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如

何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积．则阴影部分面积(222)4(22)48++?-+?=

【例3】如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14)

【解析】 把中间正方形里面的4个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影

部分的面积等于四个正方形面积与四个90?的扇形的面积之和，所以， 221444441π14π7.14S S S S S =?+?=?+=?+?=+= 圆阴影圆

．

2

2

4

A

练习反馈：

1.计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．

2.在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为平方厘米．

4.行程问题之多次相遇问题

所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多次相遇问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．

【例1】甲、乙两车分别同时从A 、B 两地相对开出，第一次在离A 地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B 地25千米处相遇．求A 、B 两地间的距离是多少千米？

【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．

多次相遇与全程的关系

两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；

第2次相遇，共走3个全程；

第3次相遇，共走5个全程；

…………，………………；

【例2】甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间不断往返行驶，已知甲车速度是每小时30千米，乙车速度是每小时50千米，甲、乙两车第三次迎面相遇地点与第四次迎面相遇地点相距100千米。求A、B两地的距离。

【解析】甲、乙两车速度比为30：50=3：5，所以两车在相同时间内所行的路程比是3：5，求出第三次迎面相遇与第四次迎面相遇时，两车分别行了全程的几分之几。

解：第一次迎面相遇时，两车共行了一个单程，其中甲车占

303 30508

=

+

；

第三次迎面相遇时，两车共行了5个单程，甲车行了37

51

88

?=（个）单程；

第四次迎面相遇时，两车共行了7个单程，甲车行了35

72

88

?=（个）单程；

因为第三、四次迎面相遇地点相距751

1

882

+-=（个）单程，所以A、B两地相距

1

100200

2

÷=（千米）。

答：A、B两地的距离是200千米。

练习反馈

1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A 地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B 地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

2.甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的32

，两人相

遇后继续前进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回。已知两人第二次迎面相遇的地点距第一次迎面相遇的地点是300米，求A 、B 两地的距离。

5．运用乘法分配律巧解圆周长问题

在小学阶段中的很多图形问题看似比较复杂，题目中一般没有给出可以直接计算的条件。但如果结合所学过的运算定律思想，我们就可以去巧妙地解决。一般这样的图形问题都有一定的共性，或是一个共同的因数。关键在于找到共性或公因数，问题就会变得简单。 【例1】如图，两条小虫同时从A 地爬向B 地，第一条小虫沿大半圆爬行，第二条小虫沿三个小半圆爬行，哪条小虫先到达B 地，为什么？（两条小虫的爬行速度相同）

【例2】如图，点F为梯形ABCD中AB边上任意一点，求阴影部分的面积。

练习反馈：

1.沿地球赤道，给地球套一个呼啦圈，已知呼啦圈与赤道相距1米，求呼啦圈比赤道长多少米？

2.求阴影部分的周长（单位：分米）

6.正方形和圆的面积问题

提示：可以把正方形面积设为“1”

小知识

在犹太人看来，宇宙与生活是相依生

息。所谓“宇宙大法则”，它是以一个正方

形的内切圆关系计算出来的。假设一个正

方形面积是100，那么，它的内切圆面积

78.5，剩下的面积即21.5。以整数计算表

达，便是78:22。

空气中的气体比例中，氮气占78%，而氧气占22%。人体的比重中，也是由78%的水及22%的其他物质所构成的。这个78:22的数据，成为人力不可抗抿的宇宙大自然的法则，人类不能违背这种法则而生存发展，试想，如果空气中氮气占20%，人类将不能在这样的空气中生存下去；如果把人体的水份降至占60%，那定然会干枯而死。因此，犹太人认定78:22是个永恒的法则，世界上的一切事物都是按照78：22来进行排列和组合的。另外，犹太人已经洞察到，22%的人拥有78%的财富，而大多数人只得到少数的生活费。

7. 特殊点法求阴影部分面积

同学们，前面我们学习了平移法求阴影面积，感受到了转化的数学思想。其实，常用的求面积方法除了平移法还有：割补法、旋转法、对称法、找特殊点法等，今天我们继续来研究。 例1：在边长为6厘米的正方形内任取一点p ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与p 点连接,求阴影部分面积。

同学们，应用以前学过的知识，尝试做做吧，实在不会讨论讨论。

提示：可以把P 点移到A 点

例2、已知如图：B、C分别为半圆周上的三等分点，BC//AD，E 为直径上的任意一点，AD长24厘米，求阴影面积。

及时巩固

练习1：长方形ABCD中，E、F、G分别为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

练习2：已知梯形ABCO中，OC=BC=6cm，则阴影部分面积为多少平方厘米？

8. 巧算24点游戏

一副牌（52张）中，任意抽取4张可有1820种不同组合，其中有458个牌组算不出24点，如A、A、A、5。

“巧算24点”是一种数学游戏，正如象棋、围棋一样是一种人们喜闻乐见的娱乐运动。它始于何年何月已无从讲究，但它以自己独具的数学魅力和丰盛的内涵正逐渐被越来越多的人们所接收。这种游戏方式简略易学，能健脑益智，是一项极为有益的运动。

同学们已经进入到了六年级，我们的数域也拓展到了小数和分数，因此今天的内容不仅仅用到整数哟。

【例1】教师随机出题（板贴瓷牌）以组为单位抢答记分。

【例2】用以下四张牌算出24点。

① 3, 4, 6, 13

② 1, 5, 5, 5

③ 1，4, 5, 6

④ 3, 3, 8, 8

同学们试着算算，如果不会可以互相研究研究。

练习反馈

① 1,3,4，6

② 3,3,7,7