深圳市高三年级第二次调研考试
2016年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（文科）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数32i
1i
z -=
+对应的点所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】∵32i (32i)(1i)1i (1i)(1i)z ---=
=++-13
i 22=-， ∴复数32i 1i z -=+对应的点13
(,)22
-在第四象限．
2．设,A B 是两个集合，则“x A ∈”是“x A B ∈I ”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
3．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（）
A ．3
y x =B ．y =
．1y x =
D ．1()2
x y = 【答案】C
4．在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，77a =，则4a =（） A ．4B ．4-C ．5D ．5-
【答案】C
【解析】∵1060S =，77a =，
∴1110456067a d a d +=??+=?，13
23a d =???=??
，
∴4135a a d =+=．
5．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥B ．若l α⊥，l //m ，则m α⊥ C ．若m //α，m α?，则l //m D ．若l //α，m //α，则l //m 【答案】B 6．若直线3
x π
=是函数sin(2)y x ?=+（其中2
π
?<
）的图象的一条对称轴，则?的值为（）
A ．3π-
B ．6π-
C ．6π
D ．
3
π
【答案】B 【解析】∵2,3
2
k k Z π
π
?π?
+=+
∈，∴,6
k k Z π
?π=-
∈，∵2
π
?<
，∴6
π
?=-
．
7．如图所示的流程图中,若输入,,a b c 的值分别是2,4,5，则输出的x =（）
【答案】A
【解析】由题意可知a b c <<，
∴lg 2lg51x =+=．
8．将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为（ ） A ．
118B ．112C ．16D ．13
【答案】A
【解析】一颗骰子掷两次，共有36种．
满足条件的情况有(1,3),(2,6)，共2种， ∴所求的概率213618
P =
=． 9．在平面直角坐标系xOy 中，若,x y 满足约束条件240,10,0.x y x y y +-≤??
--≥??≥?
则z x y =+的最大值为（）
A ．
7
3
B ．1
C ．2
D ．4 【答案】A
10．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+u u u r u u u u r u u u r
，则λμ+=（）
A ．43
B ．53
C ．158
D ．2
【答案】B
【解析】∵AC AM BD λμ=+u u u r u u u u r u u u r
()()AB BM BA AD λμ=+++u u u r u u u u r u u u r u u u r
1()()2AB AD AB AD λμ=++-+u u u r u u u r u u u r u u u r
1()()2
AB AD λμλμ=-++u u u r u u u r
,
∴1112
λμλμ-=???+=??， 解得4313λμ?
=??
?=?
，53λμ+=． 11．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（） A ．
203
π
B ．8π
C ．9π
D ．193
π
【答案】D
B
M
C D
A
【解析】该几何体为三棱锥A BCD -, 设球心为O ，
12,O O 分别为BCD ?和ABD ?的外心，
依题意1OO AB =
=，
112O D CD ==
∴球的半径R ==
∴该几何体外接球的表面积为2
1943
S R π
π==
． 12．已知函数()g x 的图象与函数()ln()1f x x a =+-的图象关于原点对称，且两个图象恰有三个不同的交点，则实数a 的值为（） A ．
1
e
B ．1
C ．e
D ．2e 【答案】C
【解析】∵函数()g x 与()f x 的图象关于原点对称，∴()()g x f x =--．
∴()()f x f x =--有三个不同的零点．
∴(0)0f =，∴a e =或1a e
=
． 当a e =时，()y f x =--和()y f x =的图象如下：
有图象可知，a e =时，符合条件； 当1
a e
=
时，()y f x =--和()y f x =的图象如下：
O 2
O 1
O D
A B
有图象可知，1
a e
=
时，只有1个交点，不符合条件． 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分
13．已知点F 为抛物线E ：2
4y x =的焦点，点(2,)A m 在抛物线上，则AF = ． 【答案】3
【解析】02132p
AF x =+
=+=． 14．函数2
()3ln f x x x x =-+在x = 处取得极大值．
【答案】1
2
【解析】∵1
2(1)()12()23x x f x x x x
--'=-+=， 1(0,)2x ∈时，()0f x '>，1
(,1)2
x ∈时，()0f x '<，
∴函数2
()3ln f x x x x =-+在12
x =处取得极大值，
15．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则n S = 尺． 【答案】1
1
212n
n --
+ 【解析】依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，
∴前n 天大老鼠每天打洞的距离为
1(12)
2112
n n ?-=--， 同理：前n 天小老鼠每天打洞的距离为11
1[1()1221212
n
n -?-=--， ∴11112122122
n n
n n n S --=-+-=-+．
16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2
2
:(4)(3)4C x y -+-=，点A 、B 在圆C
上，且AB =，
则OA OB +u u u r u u u r
的最小值是 ．
【答案】8
【解析】设AB 的中点为D ，则1CE =．
延长CD 交圆C 于点E ，则D 为CE 的中点．
∵OA OB OC CA OC CB +=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2OC CE =+u u u r u u u r
设(42cos ,32sin )E θθ++，
∴(8,6)(2cos ,2sin )OA OB θθ+=+u u u r u u u r
(82cos ,62sin )θθ=++ ==
8==．
三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
在ABC ?中，点M 是BC 上的一点，3BM =，AC =45B ∠=o
，cos 10
BAM ∠=
． （1）求线段AM 的长度； （2）求线段MC 的长度．
【解析】（1）∵cos BAM ∠=
，(0,180)BAM ∠∈o o
， ∴sin BAM ∠==
． C
B
A
M
∵sin 2ABM ∠=
，3BM =，sin sin BM AM BAM B
=∠∠，
∴3sin sin BM B
AM BAM
?
?∠=
=
=∠ （2）cos cos()AMC BAM B ∠=∠+∠cos cos sin sin BAM B BAM B =∠∠-∠∠
cos cos sin sin BAM B BAM B =∠∠-∠
∠22=
-=
∵AC =222
2cos AC MC AM MC AM AMC =+-??∠，
∴222
2MC MC =+-? ∴2
650MC MC -+=， ∴1MC =，或5MC =．
18．（本小题满分12分）
2016年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会议第十二届全国委员会第四次会议，分别于2016年3月5日和3月3日在北京开幕。为了解哪些人更关注两会，某机构随抽取了年龄在1575:岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，其分组区间为：[15,25)，[25,35)，[35,45)，[55,65)，[65,75]．把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”，经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为9:11．
b
0.005
0.0100.
（1）求图中a 、b 的值根；
（2）若“青少年人”中有15人关注两会，根据已知条件完成下面的22?列联表，根据此统计结果能否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？
附：参考公式和临界值表：
2
2
()
n ad bc K -=，其中n a b c d =+++
【解析】（1）依频率分布直方图可知：
4510(0.03)100
5510(0.0100.0050.005)100b a ?+=????+++=
??
，解得0.0350.015a b =??=?． （2）依题意可知，“青少年人”共有100(0.0150.030)45+=人， “中老年人”共有1004555-=人， 完成完的22?列联表如下：
结合数据得
2
2
()()()()()n ad bc K a b a c b d c d -=++++2100(3035
2015)9.0915*******?-?=≈???，
∵2
( 6.635)0.01P K ≥=，9.091 6.635>，
∴有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会．
19．（本小题满分12分） 如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ABCD 为菱形，四边形ADEF 为矩形，M 、N 分别是EF 、
BC 的中点,2AB AF =，60CBA ∠=o ． （1）求证：DM ⊥平面MNA ；
（2）若三棱锥A DMN -，求点A 到平面DMN 的距离．
【解析】（1）证明：连接AC ，在菱形ABCD 中， ∵60CBA ∠=o
且AB AC =， ∴ABC ?为等边三角形．
∵N 是BC 的中点,
∴AN BC ⊥，AN
BC ⊥．
B C
D
A
E
F M
N
∵ABCD ⊥平面ADEF ,AN ?平面ADEF , ABCD I 平面ADEF AD =,
∴AN ⊥平面ABEF ．
∵DM ?平面ADEF ,∴AN DM ⊥．
∵矩形ADEF 中，2AD AF =,M 是的中点, ∴AMF ?为等腰直角三角形，∴45AMF ∠=o
，
同理可证45DME ∠=o
，∴90DAM ∠=o
，∴DM AM ⊥． ∵AM AN N =I ，AM ?平面MNA ，AN ?平面MNA ， ∴DM ⊥平面MNA ．
（2）设AF x =，则22AB AF x ==，
在Rt ABN ?中，2AB x =，BN x =，
60ABN ∠=o
，∴AN =．
∴2
122ADN S x ?=?=．
∵ABCD ⊥平面ADEF ,FA AD ⊥,
ABCD I 平面ADEF AD =,∴FA ⊥平面ABCD ． 设h 为点M 到平面ADN 的距离，则h FA x ==．
∴2
31133M ADN CDF V V h x x -?=?=?=
，
∵M ADN D AMN V V --==，∴1x =．
作AH MN ⊥交MN 于点H ．
∵DM ⊥平面MNA ，∴DM AH ⊥． ∴AH ⊥平面DMN ,
即AH 为求点A 到平面DMN 的距离，
∵在Rt MNA ?
中，MA =
，AN =，
∴AH =． ∴点A 到平面DMN
的距离为5
． 20．（本小题满分12分）
已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的上顶点P 在圆22
:(2)9C x y ++=上，且椭圆的离心率为（1）求椭圆E 的方程；
（2）若过圆C 的圆心是直线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，且1PA PB ?=u u u r u u u r
，求直线l 的方程．
【解析】（1）依题意，令0x =，
得22
0(2)9y ++=，解得1y =或5y =， ∴点P 的坐标为(0,1)，即1b =．
H
N M
F E
A
D
C
B
∵
c e a ==，∴2a =，
∴椭圆E ． （2）∵直线2)，
①当直线l 的斜率不存在时，不合题意； ②当直线l 的斜率存在时，
设直线l 的方程为2y kx =-，1122(,),(,)A x y B x y ． 由22
214
y kx x y =-???+=??，得22(1
4)16120k x kx +-+=，
∵2225648(14)0k k ?=-+>，∴2
k >1212
22
1612
,1414k x x x x k k +==++， ∵11222,2y kx y kx =-=-， ∴1212()4y y k x x +=+-，
212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =--=-++， ∴1122121212(,1)(,1)()1PA PB x y x y x x y y y y ?=-?-=+-++u u u r u u u r
2
34
>
， ∴直线l 的方程为2y =-或2y =-．
21．（本小题满分12分）
已知()cos (x
f x e a x e =+为自然对数的底数）．
处的切线过点(1,6)P ，求实数a 的值； ()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）∵()sin x
f x e a x =-，∴(0)1f '=．(0)1f a =+，
∴()f x 在0x =处的切线方程为1y x a =++， ∵切线过点(1,6)P ，∴62a =+，∴4a =．
（2）由()f x ax ≥，可得(cos )x
e a x x ≥-，（*） 令()cos g x x x =-
∴()1sin 0g x x '=+>，且(0)10g =-<，()02
2
g ππ
=
>，
∴存在(0,
)2
m π
∈,使得()0g m =，
当(0,)x m ∈时，()0g m <；当(,
)2
x m π
∈时，()0g m >．
①当x m =时，0m
e >，()cos 0g m m m =-=， 此时，对于任意a R ∈（*）式恒成立；
②当(,
]2
x m π
∈时，()cos 0g x x x =->，
由(cos )x
e a x x ≥-，得cos x
e a x x
≤-，
令()cos x
e h x x x
=-，下面研究()h x 的最小值．
∵2
(cos sin 1)
()(cos )x e x x x h x x x ---'=-与()cos sin 1t x x x x =---同号，
()1sin cos 0t x x x '=+->
∴函数()t x 在(,]2m π
上为增函数，而()2022
t =-<， ∴(,
]2
x m π
∈时，()0t x <，∴()0h x '<，
∴函数()h x 在(,
]2
m π上为减函数，∴2
min 2()()2e
h x h π
ππ==
，∴a ≤③当[0,)x m ∈时，()cos 0g x x x =-<， 由(cos )x
e a x x ≥-，得cos x
e a x x ≥-，
由②可知函数()cos x
e h x x x
=-在[0,)m 上为减函数，
当[0,)x m ∈时，max ()(0)1h x h ==-，∴1a ≥-，
综上，2
2[1,
]e a π
π
∈-．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 是O e 直径，C 在O e 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交O e 于E ，30AEC ∠=o
． 证明:（
1）AF FO =；
（2
）若CF =AD AE ?的值．
【解析】（1）证明：连接,OC AC ， ∵30AEC ∠=o
，∴60AOC ∠=o
．
∵OA OC =，∴AOC ?为等边三角形． ∵CF AB ⊥，
∴CF 为AOC ?中AO 边上的中线，即AF FO =． （2）连接BE ，
∵CF =
AOC ?为等边三角形,
∴1AF =，4AB =．
∵AB 是O e 直径，∴90AEB ∠=o
， ∴AEB AFD ∠=∠．
∵BAE DAF ∠=∠，∴AEB ?∽AFD ?， ∴
AD AF
AB AE
=
，即414AD AE AB AF ?=?=?=．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中，已知曲线C
的参数方程为2cos (x y θ
θθ
=???=??为参数），以坐标原点为极点，x 轴
F E
B
C
A
D O
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
过极坐标系内的两点)4A π
和(3,)2
B π
. （1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标系中的普通方程； （2）若P 是曲线C 上任意一点，求ABP ?面积的最小值.
【解析】（1）曲线C 的普通方程为22
143
x y +=， ∵(2,2)A ，(0,3)B ，
∴直线l 的方程为260x y +-=． （2
）由题意可设(2cos )P θθ，则 点P 到直线AB 的距离
d
==≥，
当sin()16
π
θ+
=时取得最小值，
∵AB =
∴ABP ?
面积的最小值为
112=．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b -≤的解集为{13}x x -≤≤. （1）求a ，b 的值；
（2）若()()0y a y b --<，求11
z y a b y
=+--的最小值. 【解析】（1）显然0b >，
∵x a b -≤，∴b x a b -≤-≤， ∴a b x a b -≤≤+，
∴13a b a b -=-??+=?
，解得1,2a b ==.
（2）由（1）知(1)(2)0y y --<，∴12y <<.
1112z y y =
+--11
()[(1)(2)]12y y y y =+-+--- 21
212y y y y
--=+
+--， ∵12y <<，∴10,20y y ->->，
∴24z ≥+=， 当且仅当
2112y y y y --=--，即3
2
y =时，等号成立， ∴当3
2
y =
时，z 取得最小值4.