东北三省三校高2020届第一次联合模拟考试-文科数学答案
一模文数参考答案
二、填空题
13.
3π14.),1(2
e 15.99
2-16.),1[+∞ 三、解答题
17.（本小题满分12分）
（I ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，
又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=，
(3)
分
因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =-．因为0B π<<，所以23
B π=． (6)
分
（II ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=， 所以22()(2)BA BC BD +=，又23
B π
=
，所以1222=-+ac c a 因为2a =，解方程0822=--c c ，得4c =．……………………12分 18. （本小题满分12分）
（1）设B A 1中点为M ，连M C EM 1,
1BAA ?中M 是B A 1中点，E 是AB 的中点，则1//AA EM 且121
AA EM =
， 棱柱中侧棱11//AA CC ，且D 是1CC 的中点，则11//AA DC 且112
1
AA DC =，
所以1//DC EM ，1DC EM =，所以M C DE 1//，
又?ED 平面11BA C 且?1MC 平面11BA C ，所以//DE 平面11BA C ………………4分 （2）F 在线段1CC 上，且12FC CF =，棱柱中311==BB CC ，所以2=CF
侧面11A ABB 中AB B A //11，且?AB 平面ABF ，?11B A 平面ABF ，所以//11B A 平面ABF ，
11,B A 到平面ABF 的距离相等.………………………………………………6分
在平面11B BCC 中作⊥H B 1直线BF 于H ①
⊥1BB 平面ABC 得⊥1BB AB ，又BC AB ⊥，所以⊥AB 平面11B BCC ，因为?H B 1平面11B BCC ，
所以⊥AB H B 1②，又①②及B BF AB = ，得⊥H B 1平面ABF ，
故线段H B 1长为点11,B A 到平面ABF 的距离.……………………………………………10分
BCF Rt ?中2,1==CF BC ，2
π
=∠C ，得5=BF
H B BF BC BB S FBB 112
1
211?=?=
?，得5531=H B ………………………………………12分 19. （本小题满分12分）
（1）由题意可得列联表：
……2分
22
100(45151030)100 3.0305545752533
K ??-?==≈???
由附表知：100.0)706.2(2
=>K P ，且706.2030.3>，所以有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”…………………………………………6分
（II ）40岁以上人数为55，,40岁以下为45，比例为11:9，抽取的20人中，40岁以下为9人， 其中有6人是认为可以完成的，记为a,b,c,d,e,f ，3人认为不能完成,记为A,B,C ， 从这9人中抽取2人共有：（a,b ），（a,c ），（a,d ），（a,e ），（a,f ），（a,A ），（a,B ），（a,C ），
（b,c ），（b,d ），（b,e ），（b,f ），（b,A ），（b,B ），（b,C ）， （c,d ），（c,e ），（c,f ），（c,A ），（c,B ），（c,C ）， （d,e ），（d,f ），（d,A ），（d,B ），（d,C ） （e,f ），（e,A ），（e,B ），（e,C ） （f,A ），（f,B ），（f,C ） （A,B ），（A,C ）
（B,C ）36个基本事件………………8分
设事件M ：从20人中抽取2位40岁以下的,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”.
事件M 共包括：（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,A ），（e,B ），（e,C ），（f,A ），（f,B ），（f,C ）18个基本事件，………………10分
2
13618)(=
=M P
所以从20人中抽取2位40岁以下的作深度调查,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”的概率为
2
1. ………………12分
20. （本小题满分12分） （1）设(),P x y ，
P 半径为R ，则11
,22
R x PF R =+=+，
所以点P 到直线1x =-的距离与到()1,0F 的距离相等，即1)1(22+=+-x y x 故点P 的轨迹方程C 为2
4y x =………………………………4分 （2）设直线t x my MN -=:
t y y m y y t m t mt y x
y t
x my 4,4),(1604442121222
-==++=??=--????=-=……………6分 21222122212121212121312231
11)41816()412()21)(21(4)21(21)21(21y y y y y y y y x x x x y y x x S S y
x S y x S +++=+++=++=????
???
?+=+=[]
2222
318)12()4
18816(44m t t t m t t S S ++=+++=?……………8分
)
()12()(16)2
1(41)21(41)21(21222222122
2212t m t t m t y y t S y y t S ++=++=-+=?-+=…
………10分
由31224S S S =得[]
22228)12()()12(m t t t m t ++=++，化简为t t 8)12(2=+所以0)12(2
=-t 即
2
1=
t 所以直线MN 经过??
? ??0,2
1……………………………………………………12分 21. （本小题满分12分）
（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()22
4322221x a x x x a x a f x x x x
-+---'=-+=……2分
令()0f x '=，得x a =；当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>； 所以，()f x 的单调减区间为()0,a ，单调增区间为(),a +∞．
……4分
（2）由（1）可知，函数()f x 的最小值()()1ln g a f a a a a a
==--
； 01
2)(,ln 1)(3
2<--=''-=
'a
a a g a a a g ，故)(a g '在),0(+∞单调递减， …………6分
又02ln 41
)2(,01)1(<-=
'>='g g ，
故存在)2,1(0∈a ，0ln 1)(020
0=-='a a a g ，2001ln a a = 0)(),,(;0)(),,0(00<'+∞∈>'∈∴a g a a a g a a ，故)(a g 在),0(0a 单调递增，在),(0+∞a 单调
递减
……………………………………………………8分
00020
0000000max 2
111ln )()(a a a a a a a a a a a g a g -=-?-=-
-== 0
00002
000)2)(1(212
a a a a a a a a -+=
--=--， ……………………10分
)2,1(0∈a ，所以
0)2)(1(000<-+a a a ，所以12