正弦定理和余弦定理

2021年新高考数学总复习第四章《三角函数、解三角形》

正弦定理和余弦定理

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理

内容(1)

a

sin A＝

b

sin B＝

c

sin C＝2R

(2)a2＝b2＋c2－2bc cos A；

b2＝c2＋a2－2ca cos B；

c2＝a2＋b2－2ab cos C 变形

(3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，

c＝2R sin C；

(4)sin A＝

a

2R，sin B＝

b

2R，sin C＝

c

2R；

(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(6)a sin B＝b sin A，

b sin C＝

c sin B，

a sin C＝c sin A

(7)cos A＝

b2＋c2－a2

2bc；cos B

＝

c2＋a2－b2

2ac；cos C＝

a2＋b2－c2

2ab

2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a＝b sin A b sin Ab

解的个数一解两解一解一解

3.三角形常用面积公式

(1)S＝

1

2a·h a(h a表示边a上的高)；

(2)S＝

1

2ab sin C＝

1

2ac sin B＝

1

2bc sin A；

(3)S＝

1

2r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

概念方法微思考

1．在△ABC 中，∠A >∠B 是否可推出sin A >sin B? 提示 在△ABC 中，由∠A >∠B 可推出sin A >sin B .

2．如图，在△ABC 中，有如下结论：b cos C ＋c cos B ＝a .试类比写出另外两个式子．

提示 a cos B ＋b cos A ＝c ； a cos C ＋c cos A ＝b .

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × ) (3)在△ABC 中，a

sin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C

.( √ )

(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ ) 题组二 教材改编

2．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为 ． 答案 等腰三角形或直角三角形

解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π

2

，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．

3．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为 ． 答案 2 3

解析 ∵23sin 60°＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，

∴AB ＝2，∴S △ABC ＝1

2×2×23＝2 3.

题组三 易错自纠

4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c

B ．直角三角形