安徽省六安市舒城县2019-2020学年高一上学期期末数学试题

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安徽省六安市舒城县2019-2020学年高一上学期期末数学试

题

试卷副标题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题)

请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题

1．已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则M N ?=（ ） A ．[0,1] B ．[0,1）

C ．(0,1 ]

D ．(0,1)

2．函数2lg(21)

()4

x f x x -=

-的定义域为（ ）

A ．1

()2

+∞，

B ．(2)+∞，

C ．1[2)(2)2

?+∞，

，

D ．1(2)(2)2

，

，?+∞ 3．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A ．3y x =

B ．sin y x =-

C ．1y x =+

D ．cos y x =-

4．把函数sin 26y x π??

=+

??

?

图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），再将图象向右平移

3π

个单位，得到函数()y g x =，那么3g π?? ???

的值为（ ） A ．1

2-

B ．

12

C D ． 5．若

sin cos sin cos θθ

θθ+-＝2，则sin θcos θ的值是( )

A ．－3

B ．3

C ．±3

D ．3

○…………订……※※订※※线※※内※※答※○…………订……6．若101a b c >><<，，则（ ） A ．c c a b <

B ．b a c c <

C ．log log b a c c <

D ．

log log c c b a < 7．函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ） A ．11,44??

-

????

B ．10,4

??????

C ．12,4

??-???

?

D ．11,4

??-???

?

8．已知()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[]0,1x ∈时，()41x

f x =-，则

()4.5f 的值为（ ）

A ．2

B ．1-

C ．12

-

D ．1

9．函数f (x )=

2

sin cos x x

x x

++在[—π，π]的图像大致为 A ．

B ．

C ．

D ．

10．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（

2

π

,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④

B ．②④

C ．①④

D ．①③

11．同时具备以下性质：“①最小周期是π；②图象关于直线3x π

=

对称；③在,63ππ??

-????

上是增函数；④一个对称中心为,012π??

???

”的一个函数是（ ） A ．sin 26x y π??=+ ??? B ．sin 23y x π??=+ ?

?

? C ．sin 26y x π??=- ???

D ．sin 23y x π?

?

=-

??

?

12．定义域为R 的函数()lg 3,3,3,3,

x x f x x ?-≠=?

=?若函数()()()2

F x f x b f x c

=+?+????有且只有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，则()123ln x x x ++的值为（ ） A ．6

B ．ln 6

C ．3ln2

D ．2ln3

13．函数()lg f x x =的零点是（ ） A ．()1,0 B ．()1,0和(

)1,0-

C ．1

D ．1和1-

14．若不等式()()1214lg 1lg44

x x

a x ++-≥-对任意的(],1x ∞∈-恒成立,则实数a

的取值范围是 A ．(-∞,0]

B ．(-∞,

3

4

] C ．[0,＋∞) D ．[

3

4

,＋∞) 15．函数()log (6)a f x ax =-在(0,3]为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)

C ．(1,2]

D ．[2,)+∞

第II 卷（非选择题)

请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题

16．函数y =tan （

2+4），x ∈（0，6

π]的值域是______． 17．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()2

2f x x x =-，则()2f =______. 18．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足()1213f x f ??

-< ???

的x 取值范围是______.

19．已知函数()()14

cos ,2log 30,441x f x x x x π??=?-+>≤≤??，若实数,,a b c 互不相等，且满足()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是_________.

20．已知函数()()21,0

,0

x x f x g x x ?+>?=?≤??为奇函数，则()g x =______.

…………○…………装……※※请※※不※※要※※在…………○…………装……21．已知角α终边上的一点()5,12P m m -，（0m >）.

（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα??

+-- ???

????-+ ? ?????

的值；

（2）求22sin cos cos ααα+-的值. 22．已知幂函数2

242

()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．

（1）求m 的值；

（2）当[1,2]x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A ?=，求实数

k 的取值范围．

23．已知函数()22log f x x =+，[]1,4x ∈. （1）求函数()f x 的值域；

（2）设()()()2

2g x f x f x a =--????，若()g x 的图像恒在x 轴上方，求a 的范围. 24．已知函数()()sin f x A x =+ω?（0A >，0>ω，2

π

?<）的部分图象如下图

所示.

（1）求()f x 的解析式；

（2）求函数()y f x =在[]0,π的单调减区间.

25．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继

续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)

y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mt

y c ??= ???

（c ，m 为常数）。 （1）求c ，m 的值；

（2）若地下车库中一氧化碳浓度不高于0.5L /L μ为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

26．2018年1月8日，中共中央?国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量

x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x t

y -??= ?

??

测得数据如下表（部分）：

（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；

（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.

27．设函数()()21x x

a t f x a

--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数. （1）求t 的值；

（2）若()10f >，求使不等式(

)()2

10f kx x f x -+-<对一切x ∈R 恒成立的实数k

的取值范围；

（3）若函数()f x 的图象过点31,2

??

???

，是否存在正数m （1m ≠），使函数

()()22log x x

m g x a a mf x -??=+-??在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若

不存在，请说明理由. 28．已知()1log 1a

x

f x x

-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果

存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；

（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围.

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：由{|0,}[0,)M x x x R =≥∈=+∞，

，所以

[0,1)M N ?=，

故选B.

考点：集合间的运算. 2．D 【解析】 ∵()()2

lg 214

x f x x -=

-

∴2210{40

x x ->-≠

∴1

2

x >

且2x ≠ ∴函数()()2lg 214

x f x x -=-的定义域为1(,2)(2,)2

+∞U

故选D 3．C 【解析】 【分析】

利用偶函数的定义和增函数的特征可求. 【详解】

因为函数是偶函数，所以可以排除选项A,B ；

结合余弦函数的性质可知cos y x =-在()0,∞+上显然不是递增的，而1y x =+在

()0,∞+上是递增的；

故选：C. 【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性，奇偶性的判定一般是利用定义法，侧重考查数学抽象的核心素养. 4．B 【解析】 【分析】

先根据图象变换求出()y g x =，然后代入可得3g π??

???

的值. 【详解】

把函数sin 26y x π??

=+

???

图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，得到的函数图象对应的解析式为sin 46y x π??

=+

??

?

， 再将图象向右平移3π

个单位，得到7()sin 46g x x π??=- ??

?，所以1()sin 362

g ππ??== ???. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查三角函数的图象变换，进行图象变换时，要关注x 的系数对结果的影响，侧重考查逻辑推理的核心素养. 5．B 【解析】 【分析】

根据同角三角函数的基本关系式，求得tan 3θ=，再化简2tan sin cos tan 1

θ

θθθ=+，代入即

可求解，得到答案. 【详解】

根据同角三角函数的基本关系式，可得sin cos tan 1

2sin cos tan 1

θθθθθθ++==--，解得tan 3θ=，

所以222sin cos tan 3

sin cos sin cos tan 110

θθθθθθθθ===++，故选B.

【点睛】

本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系式化简、求值问题，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式合理化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基

础题. 6．C 【解析】 【分析】

根据指数函数、对数函数和幂函数的图像与性质,结合单调性及特殊值即可判定选项. 【详解】

因为101a b c >><<， 对于A,当1

=3=2=

2

a b c ，，时, 112232>所以A 错误; 对于B,当01c <<时, x

y c =为单调递减函数,所以1a b >>时b a c c >,所以B 错误;

对于C,由换底公式可知log log log a b a c

c b

=

,当101a b c >><<，时log 0a c <,0log 1a b << 所以

log log log a a a c

c b

<,即log log b a c c <,所以C 正确; 对于D,因为01c <<,所以log c y x =单调递减,而1a b >>,所以log log c c b a >,所以D 错误.

综上可知,C 为正确选项. 故选C 【点睛】

本题考查指数函数、对数函数和幂函数的图像与性质的综合应用,函数值大小比较,属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】

根据条件2

2

11sin sin sin 24y x x x ??=-+=--+ ??

?，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域． 【详解】

2

22111sin sin 1sin sin sin 24y x x x x x ?

?=-+-=-+=--+ ??

?，[]sin 1,1x ∈-，

当1

sin 2x =

时，函数y 取得最大值为14

，当sin 1x =-时，函数y 取得最大值为2-， 所以函数的值域为12,4?

?-???

?

，故选C

【点睛】

本题考查函数的值域，解题的关键是通过三角恒等式将函数变形为

2

2

11sin sin sin 24y x x x ?

?=-+=--+ ??

?，属于一般题．

8．D 【解析】 【分析】

先利用函数的周期转化，()()4.50.5f f =，代入即可. 【详解】

因为()f x 的周期为2，所以()()4.50.5f f =； 又因为当[]0,1x ∈时，()41x

f x =-，

所以()()0.5

4.50.5411f f ==-=.

故选：D. 【点睛】

本题主要考查函数的周期性，求解的关键是利用周期把目标值转化为已知区间内，然后结合所给解析式求解，侧重考查数学抽象的核心素养. 9．D 【解析】 【分析】

先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】

由22

sin()()sin ()()cos()()cos x x x x

f x f x x x x x

-+----=

==--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2

()

2

f π

π

πππ+

+=

=>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】

本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 10．C 【解析】 【分析】

化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】

()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当

2x π

π<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π??

π ???单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，

它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当

[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，

()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所

述，①④ 正确，故选C ． 【点睛】

画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．

11．

C

【解析】

由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A ；②图象关于直线x=

3

π

对称；可得：23π+φ=2

k π

π+，k ∈Z ．对于D 选项：φ=﹣

3

π

，不满足，排除D ； ④一个对称中心为012π??

???

，”带入函数y 中，B 选项不满足．排除B ；故选C ． 12．D 【解析】 【分析】

作出函数()f x 的图象，结合()()()2

F x f x b f x c =+?+????的零点可得1x +2x +3x ，然后可求()123ln x x x ++的值. 【详解】

如图，作出函数()f x 的图象，

因为()()()2

F x f x b f x c =+?+????有且只有3个不同的零点， 所以只有()3f x =时符合题意，结合图象对称性可知1239x x x ++=； 所以()123ln ln92ln3x x x ++==. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查函数的对称性，数形结合是求解的常用方法，侧重考查直观想象的核心素养. 13．D 【解析】 【分析】

令()0f x =，求出x 的值，然后可得零点. 【详解】

令()lg 0f x x ==得1x =±，所以函数()lg f x x =的零点是1和1-. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查函数零点的求解，函数零点一般是利用解方程的方法求得，注意零点是实数，不是点.侧重考查数学运算的核心素养. 14．B 【解析】 由12(1)4

lg

(1)lg 44

x x

a x ++-≥-，

得(1)

12(1)4lg lg 44x x x a -++-≥，即12(1)44lg lg

44

x x x a ++-≥ 所以12(1)44x x x

a ++-≥，124x x a +≥?

即11()()42

x

x

a ≤+对任意的(]

,1x ∈-∞恒成立．

设11()()()42

x x f x =+，(]

,1x ∈-∞，由1()4x

y =与1()2

x

y =都是

(],1-∞上的减函数，则()f x 为减函数

故()()min 314f x f ==

，∴3

4

a ≤，故选B ． 【方法点晴】本题主要考查指数与对数的运算法则以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值

()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得a 的最大值.

15．B 【解析】 【分析】

由对数定义可知0a >且1a ≠，根据复合函数单调性可知1a >，由对数定义域要求可得：

630a ->，从而解不等式求得结果.

【详解】

由题意得：0a >且1a ≠

6y ax ∴=-为(]0,3上的减函数

若()f x 在(]0,3上为减函数，则1

630a a >??->?

，解得：()1,2a ∈

故选：B 【点睛】

本题考查根据复合函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.

16．(

【解析】 【分析】

根据(0x ∈，]6π

，求解24

x π+的范围，结合正切函数的性质可得值域；

【详解】

解：由(0x ∈，]6π

，(244x ππ∴+∈，]3

π

结合正切函数的性质可得：1y <…．

故答案为(1． 【点睛】

本题考查了与正切函数有关的值域求法，是基础题． 17．8- 【解析】 【分析】

根据所给解析式可求()2f -，结合函数是奇函数可得()2f .

【详解】

因为当0x <时，()2

2f x x x =-，

所以()()()2

22228f -=---=，

又()f x 是奇函数，所以()()228f f =--=-. 故答案为：8-. 【点睛】

本题主要考查利用奇偶性求值，把所求转化为已知区间内是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 18．

12

33

x << 【解析】 【分析】

利用偶函数可得图象关于y 轴对称，结合单调性把()1213f x f ??

-< ???转化为1213

x -<求解. 【详解】

()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴=，

∴不等式等价为()1213f

x f ??

-< ???

，

()f x Q 在区间[)0,+∞单调递增，

1213x ∴-<

，解得1233x <<. 故答案为：12

33

x <<.

【点睛】

本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养. 19．(8,23) 【解析】 【分析】

研究函数的单调性，确定,,a b c 的关系及范围． 【详解】

由题意函数()f x 在[0,2]上递减，[2,4]上递增，(4,)+∞上递减，作出图像，如图． 设()()()f a f b f c m ===，则11m -<<，不妨设a b c <<，

4a b +=，由14

log (3)11x -+=-，得19x =，所以419c <<，所以823a b c <++<.

故答案为：(8,23)． 【点睛】

本题考查方程根的分布与函数零点问题．解题方法是数形结合思想．作出函数图象，得出函数性质，,,a b c 看作是直线y a =与函数()y f x =的交点横坐标，性质易得． 20．()2

0,0

1,0x g x x x =?=?--

【解析】 【分析】

利用0x >时的函数解析式求解0x ≤时的解析式. 【详解】

因为函数()()21,0

,0

x x f x g x x ?+>?=?≤??为奇函数，所以(0)(0)0f g ==；

设0x <时，则0x ->，

()2

2()11f x x x -=-+=+；

又函数()()21,0

,0x x f x g x x ?+>?=?≤??

为奇函数，

所以2

()()()1f x g x f x x ==--=--.

综上可得()2

0,01,0x g x x x =?=?--

. 故答案为：()2

0,0

1,0

x g x x x =?=?--

本题主要考查利用奇偶性求解函数的解析式，把所求区间转化为已知区间是求解的关键，侧重考查转化思想. 21．（1）125

-（2）253169

【解析】 【分析】

（1）先求tan α，把所求式子化简，转化为含有tan α的式子求解； （2）构造齐次分式，同除2cos α，转化为含有tan α的式子求解. 【详解】

（1）依题意有12

tan 5α=-

，原式sin sin tan sin 125

cos ααααα-?=

==--. （2）原式2222

sin cos cos tan 1253

22sin cos tan 19

16ααααααα--=+=+=++ 【点睛】

本题主要考查同角基本关系及诱导公式，已知正切值求解时，注意齐次式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养. 22．（1）0m =；（2）[]0,1. 【解析】 【分析】

（1）由幂函数的系数为1，得出()2

11m -=，求出m 的值，并将m 的值代入函数()

y f x =的解析式，结合条件函数()y f x =在()0,∞+上单调递增得出m 的值；

（2）利用两个函数在区间[]1,2上的单调性得出A 、B ，再由A B A ?=，得出B A ?，于此得出关于k 的不等式组，解出即可得出实数k 的取值范围. 【详解】

（1）依题意得：()2

11m -=，解得0m =或2m =．

当2m =时，()2

f x x -=在()0,∞+上单调递减，与题设矛盾，故舍去，0m ∴=；

（2）由（1）知，()2f x x =，当[]

1,2x ∈时，()f x 、()g x 单调递增，

[]1,4A ∴=，[]2,4B k k =--，A B A =Q U ，B A ∴?，21

0144k k k -≥?∴?≤≤?

-≤?

， 故实数k 的范围[]0,1． 【点睛】

本题考查幂函数概念和基本性质，考查集合的包含关系，在求解函数的值域问题时，要考查结合函数的单调性求出函数的值域，本题的关键在于由集合的并集运算得出集合间的包含关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 23．（1）[]

2,4；（2）0a <. 【解析】 【分析】

（1）利用函数的单调性及x 的范围可求值域；

（2）利用换元法把目标函数转化为二次函数，结合恒成立求解方法可得a 的范围. 【详解】

（1）因为()22log f x x =+是增函数，

所以1x =时，()f x 取到最小值2(1)2log 12f =+=；

4x =时，()f x 取到最小值2(4)2log 44f =+=；

故函数()f x 的值域为[2,4].

（2）设()[2,4]t f x =∈，则2

()2g t t t a =--；

因为()g x 的图像恒在x 轴上方， 所以()0g t >在[2,4]t ∈时恒成立；

因为[2,4]t ∈时，()g t 单调递增，2

()222g t a a ≥-?-=-， 所以0a ->，即0a <.

【点睛】

本题主要考查函数的值域及恒成立问题，恒成立问题一般是转化为函数的最值问题求解，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养. 24．（1）()2sin 32f x x π?

?

=+ ??

?

；

（2）7,1212ππ??

???

? 【解析】 【分析】

（1）根据图象提供的信息可以求得,,A ω?,从而可得()f x 的解析式；

（2）先根据函数的解析式求出()f x 的减区间，然后对k 赋值可得[]0,π的单调减区间. 【详解】

（1）由图可知2A =，且

243124T πππ

ω

=-=，所以2ω=，所以()()2sin 2x x f ?=+，将点,212π??

???代入解析式可得sin 16π???+= ???

，所以262k ππ?π+=+，又2π?<，所以

3π

?=，即()2sin 32f x x π?

?=+ ??

?.

（2）令

32222

3

2k x k π

π

πππ+≤+

≤

+，k Z ∈得71212

k x k ππππ+≤≤+， 所以函数()y f x =在[]0,π的单调减区间为7,1212ππ??

????

. 【点睛】

本题主要考查三角函数的解析式的求解及单调区间的求法，利用图象提供的最值、周期及点的坐标，可以求得解析式，单调区间的求解一般是利用整体代换的方法进行求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 25．（1）1

1284

c m ==，（2）32min 【解析】 【分析】

(1)将4,64t y ==和8,32t y ==分别代入12mt

y c ??= ???

,列方程组可解得1128,4c m ==,从而可得.

(2) 由(1)知1

411282??=? ???t y ,然后利用指数函数的单调性解不等式14

11280.52t ??? ?

??

?即可得

到. 【详解】

(1)由题意，可得方程组4816421322m

m

c c ???=? ????????= ?????

，解得128

14c m =??

?=??． (2)由(1)知1

4

11282??=? ???

t y ．

由题意，可得 14

11280.52t ??? ?

??

?，

即 1

8

4

1122t ???? ? ?????

?，即

184t …，解得32≥t ． 所以至少排气 32min ，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态。 【点睛】

本题考查了指数型函数的解析式的求法以及利用指数函数的单调性解指数不等式,属于基础题.

26．（1）()2

7

12,0641,63x x x x f x x -?-+≤

=????

≥ ????

?（2）4x = 【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】

（1）当06x ≤<时，由题意，设()2

f x ax bx c =++（0a ≠），