2018年高考理科数学北京卷-答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学答案解析 一、选择题

1．【答案】A 【解析】{}|22A x x =-<<，{}2,0,1,2-，则{}0,1A B ?=．

【考点】集合的交集运算．

2．【答案】D

【解析】()()()211111111122i i i i i i i π++===+--+-，所以其共轭复数为1122i -，在复平面内对应点为1122??- ???

，，位于第四象限．

【考点】复数的四则运算与共轭复数的概念．

3．【答案】B 【解析】1k =，1s =，()11111112s =+-?=+，2k =，不满足3k ≥，继续循环()211512126s =+-?=+，3k =，满足3k ≥，循环结束，输出56s =

． 【考点】算法的循环结构．

4．【答案】D

【解析】根据题意可以知单音的频率形成一个等比的数列，其首项为f

率为7f =．

【考点】数学文化与等比数列．

5．【答案】C

【解析】根据三视图可以还原该几何体为正方体中的一个四棱锥1D APCD -，其中P 为AB 的中点，所以四棱锥1D APCD -中的侧面为直角三角形的有1D CD V ，1D AD V ，1D AP V ，共三个．

【考点】三视图．

6．【答案】C 【解析】2222223369962320a b a b a a b b a a b b a a b b -=+?-?+=+?+?+?-=，因为a ，b 均为单位向量，所以221a b ==，所以2223200a a b b a b a b +?-=??=?⊥，所以“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件．

【考点】充分必要条件的判断与平面向量的数量积运算．

7．【答案】C

【解析】根据点()cos ,sin P θθ可知，P 为坐标原点为圆心，半径为1的单位圆上的点，所以d 的最大值为圆心()0,0到直线的距离再加上一个半径1，所以

13d =≤．

【考点】直线与圆的位置关系及圆的参数方程．

8．【答案】D

【解析】当2a =时，(){},|1,24,22A x y x y x y x y =

-≥+>-≤，将()2,1代入满足不等式组，所以排除B ；当12a =

时，()11,|1,4,222A x y x y x y x y ??=-≥+>-≤????，将()2,1代入满足不等式142x y +>，所以排除A ，C ．

【考点】不等式组表示的平面区域．

二、填空题

9．【答案】63n a n =-

【解析】251636a a a a +=+=，因为13a =，所以633a =，所以615306d a a d =-=?=，所以()()1136163n a a n d n n =+-=+-=-．

【考点】等差数列．

10．【答案】【解析】直线方程为0x y a +-=，圆的方程为()2

2222011x y x x y +-=?-+=，根据直线与圆相切有

111a a =?-==+0a >）

． 【考点】直线与圆的位置关系以及极坐标方程与普通方程的互化．

11．【答案】23

【解析】根据题意有当4x π=时，函数取得最大值1，所以cos 124

646k ππππωωπ??-=?-= ???，283k Z k ω∈?=+，k Z ∈，因为0ω>，所以ω的最小值为23

． 【考点】三角函数图象与性质．

12．【答案】3

【解析】不等式组1,2y x y x

≥+??≤?表示的区域为如图所示的阴影部分，设2z y x =-，则122z y x =+，所以2z 的几何意义为直线的众截距，1,1,22,

y x x y x y ≥+=?????≤=??所以当直线过点()1,2A 时，取得最小值，所以

min 2213z =?-=．

【考点】线性规划问题．

13．【答案】()sin f x x =（答案不唯一）

【解析】本题为一个开放性题目，可以构造出许多函数，只需要()()0f x f >都成立即可，最常见的可以用分段函数，即一部分先为增函数，后一部分为减函数，确保()()0f x f >即可，如()sin f x x =．

【考点】函数单调性的判断与应用．

14．1 2

【解析】如图所示，双曲线的渐近线与椭圆的交点分别为A ，B ，C ，D ，则根据题意有

22AB CD BF OF c ====，1BF =，所在椭圆中，有)

1212BF BF c a +==，所以椭圆的离心率

11c e a ==．根据双曲线渐近线n y x m =±，即有tan60n m =?=所以223n m =，所以双曲线的离心率222

2

2

2214m n n e m m +==+=，故22e =．

【考点】直线与椭圆、双曲线的位置关系．

15．【答案】（1）在ABC V 中，因为1cos 7

B =-，所以sin B =．由正弦定理得

sin sin a B A b =2B ππ<∠<，所以02A π<∠<．所以=3

A π∠．

（2）在ABC V 中，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=

，所以AC 边上的高

sin 7h a C ==． 【考点】解三角形问题．

16．【答案】在三棱柱111-ABC A B C 中，因为1CC ⊥平面ABC ，所以四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点，所以AC EF ⊥．因为AB BC =，所以AC BE ⊥．所以AC ⊥平面BEF ．

（2）由（1）知AC EF ⊥，AC BE ⊥，1EF CC P ．

又1CC ⊥平面ABC ，

所以EF ⊥平面ABC ．

因为BE ?平面ABC ，

所以EF BE ⊥．

如图建立空间直角坐标系-E xyz ．由题意得点()0,2,0B ，()1,0,0C -，()1,0,1D ，()0,0,2F ，()0,2,1G ．

所以()()1,2,0,1,2,1BC BD =--=-u u u r u u u r ．

设平面BCD 的法向量为()000,,n x y z =，则0,0,n BC n BD ??=???=??u u u r u u u r 即000

0020,20.x y x y z +=??-+=? 令01y =-，则002, 4.x z ==-

于是()2,1,4n =--．

又因为平面1CC D 的法向量()0,2,0EB =u u u r ，

所以cos ,n EB n EB n EB

?==u u u r u u u r u u u r 由题知二面角1B CD C --

为钝角，所以其余弦值为21

（3）由（2）知平面BCD 的法向量为()2,1,4n =--，()0,2,1FG =-u u u r ．

因为()()()20124120n FG ?=?+-?+-?-=≠u u u r ， 所以直线FG 与平面BCD 相交．

【考点】空间线面位置关系的判断与证明．

17．【答案】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，

第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50?． 故所求概率为50=0.0252000

． （2）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B

为“从第五类电影中随机选出的电

影获得好评” ． 故所求概率为()()()

()()()()()()11P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=-+-． 由题意知()P A 估计为0.25，()P B 估计为0.2．

故所求概率估计为0.250.8+0.750.2=0.35??．

（3）由题意知k ξ服从0—1分布，()()11,2,,6k k k D P P k ξ=-=L ，其中k P 为第k 类电影得到人们喜欢的概率也就是好评率，由计算得，142536D D D D D D ξξξξξξ>>=>>．

【考点】相互独立事件概率的求解以及方差的求解．

18．【答案】（1）因为()()24143x f x ax a x a e ??=-+++??， 所以()()2212x f x ax a x e '??=-++??．

()()11f a e '=-．

由题设知()1=0f '，即()1=0a e -，解得1a =．

此时()130f e =≠．

所以a 的值为1．

（2）由（1）得()()()()2212=12x x f x ax a x e ax x e '??=-++--??

． 若12a >，则当1,2x a ??∈ ???

时，()0f x '<； 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>．

所以()f x 在2x =处取得极小值． 若12

a ≤，则当()0,2x ∈时，120,1102x ax x -<-≤-<， 所以()0f x '>．

所以2不是()f x 的极小值点．

综上可知，a 的取值范围是1+2??∞ ???

，． 【考点】导数在研究函数问题中的应用．

19．【答案】（1）因为抛物线22y px =过点()1,2，

所以24p =，即2p =．

故抛物线C 的方程为24y x =．

由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．

设直线l 的方程为()10y kx k =+≠．

由24,1

y x y kx ?=?=+?得()222410k x k x +-+=．

依题意()22=24410k k ?--??>，解得0k <或01k <<．

又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点()1,2-．

从而3k ≠-．

所以直线l 斜率的取值范围是()()(),33,00,1-∞-?-?．

（2）设点()()1122,,,A x y B x y ．

由（1）知121222

241,k x x x x k k -+=-=． 直线PA 的方程为()112211

y y x x --=--． 令0x =，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=

+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121

N kx y x -+=+-． 由QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r 得1,1M N y y λμ=-=-． 所以()()()2212121212122

224211111111+=21111111

M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=?=?=------． 所以1

1

+λμ为定值．

【考点】直线与抛物线的位置关系．

20．【答案】（1）因为()=1,1,0α，()=0,1,1β，

所以()()()()1,11111111000022M αα??=+--++--++--=?

?， ()()()()1,10101111010112

M αβ??=+--++--++--=??． （2）设()1234=,,,x x x x B α∈，则()1234,M x x x x αα=+++．

由题意知{}1234,,,0,1x x x x ∈，且(),M αα为奇数，

所以1234,,,x x x x 中1的个数为1或3．所以

()()()()()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0B ?． 将上述集合中的元素分成如下四组：

()()1,0,0,0,1,1,1,0；()()0,1,0,0,1,1,0,1；()()0,0,1,0,1,0,1,1；()()0,0,0,1,0,1,1,1． 经验证，对于每组中两个元素,αβ，均有(),=1M αβ．

所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．

所以集合B 中元素的个数不超过为4．

又集合()()()(){}

1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4．

（3）设()(){}()1212121,,,|,,,,1,01,2,,k n n k k S x x x x x x A x x x x k n -=∈======L L L L ， (){}11212,,,|0n n n

S x x x x x x +=====L L ， 则121n A S S S +=???L ．

对于()1,2,,1k S k n =-L 中的不同元素α，β，经验证，(),1M αβ≥． 所以()1,2,,1k S k n =-L 中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以B 中元素的个数不超过1n +．

取()12,,,k n k e x x x S =∈L 且()101,2,,1k n x x k n +====-L L ． 令{}1211,,,n n n B e e e S S -+=??L ，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件． 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．

【考点】新定义问题与集合中元素与集合、集合与集合的关系问题．