华中师大《复变函数》综合测试题及答案
《复变函数》综合测试题及答案
一、选择题（单选题）
1、（容易）复数z i =的幅角主值为（ ） （A ）
3π （B ）3π- （C ）6π- （D ）6
π
2、（中等）复数1cos sin ,0z i θθθπ=-+≤≤的模为（ ） （A ）2sin
2
θ （B ）2sin
2
θ
- （C ）22cos θ- （D ）2cos 2θ-
3、（容易）设
z =
，则z 的指数表示为（ ） （A ）cos
sin
4
4z i π
π
=+ （B ）4
i z e
π?
= （C ）cos
sin
44
z i π
π
=- （D ）4
i z e
π-?
=
4、（中等）若ω是方程3
10z -=的一个非零复数根，则21ωω++=（ ）
（A ）0 （B ）i （C ）2
ω （D ）ω-
5、（容易）函数()f z z =在z 平面上（ ）
（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 6、（容易）满足11z z -=+的点z 所组成的点集为（ ）
（A ）Im 0z = （B ）Re 0z = （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 7、（容易）函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（ ）
（A ）
,,,u u v v
x y x y
????????都在D 内连续 （B ）在D 内
,u v u v x y y x
????==-???? （C ）
,,,u u v v x y x y ????????都在D 内存在，且,u v u v x y y x ????==-???? （D ）
,,,u u v v x y x y ????????都在D 内连续，且,u v u v x y y x
????==-???? 8、（容易）
1
(0)()
n
z a dz z a ρ
ρ-=>-?
的值为（ ） （A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π
9、（容易）
1
z
z e dz z
==?
（ ） （A ）0 （B ）
2
π
（C ）2i π （D ）(2)(0,1,2,)k i k π+=L 10、（容易）()f z 在复平面上解析且有界，则()f z 在平面上为（ ） （A ）0 （B ）常数 （C ）z （D ）()n
z n N ∈ 11、（容易）复级数1n n z ∞
=∑收敛的必要条件是（ ）
（A ）对一切n ，0n z = （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0k
n z =
（C ）lim 0n n z →∞
≠ （D ）lim 0n n z →∞
=
12、（容易）幂级数11n n n z n
∞
=+∑的收敛半径为（ ）
（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 13、（容易）0z =为()sin f z z z =-的（ ）
（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）3阶零点 14、（容易）设1
()1
z
f z e =
-，则0z =是()f z 的（ ） （A ）1阶极点 （B ）2阶极点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 15、（容易）0z ≠∞是函数()f z 的可去奇点，则0Re (,)s f z =（ ） （A ）0()f z （B ）0 （C ）2π （D ）2i π 16、（容易）若复数22z i =-，则z 的幅角主值为（ ） （A ）
2π （B ）2π- （C ）4
π
（D ）4π-
17、（中等）复数1cos sin (0)z i θθθπ=++≤≤的模为（ ） （A ）2cos
2
θ （B ）2cos
2
θ- （C ）22cos θ+ （D ）2sin 2θ+
18、
（容易）设z =
，则z 的指数表示为（ ） （A ）cos
sin
4
4
z i π
π
=+ （B ）4
i z e
π?
= （C ）cos
sin
4
4
z i π
π
=- （D ）4
i z e
π-?
=
19、
（中等）若12ω=-
，则23ωωω++=（ ）
（A ）0 （B ）ω （C ）2
ω （D ）ω-
20、（中等）函数()Re f z z =在z 平面上（ ）
（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 21、（容易）下列哪些点集是区域（B ） （A ）Im 0z = （B ）1
Re 2
z >
（C ）12z i ++≤ （D ）Re 0z ≥ 22、（中等）若()f z u iv =+，且在区域D 内满足
,u v u v x y y x
????==-????，则（ ） （A ）()f z 在D 内解析 （B ）()f z 在D 内不解析 （C ）()f z 在D 内可微 （D ）()f z 在D 内不一定可微
23、（容易）
1
1
3
z dz z =-?
的值为（ ） （A ）2i π （B ）0 （C ）1 （D ）1- 24、（容易）
1
sin z z
dz z
==?
（ ） （A ）0 （B ）i π （C ）2i π （D ）2i π-
25、（中等）若区域D 内解析函数()f z u iv =+满足00u
x
u y
??=??????=???，则()f z 在区域D 内为（ ）
（A ）0 （B ）常数 （C ）不一定为常数 （D ）0v = 26、若复级数1n n z ∞
=∑收敛，则（ ）
（A ）对一切n ，0n z ≠ （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0k
n z ≠
（C ）lim 0n n z →∞
≠ （D ）lim 0n n z →∞
=
27、（容易）幂级数11!
n
n z n ∞
=+∑的收敛半径为（ ）
（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 28、（中等）0z =为()1cos f z z =-的（ ）
（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）2阶零点
29、（容易）设函数()f z 在00z z <-<+∞内解析，且0
lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的
（ ）
（A ）非孤立奇点 （B ）极点 （C ）本性奇点 （D ）解析点 30、（容易）变换az b
w cz d
+=
+（a ，b ，c ，d 为复常数）为分式线性变换的条件是（ ） （A ）0ad bc -≠ （B ）0ad bc -= （C ）a b
c d
= （D ）a b c d ===
31、
（容易）复数1z =的幅角主值为（ ）
（A ）
6π （B ）6π- （C ）3
π
（D ）3π-
32、（中等）若ω是方程3
10z -=的一个非零复数根，则345ωωω++=（ ）
（A ）0 （B ）i （C ）2
ω （D ）ω-
33、（容易）下列等式正确的是（ ）
（A ）z z z ?= （B ）2
z z z ?= （C ）2Im z z i z += （D ）2Re z z z -= 34、（中等）下列哪些函数在复平面上解析（ ） （A ）sin z （B ）z （C ）2
z （D ）Re z 35、（中等）满足11z z ->+的点z 所组成的点集为（ ） （A ）Im 0z < （B ）Re 0z < （C ）Im 0z > （D ）Re 0z >
36、（容易）使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（ ） （A ）在D 内
,u v u v x y y x ????==???? （B ）在D 内,u v u v
x y y x ????==-???? （C ）在D 内
,u v u v x y y x ????=-=???? （D ）在D 内,u v u v x y y x
????=-=-???? 37、（中等）设()f z 在区域D 内解析，且0{}U z z z D δ=-
（A ）()f z 不恒为零 （B ）()f z 为不为零的常数 （C ）()f z 只有惟一的零点 （D ）()0f z ≡
38、（容易）1
()n
C
dz z a -?
（其中C 为包围点a 任意围线）的值为（ ）
（A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 39、（容易）
21
z
z e dz z
==?
（ ）
（A ）0 （B ）
2
π
（C ）2i π （D ）i π 40、（中等）()f z 在复平面上解析且Re ()f z 有界，则()f z 在平面上为（ ） （A ）0 （B ）常数 （C ）z
e （D ）ln z
41、（中等）在1z <内解析，在区间(1,1)-上具有展式0n n x ∞
=∑的函数只能是（ ）
（A ）
1
(1)1z z <+ （B ）ln(1)(1)z z -< （C ）1(1)1z z <- （D ）1
(1)1z z
<-
42、（中等）幂级数21
121
n n z n -∞
=-∑的收敛半径为（ ）
（A ）+∞ （B ）1 （C ）0 （D ）2 43、（容易）若1
()cos
f z z i
=+，则z i =-是()f z 的（ ） （A ）可去奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）极点 （D ）本性奇点 44、（中等）若()
()g z f z z a
=
-，且()g z 在点a 解析，()0g a ≠，则Re (,)s f a =（ ） （A ）()g a （B ）2()ig a π （C ）0 （D ）()g a '
45、（中等）变换(01)1z a
w a a z
-=
<<-?把单位圆1z <保形映射成（ ）
（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 46、（容易）arg(34)i -+=（ ）
（A ）3arctan
4π-（B ）3arctan 4π+ （C ）4arctan 3π- （D ）4
arctan 3
π+ 47、（中等）若ω是方程3
1z =的一个非零复数根，则下列哪些也是此方程的根（ ）
（A ）ω （B ）ω- （C ）2
ω- （D ）i
48、（中等）下列等式不正确的是（ ）
（A ）2
z z z ?= （B ）1212arg arg arg z z z z ?=+（10z ≠，20z ≠） （C ）1212rg rg rg A z z A z A z ?=+（10z ≠，20z ≠） （D ）arg arg (0)z z z =-≠ 49、（容易）下列哪些函数在复平面上不解析（ ） （A ）sin z （B ）cos z （C ）chz （D ）z
e -
50、（容易）设{Im 2,Re 3}E z z z =<<，则E 一定是（ ）
（A ）无界区域 （B ）有界单连通区域 （C ）多连通区域 （D ）闭区域 51、（容易）使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（ ） （A ）u ，v 在D 内具有一阶连续的偏导数
（B ）u ，v 在D 内可微，且在D 内满足柯西—黎曼条件
（C ）u ，v 在D 内具有一阶偏导数，且在D 内满足柯西—黎曼条件 （D ）u ，v 在D 内在D 内满足柯西—黎曼条件
52、（容易）设()f z 在复平面上解析，且C 为不通过原点的围线，则()
C
f z dz z
=?
（ ） （A ）2(0)i f π? （B ）(0)f （C ）0 （D ）0或2(0)i f π?
53、（中等）
1
1
cos z dz z
==?
（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2i π （D ）i π
54、（容易）若()f z 在区域D 内满足 ()0f z '=，则()f z 在区域D 内必为（ ） （A ）0 （B ）z （C ）常数 （D ）z
e
55、（中等）()f z 在复平面上解析且Im ()f z 有界，则()f z 在平面上为（ ） （A ）0 （B ）常数 （C ）z
e （D ）ln z
56、（中等）在复平面上解析，在区间[0,1]上等于sin x 的函数只能是（ ） （A ）sin(
)2
z π
+ （B ）sin()z π+
（C ）sin iz （D ）sin z
57、（容易）若幂级数1
n
n n a z ∞
=∑的收敛半径0R >，则在闭圆()z r R ≤<上1
n
n n a z ∞
=∑（ ）
（A ）不绝对收敛 （B ）一致收敛且绝对收敛 （C ）绝对收敛但不一致收敛 （D ）一致收敛但不绝对收敛 58、（中等）0z =为2
1cos ()z
f z z
-=
的（ ） （A ）本性奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）二阶极点 （D ）可去奇点
59、（容易）函数1
()z e f z z
-=在0z =处的留数为（ ）
（A ）0 （B ）2i π （C ）1 （D ）i π 60、（容易）变换z i
w z i
-=
+把上半平面Im 0z >保形映射成（ ）
（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w >
61、（容易）若复数1z i =-，则z 的幅角主值为（ ）
（A ）4π-
（B ）4
π
（C ）34π- （D ）34π 62、（中等）若21z =-，则z 等于（ ） （A ）i - （B ）i ± （C ）i （D ）1±
63、（容易）下列点集是区域的是（ ）
（A ）1
{Im }2z z = （B ）{1}z z = （C ）1{Im }2
z z > （D ）2{1}z z = 64、（容易）设()f z x yi =-（,x y R ∈），则（ ）
（A ）()f z 在z 平面上解析 （B ）()f z 在0z =可导 （C ）()f z 在z 平面上处处可导 （D ）()f z 在z 平面上连续 65、（中等）设()f z u iv =+，且在区域D 内满足柯西—黎曼条件，则（ ） （A ）()f z 在D 内不一定解析 （B ）()f z 在D 内解析 （C ）()f z 在D 内可导 （D ）()f z 在D 内一定不可导 66、（容易）下列哪些函数在z 平面上解析（ ） （A ）z （B ）cos z （C ）z （D ）z
e 67、（容易）
1
1
cos z dz z
==?
（ ） （A ）1 （B ）2i π （C ）0 （D ）1- 68、（容易）
1
z
z e dz z
==?
（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）
1
2i
π （D ）2i π 69、（中等）若()f z 在区域D 内解析，且Re ()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ ） （A ）复常数 （B ）Re z （C ）z （D ）sin z 70、（容易）若()sin f z z =，则下列结论不成立的是（ ）
（A ）()f z 为解析函数 （B ）()f z 有界 （C ）()f z 为周期函数 （D ）()f z 有零点
71、（中等）复级数0
n n i ∞
=∑（ ）
（A ）一定收敛 （B ）等于
1
1i
- （C ）一定发散 （D ）以上结论都不对 72、（容易）设幂级数为00()n n n a z z ∞
=-∑，则（ ）
（A ）00()n
n n a z z ∞=-∑仅在点0z 收敛 （B ）00()n n n a z z ∞
=-∑在全平面上收敛
（C ）00
()n
n n a z z ∞
=-∑在点0z 不收敛 （D ）00
()n n n a z z ∞
=-∑在点0z 收敛
73、（容易）幂级数1
1n n n n z ∞
=+?∑的收敛半径为（ ）
（A ）0 （B ）+∞ （C ）1 （D ）2 74、（容易）幂级数1n n z ∞
=∑在1z <内的和函数为（ ）
（A ）
11z - （B ）1z z - （C ）11z + （D ）1z
z
+ 75、（中等）()1cos f z z =-以0z =为（ ）
（A ）一阶零点 （B ）一阶极点 （C ）二阶零点 （D ）二阶极点
76、（容易）设()f z 在00z z R <-<内解析，且0
lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ ）
（A ）零点 （B ）可去奇点 （C ）非孤立奇点 （D ）极点 77、（中等）若2
1cos ()z
f z z
-=
，则0z =必为()f z 的 （ ） （A ）可去奇点 （B ）零点 （C ）本性奇点 （D ）二阶极点 78、（中等）若∞是函数()f z 的可去奇点，则Re (,)s f ∞=（ ）
（A ）0 （B ）不一定为0 （C ）不存在 （D ）以上结论都不对 79、（容易）若1
()z
f z e =，则Re (,0)s f = （ ）
（A ）∞ （B ）0 （C ）1 （D ）以上答案都不对 80、（中等）映射3
2
2w z z =+在点z i =处的伸缩率为 （ ）
（A （B ） （C ）25 （D ）5
81、（容易）若复数1z i =-+，则z 的幅角主值为（ ）
（A ）
23π （B ）23π- （C ）6π- （D ）6
π 82、（中等）若3
1z =且Im 0z >，则z 等于（ ）
（A ）1 （B ）122i -
+ （C ）122
+ （D ）122--
83、（容易）下列点集不是区域的是（ ）
（A ）{Im 0}z z > （B ）{Re 0}z z < （C ）{1}z z i ≤+ （D ）{1}z z > 84、（中等）设()f z i z =?，则（ ）
（A ）()f z 在z 平面上处处不连续 （B ）()f z 在z 平面上解析 （C ）()f z 为整函数 （D ）()f z 在z 平面上处处不解析
85、（容易）设()f z u iv =+，则使得()f z 在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（ ）
（A ）
,u v u v x y y x ????==-???? （B ）,u v u v
x y y x ????=-=???? （C ）
,u v u v x y y x ????=-=-???? （D ）,u v u v x y y x
????==???? 86、（容易）在z 平面上处处不解析的函数是（ ） （A ）z （B ）Im z （C ）cos z （D ）sin z
e
87、（容易）
1
3
z z
dz z ==-?
（ ） （A ）2i π- （B ）2i π （C ）0 （D ）1 88、（中等）
2
1
sin z z dz z
==?
（ ） （A ）2i π （B ）1 （C ）i π- （D ）0
89、（中等）若()f z 在区域D 内解析，且()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ ） （A ）复常数 （B ）0 （C ）z （D ）z
e 90、（容易）若()z
f z e =，则下列结论不成立的是（ ）
（A ）()f z 为整函数 （B ）()f z 非周期函数 （C ）()f z 无零点 （D ）()f z 无界 91、（容易）幂级数0!n
n n z ∞
=?∑的收敛半径为（ ）
（A ）+∞ （B ）1
（C ）0 （D ）以上结论都不对
92、（容易）设幂级数为0n
n n a z ∞
=∑的收敛半径0R >，则此幂级数的和函数（ ）
（A ）在z R <内不连续 （B ）在z R <内不解析 （C ）在z R <内不能逐项求导 （D ）在z R <内可逐项积分
93、（中等）在1z <内解析，且在区间(1,1)-上具有展式0
(1)n n n x ∞
=-?∑的函数只能为（ ）
（A ）
11z + （B ）11z - （C ）211z + （D ）2
1
1z
- 94、（容易）若1
()cos f z z i
=+，则z i =-为()f z 的（ ）
（A ）极点 （B ）本性奇点 （C ）可去奇点 （D ）非孤立奇点 95、（中等）2
()(1)
z z
f z e =
-以0z =为（ ） （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）一阶极点 （D ）二阶极点 96、（容易）若()
()z f z z a
?=
-，且()z ?在点a 解析，则Re (,)s f a =（ ）
（A ）0 （B ）()a ?' （C ）2()i a π?'? （D ）()a ?
97、（容易）2
2()1
iz e f z z =+在z i =的留数为 （ ）
（A ）2i i e --
（B ）0 （C ）12i e -- （D ）112
e -- 98、（容易）ln(1)z +在0z =处的幂级数展开式为（ ）
（A ）1n n z n ∞
=∑ （B ）11(1)n n n z n ∞-=-∑ （C ）1(1)n n n z n ∞=-∑ （D ）0!
n n z n ∞=∑
99、（中等）变换1i z i
w e
i z
θ
-=+?（θ为实常数）把单位圆1z <保形映射成（ ）
（A ）上半平面Im 0z > （B ）下半平面Im 0z < （C ）1w < （D ）1w > 100、（中等）变换i z i
w e
z i
θ
-=+（θ为实常数）把上半平面Im 0z >保形映射成（ ） （A ）左半平面Re 0z < （B ）右半平面Re 0z > （C ）上半平面Im 0z >（D ）1z <
二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）
1、（较难）
若122
ω=-
-是方程31z =的根，则下列哪些值不为2
1ωω++的值（ ） （A ）0 （B ）i （C ）i - （D ）2
ω 2、（较难）复数1cos sin z i θθ=-+（0θπ<<）的模为 （ ） （A ）2sin
2
θ （B
（C ）2(1cos )θ- （D ）2sin
2
θ
-
3、（较难）下列点集哪些是区域 （ ） （A ）Im Re(1)z i >+ （B ）0arg 4
z π
<≤
（C ）1Im 2z << （D ）Im 3z =
4、（较难）若()Re f z z =，则下列结论正确的是（ ）
（A ）()f z 在z 平面上连续 （B ）()f z 在z 平面上处处不解析 （C ）()f z 在z 平面上解析 （D ）()f z 仅在0z =处解析 5、（较难）若1
()1f z z
=+
，则下列结论正确的是 （ ） （A ）Re (,0)1s f = （B ）2
Re (,0)1s f = （C ）2
Re (,0)2s f = （D ）Re (,0)0s z f ?=
6、（较难）若ω不是方程31z =的虚数根，则下列哪些值也一定不是此方程的根（ ） （A ）ω （B ）3
ω （C ）1- （D ）ω-
7、（较难）复数
z =
的指数表示形式为 （ ） （A ）4
i z e
π-?
= （B ）4
i z e π?
= （C ）(2)
4
i k z e
π
π-?+= （k Z ∈）（D ）(2)
4
i k z e
π
π?+= （k Z ∈）
8、（较难）设{1Im 1,1Re 1}E z z z =-<<-<<，则E 一定不能是 （ ） （A ）有界单连通区域 （B ）有界闭区域 （C ）无界区域 （D ）区域 9、（较难）下列哪些函数在全平面上不解析（ ）
（A ）sin z （B ）z （C ）Re z （D ）2
z 10、（较难）若1
()sin
f z z
=，则0z =为()f z 的（ ） （A ）本性奇点 （B ）孤立奇点 （C ）可去奇点 （D ）极点
三、填空题（将正确的答案填在横线上）
1、（中等）复数(3)(2)
(3)(2)
i i z i i +-=
-+的模z = 。
2、（容易）函数()f z 在区域D 内解析是指 。
3、（容易）
11
1
3
z dz z -==+?
。 4、（容易）刘维尔定理是指 。
5、（中等）幂级数02
n n n n z ∞
=?∑的收敛半径R = ，收敛圆为 。
6、（容易）函数1
()1f z z
=
-在0z =处的幂级数展式为 。 7、（容易）设2
()1i z
e f z z ?=+，则Re (,)s f i = 。
8、（容易）分式线性变换的一般形式为 。 9、（容易）设非零复数z 的幅角为θ，则z 的三角表示式为 。 10、（中等）满足等式2
i k
e
i π?=的最小正整数k = 。
11、（中等）()Re f z z z =的可导点为 。 12、（较难）设()f z 在闭区域{12}z z ≤≤上解析，且
1
()z f z dz π==?
，则
2
()z f z dz ==?
。
15、（容易）函数()f z 在区域D 内解析是指 。 16、（容易）若复数5sin1z i =+，则Re()iz = 。
17、（中等）设z x iy =+，x ，y 为实数，0x >，则arg z = 。 18、（较难）若()(1)f z i u =+在区域D 内解析，u 为x ，y 的二元实函数，则在区域D 内
u
x
?=? ，u = 。 19、（容易）设函数()f z 在复平面上解析，且有界，则()f z 在复平面上为 。 20、（容易）若函数()f z 在点0z 解析，则()f z 在点0z 导数。 21、（容易）函数2
1
()1f z z =
-在0z =处的幂级数展式为 。 22、（中等）设0z 为()f z 的孤立奇点，且()f z 在00z z R <-<内有罗郎展式
00
()()n n n f z c z z ∞
==-∑
则0z 必为()f z 的 奇点。
23、（中等）设2
()1i z
e f z z
?=+，则Re (,)s f i -= 。 24、（中等）对任意的非零复数z ，Argz 是多值的，彼此相差 的整数倍。 25、（中等）设1z ，2z 是互为共轭的非零复数，则
1
2
z z = 。 26、（中等）若区域D 内解析的函数()f z ，在区域D 内满足Re ()Im ()f z f z =，则在区域D 内()f z = 。
27、（容易）设函数()f z 在长度为l 的光滑曲线C 上可积，且在C 上，()f z M ≤，则
()C
f z dz ≤?
。
28、（容易）在复平面上n 次多项式()P z 的零点个数为 个（几阶零点要算几个零点）。
29、（容易）函数2
()z f z e =在0z =处的幂级数展式为 。 30、（中等）1
()(1)
f z z z =
-在01z <<内的罗郎展式为 。
31、（容易）一般分式线性变换是由 、 、 、 四种更简单的分式线性变换复合而成。
32、（容易）若复数2006cos2005z i =+，则Re()iz = 。
33、（容易）设()f z 在z 平面上解析，且有界，则()f z 在z 平面上为 。 34、（容易）()sin f z z =在0z =处的幂级数展式为 。 35、（较难）设()f z 在闭区域1100z ≤≤上解析，且
100
()100z f z dz ==?
，则
1
()z f z dz ==?
。
36、（容易）设2
()1i z e f z z -?=+，则Re (,)s f i = 。
37、（容易）若复数20062005z i =+?，则Im()iz = 。 38、（中等）设()f z 是以∞为可去奇点的整函数，则()f z 必为 。 39、（容易）()cos f z z =在0z =处的幂级数展式为 。 40、（中等）设()f z 在z a R -<内解析，且以点a 为非孤立零点，则在z a R -<内
()f z = 。
41、（中等）设sin ()z
f z e
=，则Re (,0)s f = 。
四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）
1、（容易）设1z 和2z 是两个不相等的复数，则1z 和2z 必可比较大小。 （ ）
2、（中等）()f z 在点a 解析是指()f z 在点a 可导。 （ ）
3、（中等）在复数范围内，31z =的充要条件是1z =。 （ ）
4、（容易）若()f z 在以围线C 为边界的单连通区域D 内解析，且在D D C =+上连续，则
()0C
f z dz =?
。 （ ）
5、（中等）若0Re (,)s f z a =，则2
2
0Re (,)s f z a =。 （ ） 6、（中等）若复数z 与其共轭复数z 相等，则z 必为纯虚数。 （ ） 7、（容易）()f z 在点a 点可导，则()f z 在点a 解析。 （ ） 8、（中等）存在函数()f z 在复平面上处处连续，但处处不可导。 （ ） 9、（较难）设1()f z z
=
，则Re (,0)1s f =，从而22
Re (,0)11s f ==。 （ ） 10、（中等）如果()w f z =在区域D 内解析，则()w f z =是区域D 内的保形映射。（ ） 11、（容易）因为12<，则2i i <。 （ ） 12、（容易）复数0的模和幅角都没有意义。 （ ）
13、（中等）若()f z u iv =+在区域D 内解析，则()g z v i u =-+?也在区域D 内解析。
（ ）
14、（中等）若解析函数()f z 以0z 为零点，则存在0z 的某邻域，使得0z 为()f z 在此邻域内的惟一的零点。（ ）
15、（容易）设()f z 在00z z R <-<内解析，则0z 为()f z 的可去奇点? 0
lim ()z z f z →存在。
（ ）
16、（中等）在复数范围内，2
1z z i =-?=。 （ ）
17、（容易）若函数()f z 在区域D 内的每一点都可导，则()f z 在D 内不一定解析。 （ ） 18、（较难）2
()f z z =在复平面上连续，但在复平面上处处不可导。 （ ） 19、（中等）若函数()f z 在有界区域D 内解析，在闭区域D D C =+上连续，则()f z 在边界C 上且只在边界C 达到最大模。（ ） 20、（容易）分式线性变换(0)az b
w ad bc cz d
+=
-≠+在扩充z 平面上是保形的。 （ ）
21、（容易）任意两个复数必可比较大小。 （ ）
22、（容易）若()f z 在点0z 可导，则()f z 在点0z 不一定解析。 （ ） 23、（中等）不存在在z 平面上处处连续处处不可导的复变函数。 （ ） 24、（中等）设1()f z z
=
，则Re (,0)1s f =，22
Re (,0)11s f ==。（ ） 25、（中等）若()w f z =是区域D 内的解析函数，则()f D 也必为区域。 （ ） 26、（中等）0z z -=是z 为实数的充要条件。 （ ）
27、（容易）若()f z 在点0z 解析，则()f z 在点0z 一定可导。 （ ） 28、（中等）2
()f z z =在z 平面上处处不可导。 （ ） 29、（中等）若∞为()f z 的可去奇点，则Re (,)0s f ∞=。（ ）
30、（容易）若()w f z =是区域D 内的单叶解析函数，则()f D 不一定为区域。 （ ）
五、计算题
1、（较难）将复数2
(1cos sin )(0)z i ???π=++≤<化为指数形式。
2、（中等）在复数范围内解方程44
0(0)z a a +=>。
3、（中等）计算积分C
z dz ?，其中（1）C 是从1-到1的直线段；（2）C 是从1-到1的上
半单位圆周：1z =。
4、（较难）求2
2
C
z dz z z
--?
，其中C 是圆周：2z =。 5、（中等）求下列函数在0z =处的幂级数展开式
（1）2
z
e d ξξ?； （2）
2
1
(1)
z -。 6、（较难）求实积分
2
sin 1x x
dx x +∞
-∞
+?
。 7、（较难）试求把单位圆盘1z <保形映射成单位圆盘1w <，并且把1z <内的一点00z ≠变成0的分式线性变换。
8、（中等）在复数范围内解方程8
10z +=。 9、（中等）计算积分
1
()n
z a R
dz z a -=-?
，其中n 为整数，0R >。 10、（较难）计算积分
25
52
1
z z dz z =--?
。 11、（较难）设3
()e f z d z
ξξξ
ξξ=-=
-?
，求()f i '。 12、（中等）设2
1
(1)()z f z e -=，求Re (,1)s f 。
13、求1
()(1)(2)
f z z z =
--在圆环011z <-<内的罗郎展式。
14、（较难）利用留数计算实积分20
sin 54cos x
I dx x
π
=+?
。
15、（较难）试求把单位圆盘1z <保形映射成单位圆盘1w <的分式线性变换()w L z =，并且1
()02L =，1(0)2
L =-
。 16、（较难）将复数2
(1cos sin )(0)z i ???π=-+≤<化为指数形式。 17、（中等）求积分2
1
C
dz z z
-?
，其中C 是圆周：2z =。 18、（中等）计算积分
22
sin 9
z z e z
dz z =-?
。
19、（较难）设23
371
()f z dz z
ξξξξ=++=
-?
，求(1)f i '+和(33)f i '+。
20、（中等）设1
()sin f z z
=，求Re (,0)s f 。 21、（中等）求1
()(1)(2)
f z z z =
--在圆环12z <<内的罗郎展式。
22、（较难）利用留数计算实积分20
1
2cos I d π
θθ
=
+?
。
23、（较难）试求把上半平面Im 0z >保形映射成单位圆盘1w <的分式线性变换()w L z =，并且满足()0L i =，(0)1L =-。
24、（中等）求复数(20052006)(20032004)
(20052006)(20032004)
i i z i i +-=
-+的模。
25、（中等）求积分2
1
22
C
dz z z ++?
，其中C 是圆周：1z =。 26、（较难）计算积分
2
2
(9)()
z z
dz z z i =-+?
。 27、（难）用复积分和留数定理两种方法计算积分
22
2
(1)z
z e dz z =+?
。
28、（较难）设2
()(1)(1)z
f z z z =
-+，求Re (,1)s f -和Re (,)s f ∞。
29、（中等）求1
()(1)(2)
f z z z =
--在圆环2z <<+∞内的罗郎展式。
30、
（较难）利用留数计算实积分20
I π
θ=
?
。
31、（难）试求把带形区域0Im z π<<映射成单位圆盘1w <的保形映射变换()w f z =。 33、（中等）在复数范围内解方程6
6
0(0)z a a +=>。 34、（中等）计算复积分
21
(2)
n
z R
dz z -=-?
，其中1n ≥为自然数，0R >。 35、（较难）设22
1
()e f z dz z
ξξξξ=--=
-?
，求()f i '，(2)f i '+。
36、（中等）求出函数1
()(1)(2)
f z z z =--在扩充平面上的所有孤立奇点的去心邻域内的罗
郎展式。
37、（较难）用留数计算实积分0
1
2cos d π
θθ
+?
。
38、
（中等）设复数z =
，求z 。
39、（中等）计算复积分
21
1
45
z dz z z =++?
。
40、（较难）设222
593
()f z dz z
ξξξξ=++=
-?
，求()f i '，(12)f i '+。
41、（中等）求出函数1
()(1)
f z z z =-在扩充平面上的所有孤立奇点的去心邻域内的罗郎展
式。
42、（较难）用留数计算实积分2
20
1
1cos d π
θθ
+?
。
六、证明题
1、（中等）证明：2222
1212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 2、（难）设3
2
(,)3u x y x xy =-，证明： （1）(,)u x y 是z 平面上的调和函数；
（2）求以(,)u x y 为实部的解析函数()f z ，使得(0)f i =。 3、（难）（1）证明：1
02
C dz z =+?
，其中:1C z =； （2）利用（1）的结果证明0
12cos 054cos d π
θ
θθ
+=+?
。
4、（难）若()f z 在区域D 内解析，在区域D 内，Re z e =，则在区域D 内()f z e ic =+，其中c 为是实常数。
5、（难）设()f z 在闭区域0(0)z z R R -≤>上解析，令0()max ()z z R
M R f z -==，证明：
()
0!()
()(0,1,2,)n n
n M R f
z n R
?≤
=L ---------- 柯西不等式。 6、（难）若()f z 在区域D 内解析，在区域D 内，Im 1z =，则在区域D 内()f z c i =+，其中c 为是实常数。
7、（难）设()f z 在闭区域(0)z R R <>上解析，并且具有泰勒展式
01()n n f z a a z a z =++++L L ，
令()max ()z r
M r f z ==，证明：
()
(0,1,2,,0)n n
M r a n r R r ≤
=< 8、（难）若()f z 在区域D 内解析，()f z 也在区域D 内解析，则在区域D 内()f z 恒为常数。 9、（难）设()f z 在闭圆1z ≤上解析，且 2 1 () 0,{1}()f d z z z z ξξξξ==∈<-?， 证明：在1z ≤内 ()f z 恒为常数。 10、（难）若()f z 在区域D 内解析，且()i f z ?也在区域D 内解析，则()f z 在区域D 内必为常数。 11、（难）设()f z 在闭圆域1z ≤上解析，且在圆域1z <内，恒有1 () 1f d z ξξξξ==-? ，证明：在闭圆域1z ≤上，()f z c ≡，且12i c e θ π = ?，θ为实常数。 12、（难）若()f z 在区域D 内解析，且Re ()Im ()f z f z =，则()f z 在区域D 内必为常数。 13、（难）设()f z 在闭圆域1z ≤上解析，且在圆域1z <内，恒有11() Re[ ]12f d i z ξξξπξ==-?，证明：在闭圆域1z ≤上，()1f z i c ≡+?，其中c 为实常数。 复变函数综合测试题库 （解答） 一、选择题（单选题） 1、复数z i =的幅角主值为（ C ） （A ） 3π （B ）3π- （C ）6π- （D ）6 π 2、复数1cos sin ,0z i θθθπ=-+≤≤的模为（ A ） （A ）2sin 2 θ （B ）2sin 2 θ - （C ）22cos θ- （D ）2cos 2θ- 3、设 z = ，则z 的指数表示为（ B ） （A ）cos sin 44z i π π =+ （B ）4 i z e π? = （C ）cos sin 44 z i π π =- （D ）4 i z e π-? = 4、若ω是方程3 10z -=的一个虚部非零的根，则21ωω++=（ A ）题目不严密，若1 =w 则2 1ωω++=3 （A ）0 （B ）i （C ）2 ω （D ） ω- 5、函数()f z z =在z 平面上（ C ） （A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 6、满足11z z -=+的点z 所组成的点集为（B ） （A ）Im 0z = （B ）Re 0z = （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 7、函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（ D ） （A ） ,,,u u v v x y x y ????????都在D 内连续 （B ）在D 内 ,u v u v x y y x ????==-????