2020年八年级数学下册因式分解专题01 提取公因式(基础学生版)

专题01 提取公因式（基础版）

【学习目标】

1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；

2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】 要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，

因式分解的结果只能是整式的积的形式.

（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.

（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式

乘法是一种运算. 要点二、公因式

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.

（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.

（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.

②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

要点三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因

式是

，即

，而

正好是

除以所得的商，

这种因式分解的方法叫提公因式法．

要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，

即

.

（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.

（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.

（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公

因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.

【典型例题】

类型一、因式分解的概念

例1、下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．6a 2b 2=3ab ?2ab B ．2x 2+8x ﹣1=2x （x +4）﹣1 C ．a 2﹣3a ﹣4=（a +1）（a ﹣4） D ．

【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断． 【答案】C.

【解析】A 、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意； B 、右边结果不是积的形式，不符合题意； C 、a 2﹣3a ﹣4=（a +1）（a ﹣4），符合题意；

m m

D 、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意． 故选：C ．

【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解,等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三：

【变式】下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）

A.a +4a ﹣21=a （a +4）﹣21

B.a +4a ﹣21=（a ﹣3）（a +7）

C.（a ﹣3）（a +7）=a +4a ﹣21

D.a +4a ﹣21=（a +2）﹣25 【答案】B.

类型二、提公因式法分解因式

例2、(1)多项式的公因式是________；

(2)多项式的公因式是________；

(3)多项式的公因式是________； (4)多项式的公因式是________． 【答案】(1)3 (2)4 (3) (4) 【解析】

解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．

(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式

为3.

(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是．公因式为4. (3)公因式是（），为一个多项式因式．

(4)多项式可变形，其公因式是．

【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式． 举一反三：

【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B ；

例3、若，则E 是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C ；

22

222

2

363x xy -+32

4168mn m m --()()()x b c a y b c a a b c +--+----2(3)(3)x x x -+-m b c a +-3x -m m b c a +-()()233x x x ---3x -2

x y -2

2x x +2x y 2+2x xy y 2-+()()()2

3

2

p q q p q p E ---=-1q p --q p -1p q +-1q p +-

【解析】

解：．故选C ．

【总结升华】观察等式的右边，提取的是，故可把变成，即左边＝

.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的

位置，应加上负号． 举一反三：

【变式】把多项式提取公因式后，余下的部分是（ ）

A ．

B ．

C ．2

D ．

【答案】D ；

解：， ＝， ＝．

例4、分解因式：3x （a ﹣b ）﹣6y （b ﹣a ）.

【思路点拨】将原式变形后，提取公因式即可得到结果． 【答案与解析】

解：原式=3x （a ﹣b ）+6y （a ﹣b ）=3（a ﹣b ）（x +2y ）．

【总结升华】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 举一反三：

【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C ；

解：A.，故本选项错误；

B.，故本选项错误；

C.，正确；

D.，故本选项错误．

()()2

3

p q q p ---=()()2

1q p p q -+-()2

q p -()2

p q -()2

q p -()()2

1q p p q -+-()()()111m m m +-+-()1m -1m +2m 2m +()()()111m m m +-+-()()111m m -++()()12m m -+()222

129343abc a b c abc ab -=-(

)

2

2

33632x y xy y y x x y -+=-+()2

a a

b a

c a a b c -+-=--+(

)

2

2

55x y xy y y x x +-=+()222

129343abc a b c abc abc -=-(

)

2

2

33632x y xy y y x x -+=-+()2

a a

b a

c a a b c -+-=--+(

)

2

2

551x y xy y y x x +-=+-

类型三、提公因式法分解因式的应用

例5、若，求的值. 【答案与解析】

解： 由，得

.

【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，，这样就能由已知整体代入求值了.

0232=-+x x x x x 4622

3

-+0232

=-+x x 2

32x x +=()

3222642342240x x x x x x x x x +-=+-=?-=()

3222623x x x x x +=+

同步练习（基础）

一.选择题

1.下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）

A ．x （a ﹣b ）=ax ﹣bx

B ．x 2﹣1+y 2=（x ﹣1）（x +1）+y 2

C ．y 2﹣1=（y +1）（y ﹣1）

D ．ax +by +c =x （a +b ）+c

2.多项式6ab c ﹣3a 2bc +12a b 的公因式是（ ）

A.abc

B.3a b

C.3a b c

D.3ab

3. 多项式分解因式的结果是（ ）

A. B.

C. D.

4. 分解因式的结果是（ ） A. B. C. D.

5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C.

D. 6. 把提公因式得（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 二.填空题

7. 因式分解是把一个______________化为______________的形式.

8. 的公因式是___________；的公因式是__________. 9.分解因式：2a （b +c ）﹣3（b +c ）= ． 10. 多项式的公因式是______________. 11.分解因式：m （x ﹣y ）+n （y ﹣x ）=_____________________.

2

2

2

2

22

22

32n

n

n a a

a +-+(

)3

2

1n

a a a -+()22n

n

a a

a -+(

)221n

n

a a

a -+()31n n a a a -+()()2552x y x -+-()()251x y -+()()251x y --()()521x y -+()()521x y --()()()m a

b n a b a b mn -+-=-()()()()m x y n y x x y m n ---=--()()1mn x y mn x y mn ++=++()()()()2

32232y x x y x y x y -+-=---3

2

2

3

284x y x y xy ++2

2

3

2(42)x x xy y ++3

2

2

3

2(42)x y x y xy ++2

2

2(42)xy x xy y ++2

2(4)xy x xy +,,ax ay ax -2

3

6,2,4mn m n mn -33

22

2

339a b a b a b --

12. 因式分解＝_____________________. 三.解答题

13. 应用简便方法计算：

（1）； （2）

14.已知，求和的值. 15.分解因式：6a （b ﹣1）﹣2（1﹣b ）．

2432

10515m n m n m n -+-10

9

8

222--16 3.148 3.1426 3.14?+?+?1,3a b ab +==-22a b ab +33

22a b ab +2

2

学法指导: 怎样学好数学

☆人生是一种体验，一种经历，一种探索，一种生活，而人生目标，则是一种自我的设定。

☆人生的目标在于追求，这种追求不仅是纵向的拓展，更是横向的探索。

☆每个人都有自己不同的人生目标，它不一定是鸿鹄大志，不一定撼天动地，但要有一个切实的规划，目标既定，就要朝着你的目标勇敢前进。

☆所有的成绩都是努力的结果，都是勤奋的结晶，给自己确立一个通过努力能实现的目标，然后朝着这个目标努力，一个人要想生活得无怨无悔，就只有努力拼搏；只有努力拼搏过才能无怨无悔。

☆认真学习，加快生活、学习的节奏，排除一切杂念，全身心投入到学习中去，加入到竞争的行列中去，战胜自己，成为执掌自己命运的主人。

☆有人说自信是驾驭理想的风帆，是成功的基石！成绩一时不理想并不可怕，可怕的是丧失了信心，可怕的是没走上战场就倒了下来。

☆人的生命是有限的，可它的广度、高度、深度是无限的，让自己有限的生命活出质量活出品味。

要回答这个似乎非常简单:把定理、公式都记住，勤思好问，多做几道题，不就行了。

事实上并非如此，比如:有的同学把书上的黑体字都能一字不落地背下来，可就是不会用；有的同学不重视知识、方法的产生过程，死记结论，生搬硬套；有的同学眼高手低，“想”和“说”都没问题，一到“写”和“算”，就漏洞百出，错误连篇；有的同学懒得做题，觉得做题太辛苦，太枯燥，负担太重；也有的同学题做了不少，辅导书也看了不少，成绩就是上不去，还有的同学复习不得力，学一段、丢一段。

究其原因有两个:一是学习态度问题:有的同学在学习上态度暧昧，说不清楚是进取还是退缩，是坚持还是放弃，是维持还是改进，他们勤奋学习的决心经常动摇，投入学习的精力也非常有限，思维通常也是被动的、浅层的和粗放的，学习成绩也总是徘徊不前。反之，有的同学学习目的明确，学习动力强劲，他们拥有坚韧不拔的意志、刻苦钻研的精神和自主学习的意识，他们总是想方设法解决学习中遇到的困难，主动向同学、老师求教，具有良好的自我认识能力和创造学习条件的能力。二是学习方法问题:有的同学根本就不琢磨学习方法，被动地跟着老师走，上课记笔记，下课写作业，机械应付，效果平平；有的同学今天试这种方法、明天试那种方法，“病急乱投医”，从不认真领会学习方法的实质，更不会将多种学习方法融入自己的日常学习环节，养成良好的学习习惯；更多的同学对学习方法存在片面的、甚至是错误的理解，比如，什么叫“会了”？是“听懂了”还是“能写了”，或者是“会讲了”？这种带有评价性的体验，对不同的学生来说，差异是非常大的，这种差异影响着学生的学习行为及其效果。

由此可见，正确的学习态度和科学的学习方法是学好数学的两大基石。这两大基石的形成又离不开平时的数学学习实践，下面就几个数学学习实践中的具体问题谈一谈如何学好数学。

运算是学好数学的基本功。初中阶段是培养数学运算能力的黄金时期，初中代数的主要内容都和运算有关，如有理数的

运算、整式的运算、因式分解、分式的运算、根式的运算和解方程。初中运算能力不过关，会直接影响高中数学的学习:从目前的数学评价来说，运算准确还是一个很重要的方面，运算屡屡出错会打击学生学习数学的信心，从个性品质上说，运算能力差的同学往往粗枝大叶、不求甚解、眼高手低，从而阻碍了数学思维的进一步发展。从学生试卷的自我分析上看，会做而做错的题不在少数，且出错之处大部分是运算错误，并且是一些极其简单的小运算，如71-19=68，（3 3）2=81等，错误虽小，但决不可等闲视之，决不能让一句“马虎”掩盖了其背后的真正原因。帮助学生认真分析运算出错的具体原因，是提高学生运算能力的有效手段之一。在面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点:

①情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确；

②要自信，争取一次做对；慢一点，想清楚再写；少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。

二、数学基础知识

理解和记忆数学基础知识是学好数学的前提。

学数学没有捷径可走，保证做题的数量和质量是学好数学的必由之路。

1、如何保证数量？

①选准一本与教材同步的辅导书或练习册。

②做完一节的全部练习后，对照答案进行批改。千万别做一道对一道的答案，因为这样会造成思维中断和对答案的依赖心理；先易后难，遇到不会的题一定要先跳过去，以平稳的速度过一遍所有题目，先彻底解决会做的题；不会的题过多时，千万别急躁、泄气，其实你认为困难的题，对其他人来讲也是如此，只不过需要点时间和耐心；对于例题，有两种处理方式:“先做后看”与“先看后测”。

③选择有思考价值的题，与同学、老师交流，并把心得记在自习本上。

④每天保证1小时左右的练习时间。

2、如何保证质量？

①题不在多，而在于精，学会“解剖麻雀”。充分理解题意，注意对整个问题的转译，深化对题中某个条件的认识；看看与哪些数学基础知识相联系，有没有出现一些新的功能或用途？再现思维活动经过，分析想法的产生及错因的由来，要求用口语化的语言真实地叙述自己的做题经过和感想，想到什么就写什么，以便挖掘出一般的数学思想方法和数学思维方法；一题多解，一题多变，多元归一。

②落实:不仅要落实思维过程，而且要落实解答过程。

③复习:“温故而知新”，把一些比较“经典”的题重做几遍，把做错的题当作一面“镜子”进行自我反思，也是一种高效率的、针对性较强的学习方法。

很多人在考试时总考不出自己的实际水平，拿不到理想的分数，究其原因，就是心理素质不过硬，考试时过于紧张的缘故，还有就是把考试的分数看得太重，所以才会导致考试失利，你要学会换一种方式来考虑问题，你要学会调整自己的心态，

人们常说，考试考得三分是水平，七分是心理，过于地追求往往就会失去，就是这个缘故；不要把分数看得太重，即把考试当成一般的作业，理清自己的思路，认真对付每一道题，你就一定会考出好成绩的；你要学会超越自我，这句话的意思就是，心里不要总想着分数、总想着名次；只要我这次考试的成绩比我上一次考试的成绩有所提高，哪怕是只高一分，那我也是超越了自我；这也就是说，不与别人比成绩，就与自己比，这样你的心态就会平和许多，就会感到没有那么大的压力，学习与考试时就会感到轻松自如的；你试着按照这种方式来调整自己，你就会发现，在不经意中，你的成绩就会提高许多；

最祝你学习进步！

※准备一本数学笔记,记录每一节课老师所讲的基础知识和典型例题。

※准备一本错题本,记录每一次作业及考试的错题。

※准备多种颜色的笔做记号及着重号用。

※准备一本后的习题本，把讲过的书上的习题系统的做到习题本上。

※开学准备两本数学作业本，要套上本夹。

※每位同学要有一套数学工具:一幅三角板，一个圆规，一把直尺，有条件的同学再准备一个多功能计算器。