2019年江苏省无锡市锡山区中考数学一模试卷(含答案解析)

2019 年江苏省无锡市锡山区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正 确的，请把正确的选项填在相应的括号内）
1．函数 ＝ ﹣ y2
A ．x＞﹣3
中，自变量 的取值范围是（ ） x
． ≥﹣3 Bx
． ≠﹣3 Cx
2．下列运算正确的是（ ）
D ．x≤﹣3
A ．3x2?4x2＝12x2
． 3 5＝ 8 B x +x x
． 4÷ ＝ 3 C x xx
D ．（ 5）2＝ 7
x
x
． ， 是数轴上两点，线段 A B 上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ） 3AB
A．
B．
C．
D．
4．在平面直角坐标系中，将点 P 向左平移 2 个单位长度后得到点（﹣1，5），则点 的坐标是（ ）
A ．（﹣1，3）
B ．（﹣3，5）
C ．（﹣1，7）
D ．（1，5P）
5．下表是某校合唱团成员的年龄分布表：
12
13
14
15
频数
5
15
x
对于不同的 ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） x
A ．平均数、中位数
B ．众数、中位数
﹣ 10 x
C ．平均数、方差
D ．中位数、方差
6．一个圆锥的主视图是边长为 4cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）
A ．16πcm2
B ．12πc m2
C ．8πc m2
．π 2 D 4 cm
7．如图，已知△AB C 中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， 是 AB 10 AC 8 BC 6 DE
的垂直平分线，D E AC
交 于点 ，
AB
D
交 A C 于点 E ，连接 C D ，则 C D＝（ ）
A ．3
B ．4
C ．4.8
D ．5
8．完全相同的 6 个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为 、 的大矩形，则图中阴影部 nm
1

分的周长是（ ）
A ．6（m﹣n）
B ．3（ m +n）
C ．4n
D．4 m
9．如图， AB C O 的顶点 B、C 在第二象限，点 A（﹣3，0），反比例函数 y＝ （k＜0）图象经过
点 C 和 A B 边的中点 D ，若∠B ＝α，则 k 的值为（ ）
A ．﹣4tanα
B ．﹣2sinα
C ．﹣4cosα
D ．﹣2tan
10．已知二次函数 y＝（x﹣h）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与其对
应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（ ）
A ．1 或﹣5
B．﹣1 或 5
C．1 或﹣3
D．1 或 3
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，本大题共 16 分．不需要写出解答过程，只需把答案直
接填写在相应的横线上）
11．9 的平方根是
．
12．分解因式：a3﹣4ab2＝
．
13．长城是我国第一批成功入选世界文化遗产的古迹之一，它的总长经过“四舍五入”精确到十万
位的近似数约为 6700000 米，将 6700000 用科学记数法表示为
．
14．若一个多边形的内角和是 540°，则这个多边形是
边形．
15．四边形 AB C D 为⊙ O 的内接四边形，已知∠A：∠B＝4：5，则∠A＝
度．
16．如图，点 G 是△AB C 的重心，A G 的延长线交 B C 于点 D，过点G 作 G E∥B C 交 A C 于点 E，如
果 B C＝6，那么线段 G E 的长为
．
2

17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500 米，先到
终点的人原地休息，已知甲先出发 30 秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距
离 y（米）与甲出发的时间 （秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是 x
米．
18．已知△AB C ，∠BA C＝45°，AB＝8，要使满足条件的△AB C 唯一确定，那么 B C 边长度 x 的取
值范围为
．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤）
19．（8 分）计算与化简：
（1）计算：
；
（2）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（ ﹣x 2）．
20．（8 分）解方程与不等式组：
（1）解方程：
；
（2）解不等式组：
21．（7 分）如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，CE∥ D F，E C＝B D，A C＝FD ．求证：AE＝ FB．
22．（8 分）“2015 扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A．“半程马拉松”、B．“10 公
3

里”、 ．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿 C
者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为
；
（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率．
23．（8 分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39 个，比赛结束后随机抽查部分学生
的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别 正确字数 人数 x
A 0≤x＜8 10
B
15
C 16≤x＜24 25
D 24≤x＜32 m
E 32≤x＜40 n
根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中，m ＝
，＝ n
，并补全条形统计图．
（2）扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是
．
（3）若该校共有 1120 名学生，如果听写正确的个数少于 24 个定为不合格，请你估计这所学校
本次比赛听写不合格的学生人数． 24．（9 分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4a（a＞0）与x 轴相交于 A，B 两点，点P 是抛物线上一点，
且
P
B
＝ A
B
，∠P
B A ＝120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设点 （ ， ）为抛物线上的一个动点，当点 在曲线 B A 之间（含端点）移动时，求| |+| |
M mn
M
mn
的最大值及取得最大值时点 的坐标． M
4

25．（9 分）有一张矩形纸片 A B C D ，A B＝4，A D ＝9． （1）如图 1，点 E 在这张矩形纸片的边 A D 上，将纸片折叠，使 A B 落在 C E 所在直线上，折痕 设为 M N （点 M ，N 分别在边 A D ，B C 上），利用直尺和圆规画出折痕 M N（不写作法，保留作 图痕迹）；
（2）如图 2，点 K 在这张矩形纸片的边 A D 上，D K ＝3，将纸片折叠，使 A B 落在 C K 所在直线
上，折痕为
HI ，点
A，B
分别落在点
A ′，B ′处，小明认为
B
′ I
所在直线恰好经过点
D
，他的
判断是否正确，请说明理由．
26．（9 分）近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千 克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从今年年初至 5 月 20 日，猪肉价格不断走高，5 月 20 日比年初价格上涨了 60% ．某市民在 今年 5 月 20 日购买 2.5 千克猪肉至少要花 100 元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少 元？
（2）5 月 20 日，猪肉价格为每千克 40 元.5 月 21 日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在 每千克 40 元的基础上下调 a %出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的 价格仍为每千克 40 元的情况下，该天的两种猪肉总销量比 5 月 20 日增加了 a %，且储备猪肉的
销量占总销量的 ，两种猪肉销售的总金额比 5 月 20 日提高了 a % ，求 a 的值．
27．（9
分）在△AB C
中，∠A
B
C
＝45°，B
C
＝4，tanC＝3，A
H
⊥ B
C
于点
H
，点
D
在
A
H
上，且
D H ＝C H ，连接 B D．
（1）如图 1，将△B H D 绕点 H 旋转，得到△E H F （点 B 、D 分别与点 E、F 对应），连接 AE，
5

当点 落在 A C 上时（ 不与 C 重合），求 的长；
F
F
AE
（2）如图 2，△ EHF
是由△B H D 绕点
H 逆时针旋转
30°得到的，射线
CF 与 AE
相交于点 ， G
连接
G H，试探究线段
GH
与 EF
之间满足的等量关系，并说明理由．
28．（9 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2），且 x1
≠x2，y1≠y2，若
， PQ
为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形
为点 ， 的“相关矩形”，如图为点 ， 的“相关矩形”示意图．
PQ
PQ
（1）已知点 的坐标为（1，0）， ①若点 B 的坐A标为（3，1），求点 A，B 的“相关矩形”的面积；
②点 C 在直线 x＝3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 的表达式； AC
（2）⊙O 的半径为 ，点 M 的坐标为（m ，3），若在⊙O 上存在一点N ，使得点 M ，N 的“相
关矩形”为正方形，求 的取值范围． m
6

2019 年江苏省无锡市锡山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正 确的，请把正确的选项填在相应的括号内）
1．函数 ＝ ﹣ y2
A ．x＞﹣3
中，自变量 的取值范围是（ ） x
． ≥﹣3 Bx
． ≠﹣3 Cx
D ．x≤﹣3
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可以求出 的范围．
【解答】解：根据题意得：x+3≥0，
x
解得：x≥﹣3．
故选： ． B
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2．下列运算正确的是（ ）
A ．3x2?4x2＝12x2
． 3 5＝ 8 B x +x x
C ．x4÷x＝x3
D ．（ 5）2＝ 7
x
x
【分析】 、利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断； A
B、原式不能合并，本选项错误；
C 、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D 、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解： A
、3x2?4x2＝ 12x4，本选项错误；
B、原式不能合并，错误；
、 4÷ ＝ 3，本选项正确； C x xx D 、（x5）2＝x10，本选项错误， 故选： ．
C 【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方，以及单项式乘单项式，
熟练掌握法则是解本题的关键．
． ， 是数轴上两点，线段 A B 上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ） 3AB
7

A．
B．
C．
D．
【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段 A B 上的点与原点的距离就可
以做出判断．
【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点 0 的左右两侧， 从四个答案观察发现，只有 B 选项的线段 A B 符合，其余答案的线段都在原点 0 的同一侧， 所以可以得出答案为 B ． 故选：B ． 【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段
A B 上的点与原点的距离．
4．在平面直角坐标系中，将点 P 向左平移 2 个单位长度后得到点（﹣1，5），则点 P 的坐标是（ ）
A ．（﹣1，3）
B ．（﹣3，5）
C ．（﹣1，7）
D ．（1，5）
【分析】利用平移规律计算即可得到结果．
【解答】解：由题意知，点 P 的坐标为（﹣1+2，5），即（ 1， 5）， 故选：D ． 【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移性质是解本题的关键．
5．下表是某校合唱团成员的年龄分布表：
12
13
14
15
频数
5
15
x
对于不同的 x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A ．平均数、中位数
B ．众数、中位数
10﹣x
C ．平均数、方差
D ．中位数、方差
【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10 ，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次 数最多的数据及第 14、15 个数据的平均数，可得答案． 【解答】解：由表可知，年龄为 14 岁与年龄为 15 岁的频数和为 x+10﹣x＝10， 则总人数为：5+15+10＝30，
故该组数据的众数为 13 岁，中位数为：
岁，
即对于不同的 x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
8

故选：B ． 【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌
握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
6．一个圆锥的主视图是边长为 4cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）
A ．16πcm2
B 12 cm2 ．π
C ．8πc m2
D ．4πc m2
【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为 4，底面圆的半径为 2，然后根据圆锥的侧面展开
图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积
公式求解．
【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为 4，底面圆的半径为 2， 所以这个圆锥的侧面积＝ ×4×2π×2＝8π（cm2）． 故选：C ． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的
周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．如图，已知△AB C 中， A B＝ 10， A C＝ 8， B C＝ 6， D E 是 A C 的垂直平分线，D E 交 A B 于点 D ，
交 A C 于点 E ，连接 C D ，则 C D＝（
）
A ．3
B ．4
C ．4.8
D ．5
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△AB C 是直角三角形，进而得出线段 DE 是△AB C 的中
位线，再利用勾股定理得出 A D，再利用线段垂直平分线的性质得出 D C 的长．
【解答】解：∵A B ＝10，A C ＝8，B C ＝6， ∴B C 2+A C 2＝A B2，
∴△AB C 是直角三角形，
∵DE 是 A C的垂直平分线，
∴ A
E
＝E
C
＝4，
D
E
∥ B
C
，且线段
DE
是△AB C 的中位线，
∴ D
E
＝3，
∴ A
D
＝D
C
＝
＝5．
故选：D ．
9

【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出A D 的长是解
题关键．
8．完全相同的 6 个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为 、 的大矩形，则图中阴影部 nm
分的周长是（ ）
．（ ﹣） A6mn
．（ ） B 3 m+n
． C 4n
． D 4m
【分析】设小长方形的长为 a，宽为 （ ＞ ），根据矩形周长公式计算可得结论． bab
【解答】解：设小长方形的长为 a，宽为 （ ＞ ）， bab
则 ＝， a+3b n
阴影部分的周长为 （ ﹣ ） （ ﹣ ）＝
﹣
﹣＝
﹣＝ ，
2n+2 m a +2 m 3b 2n+2 m 2a+2 m 6b 4m+2n 2n 4m
故选：D ．
【点评】本题考查整式的加减、列代数式、矩形的周长，解答本题的关键是明确整式的加减运算
的计算方法和整体代入的思想．
9．如图， A B C O 的顶点 B 、C 在第二象限，点 A （﹣3，0），反比例函数 ＝ y
点 和 A B 边的中点 D ，若∠B ＝α，则 k 的值为（ ） C
（k＜0）图象经过
A ．﹣4tanα
B ．﹣2sinα
C ．﹣4cosα
D ．﹣2tan
【分析】过点 C 作 ⊥ 于 E ，过点 D 作 ⊥ 轴于 F ，根据平行四边形的对边相等可得O C
CE OA
DF x
10

＝ ，然后求出 ＝ ，再求出 ＝ ，设 ＝ ，表示出点 、 的坐标，然后根据 CE、
AB
O C 2AD
OE 2AF AF a
CD
D F 的关系列方程求出 的值，再求出 、 ，然后利用∠ 的正切值列式整理即可得解．
a
OE CE
COA
【解答】解：如图，过点 作 ⊥ 于 E ，过点 作 ⊥ 轴于 F ，
C CE OA
D DF x
在 O A B C 中， ＝ ， OC AB
∵ 为边 的中点，
D
AB
∴ ＝＝ ，＝ ， O C AB 2AD CE 2DF
∴O E ＝2AF，
设 ＝ ，∵点 、 都在反比例函数上，
AF a
CD
∴点 C （﹣ ，﹣ ）， 2a
∵ （ ， ）， A30
∴D （﹣ ﹣ ， a3
），
∴ ＝2×
，
解得 ＝ ， a1
∴ ＝ ， ＝﹣ ， OE 2 CE
∵∠C O A＝∠α，
∴tan∠C O A ＝tan∠α＝ ，
即 tanα＝﹣
，
k＝﹣4tanα． 故选：A ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，根据
点 、 的纵坐标列出方程是解题的关键． CD
10．已知二次函数 y＝（x﹣h）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与其对
应的函数值 y 的最小值为 5，则 的值为（ ）
A ．1 或﹣5
B ．﹣1 或h5
C ．1 或﹣3
D ．1 或 3
11

【分析】由解析式可知该函数在 x＝h 时取得最小值 1，x＞h 时，y 随 x 的增大而增大；当 ＜ xh
时，y 随 x 的增大而减小；根据 1≤x≤3 时，函数的最小值为 5 可分如下两种情况：①若 h＜1≤
x≤3，x＝1 时，y 取得最小值 5；②若 1≤x≤3＜h，当 x＝3 时，y 取得最小值 5，分别列出关于
h 的方程求解即可．
【解答】解：∵当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＜h 时， 随 x 的增大而减小， y
∴①若 ＜ ≤ ≤ ， ＝ 时，y 取得最小值 5， h1x3x1
可得：（ ﹣ ）2 ＝ ， 1 h +1 5
解得：h＝﹣1 或 ＝ （舍）； h3
②若 1≤x≤3＜h，当 x＝3 时，y 取得最小值 5，
可得：（ ﹣ ）2 ＝ ， 3 h +1 5
解得： ＝ 或 ＝ （舍）； h5 h1
③若 1＜h＜3 时，当 x＝h 时，y 取得最小值为 1，不是 5，
∴此种情况不符合题意，舍去． 综上，h 的值为﹣1 或 5，
故选： ． B
【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关
键． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，本大题共 16 分．不需要写出解答过程，只需把答案直 接填写在相应的横线上）
11．9 的平方根是 ±3 ．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵±3 的平方是 9，
∴ 9
的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正
值为算术平方根．
12．分解因式：a3﹣4ab2＝
（ ）（ ﹣ ） a a+2b a 2b
．
【分析】观察原式
a3﹣4ab2，找到公因式
a，提出公因式后发现
2﹣ 2 a 4b
符合平方差公式的形式，
再利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：a3﹣4ab2
12

＝a（a2﹣4b2） ＝a（a+2b）（ ﹣a 2）b ． 故答案为：a（a+2b）（ ﹣a 2）b ． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分
解到各个因式不能再分解为止．
13．长城是我国第一批成功入选世界文化遗产的古迹之一，它的总长经过“四舍五入”精确到十万
位的近似数约为 6700000 米，将 6700000 用科学记数法表示为 6.7×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜ 10， n 为整数．确定 n 的值时，
要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将 6700000 用科学记数法表示为 6.7×106．
故答案是：6.7×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中
≤ 1 |a|
＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
14．若一个多边形的内角和是 540°，则这个多边形是 五 边形．
【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【解答】解：设多边形的边数是 n，则 （n﹣2）?180°＝540°， 解得 n＝5， 故答案为：五．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键．
15．四边形 A B C D 为⊙O 的内接四边形，已知∠A ：∠B ＝4：5，则∠A ＝ 80 度． 【分析】根据圆的内接四边形对角互补解答即可．
【解答】解：因为四边形 A B C D 为⊙O 的内接四边形，∠A ：∠B ＝4：5， 可设∠A 为 4x，∠B 为 5x，可得：4x+5x＝180°， 解得：x＝20°， 所以∠A ＝80°， 故答案为：80
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
16．如图，点G
是△A B C
的重心，A G 的延长线交
BC
于点 D ，过点 G
作
G
E
∥ B
C
交
AC
于点 E ，如
13

果 ＝ ，那么线段 G E 的长为 BC 6
2
．
【分析】由点 是△A B C 重心， ＝ ，易得 ＝ ， ： ＝ ： ，又由 ∥ ，可证得
G
BC 6
CD 3 AG AD 2 3
GE BC
△AE G∽△A C D，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段 GE 的长．
【解答】解：∵点 G 是△ 重心， ＝ ，
ABC
BC 6
∴ ＝ ＝ ， ＝2， CD BC 3
∵∥， GE BC
∴△AE G∽△A C D ，
∴ ＝ ＝，
∴ ＝． GE 2
故答案为：2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质．解题时注意：重心到顶点 的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1． 17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500 米，先到 终点的人原地休息，已知甲先出发 30 秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距 离 y（米）与甲出发的时间 （秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是 175
x 米．
【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点 时甲所走的路程，最后用总路程﹣甲所走的路程即可得出答案．
14

【解答】解：根据题意得，甲的速度为：75÷30＝2.5 米/秒， 设乙的速度为 m 米/秒，则（m﹣2.5）×（180﹣30）＝75， 解得：m ＝3 米/秒， 则乙的速度为 3 米/秒，
乙到终点时所用的时间为：
＝500（秒），
此时甲走的路程是：2.5×（500+30）＝1325（米）， 甲距终点的距离是 1500﹣1325＝175（米）． 故答案为：175．
【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、
乙两人所用的时间是解题的关键．
18．已知△AB C，∠ B A C＝ 45°， AB＝ 8，要使满足条件的△ A B C 唯一确定，那么 B C 边长度 x 的取
值范围为 x＝4
或
≥ x8
．
【分析】过点
B
作
⊥ BD AC
于点
D
，则△A B
D
是等腰直角三角形；再延长
A
D
到
E
点，使
DE＝
A D ，再分别讨论点 C 的位置即可．
【解答】解：过B
点作B
D
⊥ A
C
于D
点，则△A B D
是等腰三角形；再延长 A D
到 E ，使 D E ＝A D ，
①当点 C 和点 D 重合时，△A B C 是等腰直角三角形，B C ＝4 ，这个三角形是唯一确定的；
②当点 C 和点 E 重合时，△A B C 也是等腰三角形，B C ＝8，这个三角形也是唯一确定的；
③当点 C 在线段 A E 的延长线上时，即 x 大于 BE ，也就是 x＞8，这时，△A B C 也是唯一确定的；
综上所述，∠B A C ＝45°，AB＝8，要使△A B C 唯一确定，那么 B C 的长度 x 满足的条件是：x＝
4 或 x≥8．
故答案为：x＝4 或 x≥8．
【点评】本题主要是考查等腰直角概念，正确理解顶点的位置是解本题的关键 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分．请在试卷相应的区域内作答，解答时应写出文字说明、
15

证明过程或演算步骤） 19．（8 分）计算与化简：
（1）计算：
；
（2）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（ ﹣x ）2 ． 【分析】（ 1）先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到 右依次运算；
（2）先运用乘法公式进行整式的乘法运算，再进行加减运算，即可得到计算结果．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣2 +2× +1 ＝ ﹣2 + +1
＝1； （2）原式 x2﹣6x+9﹣（x2﹣2x+x﹣2） ＝x2﹣6x+9﹣x2 +2x﹣ x+2 ＝﹣5x+11 ．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及乘法公式的运用，实数的运算和在有理数范围内一样，
值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数
可以开平方．
20．（8 分）解方程与不等式组：
（1）解方程：
；
（2）解不等式组：
【分析】（ ） 1 将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出 x的值，再检验即可得； （2）分别求出每个不等式的解集，依据“大小小大中间找”可得答案． 【解答】解：（1）3（x﹣3）＝2﹣8x， 3x﹣9＝2﹣8x， 3x+8x＝2+9， 11x＝11， x＝1， 检验：x＝1 时，3x＝3≠0， ∴分式方程的解为 x＝1；
16

（2）解不等式 3x﹣4≤x，得：x≤2， 解不等式 x+3＞ x﹣1，得：x＞﹣8， 则不等式组的解集为﹣8＜x≤2． 【点评】本题考查了分式方程的解法和步骤及一元一次不等式组的解法和过程．在解答中注意分
式方程要验根，不等式组的解集在表示的时候有等无等要分清楚．
21．（7
分）如图，点
A ，B ，C ， D
在同一条直线上，C
E
∥ D
F
，E
C
＝B D
，A C ＝F D ．求证：AE＝
FB．
【分析】根据 C E ∥D F ，可得∠A C E ＝∠D ，再利用 SAS 证明△ACE≌△FD B，得出对应边相等 即可．
【解答】证明：∵C
E
∥ D
F
，
∴∠ACE＝∠ D，
在△ACE 和△F D B 中，
，
∴△ACE≌△ F D B（ SAS），
∴ A
E
＝F
B
．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明
三角形全等是解决问题的关键．
22．（8 分）“2015 扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A ．“半程马拉松”、B ．“10 公 里”、C ．“迷你马拉松”．小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿 者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为
；
（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率． 【分析】（ ） 1 利用概率公式直接计算即可；
17

（2）列表或画树形图得到所有可能的结果，即可求出小明和小刚被分配到不同项目组的概率． 【解答】解：（1）∵共有 A ，B，C 三项赛事， ∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率是 ，
故答案为： ； （2）设三种赛事分别为 1，2，3，列表得：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有 9 种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2， 3）；（3，1）；（3，2）；（3，3），
小明和小刚被分配到不同项目组的情况有6 种，所有其概率＝ ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是
放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 23．（8 分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39 个，比赛结束后随机抽查部分学生
的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
组别 正确字数 x 人数 A 0≤x＜8 10
B
15
C 16≤x＜24 25
D
m
E 32≤x＜40 n
18

根据以上信息解决下列问题：
（1）在统计表中，m ＝ 30 ，n＝ 20 ，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是 90° ． （3）若该校共有 1120 名学生，如果听写正确的个数少于 24 个定为不合格，请你估计这所学校 本次比赛听写不合格的学生人数．
【分析】（ 1）根据 B组有 15人，所占的百分比是15 %即可求得总人数，然后根据百分比的意义 求解；
（2）利用 360 度乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数 1120 乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）∵总人数为 15÷15 % ＝100（人），
∴ D
组人数 m ＝100×30 % ＝30，E
组人数 n＝100×20 % ＝20，
补全条形图如下：
（2）扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是 360°× 故答案为：90°；
＝90°，
19

（3）“听写正确的个数少于 24 个”的人数有：10+15+25＝50 人，
∴1120× ＝560 人
答：这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为560 人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息
时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 24．（9 分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4a（a＞0）与x 轴相交于 A，B 两点，点P 是抛物线上一点，
且
P
B
＝ A
B
，∠P
B A ＝120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设点 （ ， ）为抛物线上的一个动点，当点 在曲线 之间（含端点）移动时，求| |+| |
M mn
M
BA
mn
的最大值及取得最大值时点 的坐标． M
【分析】（1）先求出
、 两点坐标，然后过点 AB
P作
P
C
⊥ x
轴于点
C
，根据∠PB
A＝120°，P
B
＝ ，分别求出 和 的长度即可得出点 的坐标，最后将点 的坐标代入二次函数解析式
AB
BC PC
P
P
即；
（2）根据题意可知：n＜0，然后对 m 的值进行分类讨论，当﹣2≤m ≤0 时，|m |＝﹣m ；当 0＜m
≤2 时，| |＝ ，列出函数关系式即可求得| |+| |的最大值．
mm
mn
【解答】解：（1）如图 1，令 y＝0 代入 y＝ax2﹣4a，
∴0＝ax2﹣4a，
∵a＞0，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝±2，
∴A （﹣2，0），B （2，0），
∴ ＝4， AB
过点 P 作 ⊥ 轴于点 C ， PC x
∴∠PB C＝180°﹣∠PBA＝60°，
20