上海复旦附中2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)

复旦附中自招题

1. 已知a 、b 、c 是一个三角形的三边，则2

22222444222a c c b b a c b a ---++的值是（ ） A .恒正 B .恒负 C .可正可负 D .非负

解：选B

222222444222a c c b b a c b a ---++

2222224)(c b c b a ---=

)2)(2(222222bc c b a bc c b a ---+--=

])(][)([2222c b a c b a +---=

))()()((c b a c b a c b a c b a --+++--+=

∵a 、b 、c 是一个三角形的三边，

∴0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++c b a ，0<--c b a ，

∴0))()()((<--+++--+c b a c b a c b a c b a

2. 设m ，n 是正整数，满足mn n m >+，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1；② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④m ，n 至少有一个等于1，其中正确的结论是（ ） A .① B .② C .③ D .④

解：选D

由mn n m >+得()()111<--n m

若m ，n 均大于1，则,11,11≥-≥-n m ()()111≥--n m ，矛盾，

∴m ，n 至少有一个等于1。

3. 已知关于x 的方程a x a x +=+2有一个根为1，则实数a 的值为（ ）

A .251+-

B .251--

C .2

51±- D .以上答案都不正确 解：选A

将1=x 代入，得12+=+a a ，

两边平方，得012=++a a ，2

51±-=a ， 当2

51--=a 时，1=x 不是原方程的根，舍 ∴251+-=

a 4. 已知a ，

b ，

c 是不完全相等的任意实数，若c b a x +-=2，c b a y 2-+=，c b a z ++-=2，

则关于x ，y ，z 的值，下列说法正确的是（ ）

A .都大于0

B .至少有一个大于0

C .都小于0

D .至多有一个大于0 解：选B

0=++z y x ，

若x ，y ，z 均小于0，则0<++z y x ，矛盾；

故至少有一个大于0。

5. 已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数b a +，c b +，a c +，下列说法错误的是（ ）

A .可能均为有理数

B .可能均为无理数

C .可能恰有一个为有理数

D .可能恰有两个为有理数

解：选D

若c b a ,,均为有理数，A 正确； 若2=

a ，3=

b ，0=

c ，B 正确； 若2=a ，2-=b ，0=c ，C 正确;

6. 关于x ，y 的方程组???=--+-+=--0

)12()2(0)2)((22y x y x y x y x 的实数解有（ ） A .1组 B .2组 C .3组 D .4组