江苏省如皋市2020-2021学年高二上学期期末教学质量调研数学试题

2020－2021学年度高二年级第一学期期末教学质量调研

数 学 试 题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1. βα>是βαsin sin >的 ( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

2. 5(2)(12)x x +-的展开式中，2x 的系数为（ ）

A ．70

B ．70-

C ．120

D ． 120-

3. 如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[1418)，

内的频数是6，则样本数据落在[610)，

的频数是 ( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

4. 设l 是直线，αβ，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( )

A. 若//l α，//l β，则//αβ B . 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥

5. 直线43+-=k kx y 与双曲线19

162

2=-y

x 有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6. 已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平

面1A BC 的距离为 ( )

A.

221 B. 221 C. 47 D. 47

7. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为

弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为 ( )

A ．

1360

B ．16

C ．1

15

D ．

7

15

8. 设12F F ，是椭圆22

:13x y C m

+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=?，则m 的

取值范围是 ( )

A ．3(0][4)4+∞，，

B ．9

(0][4)4+∞，，

C ．3(0][12)4+∞，，

D ．9

(0][12)4

+∞，， 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 已知双曲线22

:19x y C m m +=-的离心率e =，则下列说法正确的是 ( )

A ．3m =

B ．双曲线

C 的渐近线方程为y =

C

．双曲线C 的实轴长等于 D ． 双曲线C 的准线为1y =±

10. 给出下列命题，其中正确命题为 ( )

A ．投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6）各一

次，记硬币正面向上为事件A ，骰子向上的点数是2为事件B ，则事件A 和事件B 同时发生的概率为112

B ．以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方

程0.34z x =+，则c k ，的值分别是4e 和0.3

C ．随机变量X 服从正态分布2(1)N σ，，()1.50.34P X >=，则()0.50.16P X <=

D ．某选手射击三次，每次击中目标的概率均为

1

2

，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中2次的概率为

12

11. 在ABC ?中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，π

3

A =

，2a =，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b 的可能取值为 ( )

A ．1

B ．

3

3

4 C ．2 D ． 3

12. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 上一个动点，则下列结论正确的是

( ) A ．存在M 点使得异面直线BM 与AC 所成角为75? B ．存在M 点使得二面角M BD C --为135?的二面角

C ．直线1

D M 与平面1AD C 所成角正弦值的最大值为3

6

D ． 当1114A M A C =时，平面BDM 截正方体所得的截面面积为9

4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递

信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信

息.现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格(如图所示即满足要求).则一共可以传递______种信息.(用数字作答)

14. 已知椭圆22:143

y x C +=的左、右焦点分别为12F F 、，点44M （，）．若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为____________． 15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留

给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A B ，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C D ，，测得45m CD =，135ADB ∠=?，15BDC DCA ∠=∠=?，

120ACB ∠=?，则AB 两点的距离为______m .

16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，其内有9个小球，球1O 与正方体1111

ABCD A B C D -的六个面都相切，球23456789O O O O O O O O ，，，，，，，与正方体1111ABCD A B C D -三个面和球1O 都相切，则球1O 的体积等于__________，球2O 的表面积等于__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）

请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题： ①43c a b ==，； ②3π7

6sin(

)2b B =-=-

，； ③5π212b C ==，． 问题：在ABC ?中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，满足

sin sin ()sin()B c

A b c A

B a a

=

-++，且________．

A

B

C

D

O

E

G 求：(1) a 的值；

(2)ABC

?的面积.

18. （本小题满分12分）

如图，四面体ABCD 中， O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，

2AG GO =，2CA CB CD BD ====，

2AB AD ==(1)求证：//GE 平面ACD ； (2)求证：平面ABD ⊥平面BCD .

19. （本小题满分12分）

已知直线l ：+1y kx =过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A B ，两点，点M 为AB 中点. (1)求抛物线E 的方程；

(2)以AB 为直径的圆与x 轴交于C D ，两点，求MCD ?面积取得最小值时直线l 的方程.

20. （本小题满分12分）

为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示(不完整)：

使用手机

不使用手机

总计 学习成绩优秀 5 20 学习成绩一般

总计

30

50

(1)补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手

机有关；

(2)现从上表不使用手机．．．．．

的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望． 参考公式：22

()()()()()

n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．

参考数据：

20()P x χ≥

0.050 0.010 0.001 0x

03.841

6.635

10.828

21. （本小题满分12分）

如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4DD CD '==，2AD =，

π

3

BAD ∠=

，且D '在底面上的投影H 恰为CD 的中点. (1)求证：BC ⊥平面B D H ''； (2)求二面角C BH C '--的大小.

22. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知A B ，两点是椭圆2

2:

19

x E y +=的左、右顶点，P 为直线6x =上的动点，PA 与椭圆E 的另一交点为Q ，当点P 不为点(60)，

时，过P 作直线PH QB ⊥，垂足为H .

(1)证明：直线PH 过定点M ；

(2)过(1)中的定点M 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于C D ，两点，设直线AC AD ，的斜率分别为12k k ，，试判断12()k k k ?+是否为定值？如果是定值，求出定值.