第三章_向量与线性方程组补充习题答案

第三章 向量与线性方程组补充习题答案

1．设有三维列向量

123211101,1,1,111λααλαβλλλ??+??????

????????==+==????????

????????+????????

问λ取何值时，

（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式惟一； （2）β可由123,,ααα线性表示，且表达式不惟一； （3）β不能由123,,ααα线性表示．

【解】 设112233x x x αααβ++=，得线性方程组

12231110111111x x x λ

λλλλ??+???? ? ? ?+= ? ? ? ? ? ?+??????

， 其系数行列式

2111

1

11(3)1

11A λλλλλ

+=

+=++． （1） 若03λλ≠≠-且，则方程组有惟一解，β可由123,,ααα惟一地线性表示． （2） 若=0λ，则方程组有无穷多个解，β可由123,,ααα线性表示，但表达式不惟一．

（3） 若=-3λ，则方程组的增广矩阵

211003-318A 1

21303312112911290006033121129-????

? ?

=--→-- ? ?

? ?--?

???

??

?

→-- ? ?-??

可见方程组得系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由

123,,ααα线性表示．

2．设向量组T a )10,2,(1=α，T )5,1,2(2-=α，.),,1(,)4,1,1(3T T c b =-=βα试问：当a,b,c 满足什么条件时，

（1）β可由321,,ααα线性表出，且表示唯一？ （2）β不能由321,,ααα线性表出？

（3）β可由321,,ααα线性表出，但表示唯一？并求出一般表达式。 【解】 设有一组数321,,x x x ，使得 βααα=++332211x x x ，

即 ???

??=++=++=--c

x x x b x x x x x ax 321

3213214510212

该方程组的系数行列式=A .44

5

10

11

2

12--=--a a

（1）当4-≠a 时，行列式≠A 0，方程组有唯一解，β可由321,,ααα线性表出，且表示唯一；

（2）当a=－4时，对增广矩阵作行初等变换，有

????

??????--+--→??????????---=1300012100101245101121124c b b b c b A

若3b-c ≠1，则秩r(A)≠秩r(A ), 方程组无解，β不能由321,,ααα线性表出； （3）当a=-4且3b-c=1时，秩r(A)=秩r(A )=2<3，方程组有无穷多组解，β可由

321,,ααα线性表出，但表示唯一。解方程组，得

C x =1， 122---=b C x ，123+=b x （C 为任意常数）。 因此有

.)12()12(321αααβ++++-=b b C C 3．设 ).,3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα

（1）问当t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？

（2）问当t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？

（3）当321,,ααα线性相关时，将3α表示为1α和2α的线性组合.

【解】 因为53132

11

11],,[321-==t t

ααα，

故当5≠t 时，向量组321,,ααα线性无关； 当t=5时，向量组321,,ααα线性相关。 当t=5时，令 22113αααx x +=，得方程组

???

??=+=+=+,

53,32,121

2121x x x x x x 解得.2,121=-=x x

故 .2213ααα+-=

4．设向量12,,,t ααα 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即0A β≠．试证明：向量组12,,,,t ββαβαβα+++ 线性无关．

【解】 设有一组数12,,,,t k k k k ，使得

()()1110,t

t t

i i i i i i i i k k k k k ββαβα===??

++=+=- ???

∑∑∑即， ①

上式两边同时左乘矩阵A,有

()110t t

i i i i i k k A k A βα==??

+=-= ???

∑∑．

因为0A β≠，故

1

t

i i k k =+

∑=0， ②

从而，由①式得

()1

t

i

i

i k α

=-∑=0，

由于向量组1,,t αα 是基础解系，所以 120t k k k ==== ． 因而，由②式得k=0．

因此，向量组1,,,t ββαβα++ 线性无关．

5． 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 (A) 122331,,ααα+α+α-α． (B) 1223123,,2ααα+α+αα+α+． (C) 1223312,23,3ααα+α+α+α．

(D) 123123123,2322,355ααα+α+αα-+αα+-α． 【 】 【解】

()()()()()()1223311223123():0,():20,

A B ααααααααααααα+-++-=+++-++=

可见（A ）、（B ）中向量线性相关，（C ）、（D ）不能直接观察得出，对于（C ），令

()()()11222333122330,k k k αααααα+++++=

即 ()()()13112223322330k k k k k k ααα+++++=， 由于123,,ααα线性无关，故

13122

30,

220,330.

k k k k k k +=??

+=??+=? 因上述齐次线性方程组的系数行列式101

2

20120033

=≠，故方程组有惟一零解，即

1230k k k ===，故（C ）中向量组线性无关，应选（C ）

． 6．设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是 (A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.

(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. 【 】 【解】 记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .

所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组

12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).

7.设

4

维向量组()()()T

T

T

1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+

()T

44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,

求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则

312341234

(10)12341234a a A a a a a

++==+++.

于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.

当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===； 当10a =-时，

1α 2α 3α 4α

9234183412741236A -?? ?-

?= ?- ?-??

， 由于此时A 有三阶非零行列式9

23

1

8340001

2

7

--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.

8．设齐次线性方程组

???

??=++=++=++,

0,0,

0321

321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是 .

【解】 当方程的个数与未知量的个数相同时，Ax=0只有零解的充分必要条件是.0≠A 而

2)1(1

11

11

1

1-=λλλ

，所以应有.1≠λ

9．k 为何值时，线性方程组

1232

12312

3424

x x kx x kx x k x x x ++=??-++=??-+=-?， 有惟一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解．

【解】 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形

()211411411022811241(4)00(4)2k k A k k k k k k k ??

??

??

??

??=-→→-????????--+-????

-???

?

． 当1k ≠-和4时，有

22

k 2k 1001141k 2k 2k 401

401021k

2k 2k 0010011k 1k k k A ??+?

?????+???

?-++?

???→→????+????--???????

+?+??

． 这时方程组有惟一解：

22122k 2k k 2k 42k

,,1k 1k 1k

x x x +++-===+++． 当k=–1时，()2()3r A r A =<=，方程组无解． 当k=4时，有

114410300114011400000000A ????????→→????????????

， ()()23r A r A n ==<=,

故方程组有无穷多组解，这时，同解方程组为：

132

33,

4.x x x x =-??=-+?

令3x c =，得方程组的全部解：

30344101c x c x c c --????????????=-=+-??????????????????

或，其中c 为任意常数．

10．设线性方程组

123123123

220,

20,30,x x x x x x x x x λ+-=??

-+=??+-=? 的系数矩阵为A ，三阶矩阵B O ≠，且AB O =．试求λ的值． 【解】 令123(,,)B b b b =，则由题设

123123(,,)(,,)AB A b b b Ab Ab Ab O ===，即0(1,2,3)j Ab j ==．

又B O ≠，所以12,,b b b 3不全为零，说明齐次线性方程组Ax=0有非零解，所以必有秩(A)<3，从而A =0，即

122

2103

1

1

λ--=-

解得1λ=．

11. 设A 是m n ?矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是

(A) 若0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解． (B) 若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多个解． (C) 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =仅有零解．

(D) 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =有非零解． 【 】

【解】 由解的判定定理知，对Ax b =，若有秩()()A A r ==秩，则Ax b =一定有解．

进一步，若r=n ，则Ax b =有唯一解；若r

若r=n ， 0Ax =仅有零解；若r

因此，若Ax b =有无穷多解，则必有秩()()A A r ==秩

但反过来，若秩(A)=r=n(或

12．非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则

(A) r=m 时，方程组Ax b =有解． (B) r=n 时，方程组Ax b =有唯一解． (C) m=n 时，方程组Ax b =有唯一解．

(D) r

()r A m =，相当于A 的m 个行向量现行无关，因此添加一个分量后得()A b 的m 个行向量

仍线性无关，即有()()r A r A b = ，所以Ax b =有解．故（A ）成立．对于（B ）、（C ）、（D ）均不能保证()()r A r A b = ，即不能保证有解，更谈不上唯一解或无穷多解．

13．设321,,ααα是四元非齐次线性方程组AX=b 的三个解向量，且秩r(A)=3，

T )4,3,2,1(1=α，T )3,2,1,0(32=+αα，C 表示任意常数，则线性方程组AX=b 的通解X=

(A) ????????????+????????????11114321C . （B ）?????

?

??????+????????????32104321C .

(C) ????????????+????????????54324321C . (D) ????

?

???????+????????????65434321C [ ]

【解】 由题设，r(A)=3，可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数

为4-3=1，即其任一非零解均可作为基础解系。又根据解的性质知

)()()(23121321ααααααα-+-=+-0)5,4,3,2(≠=T

为对应齐次线性方程组的解，即可作为基础解系，从而线性方程组AX=b 的通解为

????

?

???????+????????????=????????????+=5432432154321C C X α

故正确选项为(C).