数学选修2-1测试题(含答案)
数学选修2-1 综合测评
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )
A.? ????13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.? ??
??－12，32，－1 D ．(2，－3，－22)
解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b ≠0，a ∥b ?a ＝λb ，a ＝(1，－3,2)＝－
1? ??
??
－12，32，－1，故选C. 答案：C
2．若命题p ：?x ∈? ????
－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p ：( )
A ．?x 0∈? ????
－π2，π2，tan x 0≥sin x 0
B ．?x 0∈? ????
－π2，π2，tan x 0>sin x 0
C ．?x 0∈? ????
－π2
，π2，tan x 0≤sin x 0
D ．?x 0∈? ????－∞，－π2∪? ??
??π
2，＋∞，tan x 0>sin x 0
解析：?x 的否定为?x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为?x 0∈
? ????
－π2
，π2，tan x 0≤sin x 0.
答案：C
3．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是( )
A ．l ?α，m ?β且l ∥β，m ∥α
B ．l ?α，m ?β且l ∥m
C ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥m
D ．l ∥α，m ∥β且l ∥m
解析：由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，因为m ⊥β，所以α∥β，故C 选项正确．
答案：C
4．以双曲线x 24－y 2
12＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程
为( )
A.x 216＋y 212＝1
B.x 212＋y 2
16＝1 C.x 2
16＋y 24＝1 D.x 24＋y 2
16＝1 解析：由x 24－y 212＝1，得y 212－x 2
4＝1.
∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)， 顶点坐标为(0,23)，(0，－23)． ∴椭圆方程为x 24＋y 2
16＝1.
答案：D
5．已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB ＝60°，将这个菱形沿AC 折成60°的二面角，则B ，D 两点间的距离为( )
A.32
B.12
C.32
D.34 解析：
菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，则AC ′⊥BD ，沿AC 折叠后，有BO ⊥AC ′，DO ⊥AC ，所以∠BOD 为二面角B －AC －D 的平面角，即∠BOD ＝60°.
因为OB ＝OD ＝12，所以BD ＝12.
答案：B
6．若双曲线x 26－y 2
3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )
A. 3 B ．2 C ．3 D ．6
解析：双曲线x 26－y 2
3＝1的渐近线方程为y ＝±2
2x ，因为双曲线
的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±22x 的距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|
2＋4
＝ 3. 答案：A
7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )
A.83
B.38
C.43
D.34
解析：取DA →，DC →，DD 1→
分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．故A 1到平面AB 1D 1
的距离为d ＝|AA 1→
·n ||n |＝4
3
.
答案：C
8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2
＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )
A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8
解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.
答案：C
9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是( )
A.????
??
π2
B.??????????α??? π6≤α≤
π2 C.??????????α??? π4≤α≤
π
2 D.??????
????α???
π3
≤α≤
π
2 解析：取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM ，易证D 1N ⊥平面ADEM .本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．
答案：A
10．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的一点，
若PF 1→·PF 2→
＝0，tan ∠PF 1F 2＝1
2
，则此椭圆的离心率为( )
A.12
B.23
C.13
D.53
解析：由PF 1→·PF 2→
＝0，得△PF 1F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，
设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2，∴e ＝c a ＝5
3
，故选D.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．若命题“?x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值围是________．
解析：原命题的否定形式为?x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0，为真命题．即
2x 2－3ax ＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2.
答案：[－22，22]
12．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →
＝4，则动点P 的轨迹方程是__________．
解析：由OP →·OA →
＝4得x ·1＋y ·2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.
答案：x ＋2y －4＝0
13．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为边长是1的正方形，PA ＝2，则AB 与PC 的夹角的余弦值为__________．
解析：因为AB →·PC →＝AB →·(PA →＋AC →)＝AB →·PA →＋AB →·AC →
＝1×2×cos 45°＝1，又|AB →|＝1，|PC →
|＝6，
∴cos 〈AB →，PC →〉＝AB →·PC →
|AB →||PC →|＝11×6＝6
6.
答案：
6
6
14．过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2
的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________．
解析：由题意，如图，在Rt △AOF 中，∠AFO ＝30°，
AO ＝a ，OF ＝c ， ∴sin 30°＝OA OF ＝a c ＝1
2.
∴e ＝c
a
＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：
f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，
数m 的取值围．
解：由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ， 所以m －1<0，m <1；
因为f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 所以5－2m >1，m <2.
即命题p ：m <1，命题q ：m <2.
因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．
当p 真q 假时应有???
?? m <1，m ≥2，m 无解．
当p 假q 真时应有???
??
m ≥1，
m <2，
1≤m <2.