第七章量子力学的矩阵形式与表象变换习题
一． 选择题
99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是
)
'exp(21
)('x p i
x P πψ=
,它在动量表象中的表示是D A.δ(')p p -. B.δ(')p p +. C.δ()p . D.δ(')p .
100.力学量算符 x
对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是A
A.δ(')x x -.
B.δ(')x x +.
C.δ()x .
D.δ(')x .
101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为
)(22)(22)(21x x x ψψψ-=
,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()
x 在能量表象中的表示是D
A.?
?
?
?
?
??
?? 02/22/2.B.??
?????
?
?- 02/22/2.C.222200//?? ???????.D.222200//-?? ????
???.
102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是C A.??????? ?? 001. B. ??????? ?? 010. C. 1000?? ??????. D. 0100?? ???
?
??.
103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是D
A.
???????? ??++ 0//2222b a b b a a . B. ??????? ??++0//02222b a b b a a . C.
?
??????
?? 0b a .
D. 00a b ?? ??????.
104.在( , L L z 2)的共同表象中,波函数
φ=?? ?????22101,在该态中 L z 的平均值为 A
A. .
B. - .
C. 2 .
D. 0.
105.算符
Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符
(,)F x i x ??在 Q 表象中的矩阵元的表示是B
A.
F u x F x i x u x dx mn n m =?*
()(,)() ??. B.F u x F x i x u x dx mn m n =?*
()(,)() ??.
C.
F u x F x i x u x dx mn n m =?()(,
)()* ??. D.F u x F x i x u x dx mn m n =?()(,)()*
??.
106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是A
A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.
D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.
107.力学量算符x
?在动量表象中的微分形式是A A.
-i p x
?
?. B.i p x ??. C.
-i p x 2??. D.i p x 2
??. 108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是B
A.p p 22222212μμω??+ .
B.p p 222
2
212μμω??-. C.22222212p p ??μωμ -.
D.--p p 222
2212
μμω
??. 109.在 Q 表象中
F =?? ???0110,其本征值是A A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i .
110. 在 Q 表象中
F =?? ???0110, F 的归一化本征态分别为A A.22112211?? ???-?? ???,. B. 1111?? ???-?? ???,. C. 12111211?? ???-?? ???,.
D.
22102201?? ????? ???,. 111.幺正矩阵的定义式为A
A.S S +-=.
B.S S +=*.
C.S S =-.
D.S S *=-. 112.幺正变换B
A.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.
B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.
C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.
D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.
113.算符 ()( )/a
x
i
p
=+μω
μω
212
,则对易关系式
[ , ]a a +
等于B A. [ , ]a
a +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.
二． 填空题
1. Q 表象是以Q 的本征函数系(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有
()()x u Q x u Q n n n =
()()x u t a n n ∑=ψ
()()()()
)(,,)(,)(,*
**t a t a t a t a t a t a n n 21+21=???
?
??
?
?
?
=ψψ
2. 算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是
dx
Fu u F m n nm ?=*
3. 选定表象后，算符和量子态都用 表示。矩阵
4. 平均值公式是 ψψF F +
= 5. 归一化条件是 I =+
ψψ
6. 本征值方程是 ψλψ=F
7. 在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足 ；
1-+=S S
8. 在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足1
-+=S S ；态的变换是 。 a S b +
=
9. 在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足1
-+=S S ；
态的变换是a S b +=；算符的变换是 。 FS S F +
='
10. 幺正变换不改变算符的 。 本征值 11. 量子态可用狄拉克符号 或 表示。 右矢A 左矢A
12.已知坐标表象),(),(t x t x F ?ψ=，用狄拉克符号表示为 >>=φψ||F
13. 已知坐标表象),(),(t x H t x t
i ψψ=?? ，用狄拉克符号表示为 >>=??
ψψ||H t
i
14. 已知坐标表象)()(x u E x Hu n n n =，用狄拉克符号表示为 >>=n E n H n ||
15. 已知坐标表象?=mn n m
dx x u x u δ)()(*
，用狄拉克符号表示为 mn n m δ>=<|
16. 已知坐标表象)()(x u c x n n
n ∑=ψ，用狄拉克符号表示为
>>=∑n c n
n ||ψ
17. 已知坐标表象dx x x u c n n )()(ψ?=，用狄拉克符号表示为 >=<ψ|n c n
18. 已知坐标表象?=dx x F x F )()(*ψψ，用狄拉克符号表示为 >=<ψψ||F F
19. 已知坐标表象1)()(*=?dx x x ψψ，用狄拉克符号表示为 1|>=<ψψ
20. 湮灭算符的表达式为 )??(22
1
p i x a μωμω+?
?
?
??=
21产生算符的表达式为
)??(22
1
p i x
a μωμω-??? ??=+
22. 粒子数算符的表达式为
a a N +
= 1
-=n n n a
11++=+n n n a 23.常用的表象有 、 、 、
能量表象 坐标表象 动量表象 自身表象 24. 任意态Ψ（x,t ）在坐标表象的表示是 Ψ（x,t ） 25. 若某一态波函数是以坐标为自变量,那么它就是在 表象的表示,就是某一态以 展开的系数. 坐标 坐标本征函数
26. 坐标的本征函数在坐标表象里表示为
)(r r '-
δ
27. 动量的本征函数在动量表象里表示为
)(p p '- δ
28.
量子力学表示体系的一切可能状态的态矢量构成 空间
希尔伯特
29. 表示动量算符的本征态，本征值为 >p p
30. 右矢空间和左矢空间称为 伴空间或对偶空间
31.<ψ | 和 |ψ> 称为 。 伴矢量
32. 左矢<表示右矢>的共轭矢量，二者的性质不同，不能相加，它们在同一表象中互为 共轭复数 33. 如果右矢>A 在Q 表象中的分量为，a a a n },,{21????那么左矢
A <在Q 表象中的分量为
}**,*,{21????n a a a
34. 对于一个自由运动的粒子，当描述它的波函数 )(r
ψ给定
后，如果测量其位置，则粒子出现在 r
点的几率密度
为 。 2
)(r ψ
35. 对于一个自由运动的粒子，当描述它的波函数 )(r
ψ给定
后，如果测量其位置，则粒子出现在 r
点的几率密度为 2)(r ψ。如果测量其动量，则测得动量为 p
的几率密度
为 。
2)(p ? 36. 如果本征值 i f 有简并，则和这一本征值对应有无穷多本
征矢。这些本征矢形成一个 空间。 线性矢量
37. 厄米算符F 对应于不同本征值得本征矢 。
相互正交
38.
三．问答题
1. 全同粒子体系的波函数应满足什么条件？
答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。
2. 幺正变换具有什么性质？
答：不改变矩阵对本征值、不改变矩阵的迹。
3.狄拉克符号的最大好处是？
答；它可以不依赖于表象来阐述量子力学理论，而且运算简洁。4.什么是粒子占有数表象？
答；以线性谐振子的粒子数算符N或者哈密顿H的本征态n为基矢的表象。
5.什么叫表象？
答；量子力学中态和力学量的具体表示方式成为表象
6.什么叫Q表象？
答；量子力学把选定的算符?Q与正交归一完备的本征函数{U n}称之为Ｑ表象。
7. Δ表象表示与三维空间的矢量表示类比。
答；三维空间的矢量表示
a.取一个坐标系，相当取三个基矢：
,
,
,
3
2
1
e
e
e
三个基矢是正交归一的： e i ·e j =δij
b.任一矢量Ａ可按基矢{e i }展开： Ａ＝x 1e 1+x 2e 2+x 3e 3
矢量Ａ可按展开系数即坐标来表示： Ａ＝(x 1,x 2,x 3)
c.同一矢量，取不同的坐标系，其坐标表示是不同的。不同的坐标系的基矢之间可以变换。 8.简述表象与三维空间的类比 答；a.Ｑ表象→三维空间坐标系；
Ｑ表象本征函数(基矢)→三维空间坐标系的基矢,都是正交归一,但Ｑ表象是多维的，甚至是无限维的。 b.态函数（叫态矢）→三维空间的矢量； Ｑ表象态函数的表示→三维空间矢量坐标表示, 都用展开的系数来表示。
c.同一态矢在不同表象的表示是不同的，不同表象的基矢之间可以变换（叫表象变换）→坐标系之间变换。二者变换都是么正变换。 9.推导平均值公式。
答；先将波函数),(t x ψ按Q 的本征函数展开
)()(),(x u t a t x n n n
∑=ψ
)(*)(*),(*x u t a t x n n n
∑=ψ （1）
代入平均值公式：dx t x F
t x F ),(?),(*ψψ=? dx x u t a F x u t a F n
n n
m m m )()(?)(*)(*∑∑
?
= )(])(?)(*[*)(t a dx x u F x u t a n
n m m m
n
?∑∑= )(*)(t a F t a n mn m m
n
∑∑= （2）
（2）式写成矩阵相乘形式为：
()???????
?
???
?
?
?
??
?
? ??=
)()()()(*,),(*),(*212122221
11211
21t a t a t a F F F F F F F F F t a t a t a F n mn m m n n
m 或者简写为： ψψ=F F * （3） 10. 么正变换的主要性质？
答；（1）么正变换不改变算符的本征值
（2）么正变换不改变矩阵的迹 （3）矩阵方程式经过么正变换保持不变 11. 狄喇克符号的两个优点是？
答；一是运算简捷，二是无须用具体表象讨论问题。这一节将介绍狄喇克符号的有关规定。 12. |A> 和 答；1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭； 2）由于二者属于不同空间，所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加； 3）右矢空间中任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。 13.列举几个关于量子力学公式用狄喇克符号表示的式子。 答；平均值公式：>=<ψψ|?|F F 本征方程：ψλψ>=|?F +=F ?ψλψ，对力学量算符：F ?ψλψ=， 薛定谔方程：>ψ>=ψ?? H t i 14. 力学量F 的本征方程ψλψ>=|?F 在Q 表象中可表示成？ 答； ><>=><<=><∑ψλψψn m m F n F n m ||?| 即 ： 0)(=-∑m mn mn m c F λδ 15.简述a,+a 的物理意义。 答； x x i x x p x a ?? ?? +=+=-=2 1 2121 2]?[]??[?22 αα αα αα （6） x i x p x a ?? +-=+=2 1 21 2]??[?2 αα αα （7） 将a 作用在能量本征态)(x n αψ上： n x n x a ψψαα][?212??+=n x n x ψψαα ?? +=212 （8） 由递推公式：12 1 1 121++-+=n n n n n x ψψψα （9） 12 112 ++-??-=n n n n n x ψαψα ψ （10） （9）、（10）代入（8）式得： ][][?121122112 11 121 2 ++-++--++=n n n n n n n n n a ψαψα ψψψαααα 1-=n n ψ （11） 用Dirac 符号表示为：>->=1||?n n n a （12） 同理有：11?+++=n n n a ψψ （13） >++>=+1|1|?n n n a （14） 其中 |n>, |n-1>, |n+1> 等都是H 的本征基矢，En, En-1, En+1是相应本征值 因为 振子能量只能以 ω为单位变化，所以 ω能量单位可以看成是一个粒子，称为“声子”，状态 |n > 表示体系在此态中有 n 个粒子（声子）称为 n 个声子态。 显然有00>=n ,>0为振子基态的基矢 由（12）可看出算符a 为粒子湮灭算符，由（14）可看出+a 为粒子产生算符。下面进一步考察+a 的物理意义。 因为：>++>=+10|100|?a >>=→+0|?1|1 1 a >++>=+11|111|?a >>= →+1|?2|2 1 a >=++0|??1 1 21a a >=+0|)?(2! 21a 同理：………………>>= +0|)?(|! 1 n n a n 即用+a 作用>0（真空态）n 次，将产生n 个声子 16. 简述N 的物理意义。 >>=+n a a n N |??|?>-=+1|?n n a >+-=n n n |1)1(>=n n | 上式表明， n 是N 算符的本征值，描写粒子的数目，故N 称为粒子数算符。 17.写出湮灭算符a 的矩阵元。 答>' n |?|>-'<=1|n n n 1-'=n n n δ 写成矩阵形式： ??????? ? ??= 030000020000010a 18.写出产生算符+a 的矩阵元。 答；>'<+n a n |?|>+'<+=1|1n n n 11+'+=n n n δ 即：?????? ?? ? ?=+ 0030000020000010 00 a 19.写出粒子数N 的矩阵元 答；>'>=<'<+n a a n n N n |??|?>-'<=+1|?n a n n >'<=n n n n |(n n n '=δ 所以N 的矩阵元为： ??????? ? ? ?= 30000 20000100 000N 注意：0，1，2，3……矩阵的行列式按此顺序编号 20.简述态矢量满足叠加原理。 答；如果 a ， b 是两个态矢量，则： b a c βα+= (1) 也是一个态矢量，其中 α， β是两个任意复数。 21. 态矢量的点积有什么特性？ 答；① b a 是一个复数 ②两个矢量点积的共轭，等于它们各自的共轭按相反的方向 取点积： a b a b b a ==+ + + ))(( （1） ③由于 b a 是一个普通的复数，所以它的共轭就是复共轭，因而 a b b a =* （2） 由于(1)，(2)两式可知： * b a b a =+ 22.简述Hilbert 空间中算符的定义。 答；Hilbert 空间中算符F 是一种对应规则，它将Hilbert 空 间中的任意矢量对应成另一矢量： c a F = (1) 注意：①由于矢量本身是抽象的矢量，所以算符F 也不能写 成具体形式，只能用对应关系式(1)来定义。为此，我们在算符上面未加∧号，以区别具体表象中的算符。 ②如果算符F 满足以下条件 b F a F b a F βαβα+=+)( (2) 则称F 为线性算符。 23.简述线性算符F 的厄米共轭算符定义。 答；+ + + ==F a F a a F )()( 于是： a F a F b b F a b F a + ++++ ===)()()(* 显然有： F F =++)( 如果线性算符F 和它自身厄米共轭 F F =+ 则称F 为厄米自共轭算符，简称厄米算符。 24. 四． 证明题 1. 设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ， JM j 2 ψ()()21212 121jm jm m m JM m j jm ψψ∑= （1） 利用CG 系数的对称性，证明 () JM j J j JM j p 2 2212ψψ--= 由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数 证：由式（1）， JM j p 212ψ()()12212 121jm jm m m JM jm jm ψψ∑= 把21m m ?, ()()12122 112jm jm m m JM jm jm ψψ∑ = 利用CG 系数的对称性 ()()()21212 112212jm jm m m J j JM m j m j ψψ∑--= () JM j J j 2 2ψ--= (2) 对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ， 即要求()12-=--J j ，所以J 必须为偶数。 12max -=j J ，（j J 2m a x =情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此 ()()0,2,32,12 --=j j J 可验证：态JM j 2 ψ的总数为()12+j j 。 [()()1212120 +=+∑-=j j J j J ]。 对于Bose 子，=j 整数，=j 2偶数，但要求ψψ=12p 即()12=--J j ，故J 也必须为偶数 0,2,22,2 -=j j J 2. 设原子中有两个价电子，处于nl E 能级上，按LS 耦合方案， L L =+21，s s =+21，=+（总角动量） 证明： （a ）s L +必为偶数； （b ）s L s L J -+=,, 。当0=s 时，L J =（偶）； 1=s 时， 1,,1-+=L L L J ，J 可以为奇，也可以为偶。 证： 自旋的耦合：2121==s s ，???=).(0) .(1反对称，单态对称，三重态s 轨迹角动量的耦合：l l l ==21，.0,1,,12,2 -=l l L 其中=L 偶是对称态，=L 奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以 0=s 时，.0,,22,2 -=l l L 1=s 时，.1,,12,2 -=l l L 在两种情况下，s L +都为偶数，但 s L s L J -+=,, 对于0=s ，==L J 偶； 1=s ，1,,1-+=L L L J 。 J 可以为奇，也可以为偶 3. 大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态00jj ψ， 证明 z z j j 21-=j j j --=,,1, 的几率却相等，即()121+j 。 提示：利用 () 1200+-=--j m jmj m j 证：Dirac 符号表示，有 00jj ψJM j j 21=00jj =， JM JM j j =21∑=1 22112 211m JM m j m j m j m j （1） 在本题的情况下，j j j ==21，0==M J ，m m m 令 21-=。 则（1）成为 00jj ∑--=m m jmj m jmj 00 （2） 其中 00m jmj -即为耦合表象中的态00jj 用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG 系数，其模即表示体系处于00jj 态时，测得z j 1取值m （同时z J 2取值m -，m 取j j j --,,1, 各可能值）的几率。 由提示，()1200+-=--j m jmj m j （3） 1 21 00 2 += -∴j m jmj （4） 即，对于给定的j j j ==21所合成的态00jj ψ，z z j j 21-=j j j --=,,1, 的几率与m 的具体取值无关，皆为()121+j 。 4. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d ψψψμ=+- ① 将式中的)(x x -以代换，得 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d -=--+--ψψψμ ② 利用)()(x U x U =-，得 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d -=-+--ψψψμ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的 粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③， )()( x c x ψψ=-? ④ 由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()( x c x -=?ψψ ⑤ ④乘 ⑤，得 )x ()x (c )x ()x ( 2-=-ψψψψ 可见，12=c 1±=c 当1+=c 时，)x ()x ( ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()( x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称， 当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称 5. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J 2 sin m n e r m e J ψθ μ?= 证：电子的电流密度为 )(2* *m n m n m n m n e i e J e J ψψψψμ ?-?-=-= ?在球极坐标中为 ? θθ?θ?? +??+??=?sin 11r e e r r e r 式中?θe e e r 、、为单位矢量 ])sin 11( )sin 11([2* *m n r m n m n r m n e r e e r r e r e e r r e i e J e J ψ? θθψψ? θθψμ?θ?θ??+??+??-??+??+??-=-= )]sin 1sin 1()1 1()([2* **** *m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n r r r e r r e r r e ie ψ? ψθψ?ψθψθψψθ ψψψψψμ?θ??-??+??-??+??-??- = m n ψ中的r 和θ部分是实数。 ∴ ?ψψθμe im im r ie J m n m n e )(sin 222--- = ?ψθ μe r m e m n 2sin -= 可见，0==θe er J J 2 sin m n e r m e J ψθ μ?- = 6. 证明泡利矩阵满足关系i z y x =σσσ。 【证】. 7. 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。 证明：考虑一维情况 为厄密算符, 为厄密算符, 为实 数 为厄密算符 为厄密算符 8. 证明：i z y x =σσσ ??? 证明：由对易关系z x y y x i σσσσσ ?2????=-及反对易关系0????=+x y y x σσσσ ，得 z y x i σσσ? ??= 上式两边乘z σ?，得2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ??? 9. 证明幺正变换不改变矩阵的本征值。 证：设F ?在A 表象中的本征值方程为a Fa λ=，λ为本征值，a 为本征矢。将F ?和a 从A 表象变换到B 表象，则有a S b FS S F 11,--=='。在B 表象中 () a S a S Fa S a S FS S b F 11111-----===='λλ，即b b F λ='。从而说明算符F ?在B 表象中的本征值仍是λ。 10.证明么正变换不改变厄密矩阵的厄密性 证明：设在A 表象中，F F ∧ + ∧=，则在B 表象中：FS S F 1-=' 所以：F FS S S F S FS S F '===='-+-+++-+111)()( 证明完毕！ 11.证明矩阵方程式经过么正变换保持不变 若矩阵方程 表象A ： ）F F λψψφψ=??=( 则 表象B ： ）F F ψλψφψ'=''??'=''( 证明： φφψφψ'==='=''----111 1S F S F S S S F 12.证明么正变换不改变矩阵的迹 设经过么正变换后，矩阵F 变为F '，则： FS S F 1-=' 因为： F S F SS S FS S S F S p p p p ==='--)() (11 即：F '的迹等于F 的迹 13.证明么正变换不改变算符的本征值 设F 在A 表象中的本征方程为：Fa =λa ， 则在B 表象中： b a S a S Fa S a FSS S b F λλλ====='-----11111 （因为a S b FS S F 11,--=='） 可见，不同的表象中，力学量算符F 对应同一状态（a 和b 描写同一状态）的本征值不变，基于这一性质，解F 的本征值问题最好是把该 第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅； ( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率； ( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射． [2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ） 经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， ( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0 介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命． [4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由． ( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射． [5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器 能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1 2 ；（3）hc 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 量子力学习题第一部分 一基本概念: Plank量子论，Bohr量子论，德布罗意关系，Bohr量子化条件，波函数的统计诠释，量子力学基本假设，坐标波函数和动量波函数的关系，不确定关系，定态，守恒量，全同性原理。 二基本实验现象及规律: 黑体辐射，光电效应，Davisson和Germer实验，正常Zeeman效应，反常Zeeman效应，光谱精细结构，Stark效应，自旋存在的实验证据，Stern-Gerlach实验，自旋单态，自旋三重态。 三简单证明： 1. 若坐标波函数是归一化的，则动量波函数也是归一化的。 2. 由薛定谔方程证明几率守恒。 3. 证明定态的叠加不是定态。 4. 证明在定态下，任意力学量的平均值不随时间改变。 5. 证明在定态下，任意力学量的测值几率分布不随时间变化。 6. 证明对一维运动，若一函数是薛定谔方程的解，则其复共轭也是解，且对应于同一能级。 7. 证明对一维束缚态总可以取实函数描述。 8. 证明对于一维定态问题，若粒子处于有限阶梯形方势阱中运动，则波函数及其一阶导数连续。 9. 证明对于一维运动，若势函数具有反射不变性，则体系有确定的宇称。 10. 证明坐标和动量的对易关系。 11. 证明角动量间的对易关系。 12. 证明坐标和角动量的对易关系。 13. 证明动量和角动量的对易关系。 14. 证明厄米算符的本征值是实数。 15. 证明在任何态下平均值为实数的算符必为厄米算符 16. 证明厄米算符的本征值必为实数。 17. 证明若体系有两个彼此不对易的力学量，则体系的能级一般是简并的。 18. 证明书中求和规则（两题）。 19. 证明（）() =+ i() 20. 证明a和a+ 分别为下降和上升算符，并求它们在占有数表象下的表示。 四计算： 1. 设一维运动粒子具有确定动量，验证不确定关系。 2. 设一维运动粒子具有确定位置，验证测不准关系。 3. 设一维运动粒子用gauss波包描述，验证测不准关系。 4．一维自由运动粒子，求波函数。 5. 粒子处于一维无限深势阱中，求能级和波函数。 6. 二维无限深势阱中运动的粒子，求能级和波函数，并讨论简并度。 7. 求平面转子的能级和波函数。 8. 求角动量z分量的本征值和本征态。 9. 粒子处于一维无限深势阱中，求坐标和动量的平均值，并对结果给予解释。 10. 求带电谐振子处于外电场中时的能级和波函数。 11. 确定三维中心力场中运动粒子体系的力学量的完全集。 练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1） ) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 量子力学习题集及解答 目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128) 第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e 高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 第七章：粒子在电磁场中的运动 P367——7.1，7.2 证明在磁场B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： [] z y x c q i v v B ?,2μ = （1） [] x z y c q i v v B ?,2μ = （2） []y x z c q i v v B ? ,2 μ = （3） [证明]根据正则方程组： x x p H x v ??== ? ，Φ+?? ? ??-=q A c q p H 2 21? μ ? ? ? ?? -=x x x A c q p v ??1?μ 同理 ? ? ? ? ?-=y y y A c q p v ??1?μ ()z y x p p p p ?,?,?? 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： [] ? ? ????--=y y x x y x A c q p A c q p v v ??,??1,2μ ] [] y x A A c q ?,?2 2 μ+ （4） [] 0?,?=y x p p 又A ? [] z x y y x B c y x i c v v 22 ,μμ = ??? ??-?? = （因A B ??=??） 其余二式依轮换对称写出。 P368证明在规范变换下 ψψρ* = （1） [ ]ψψμψψψψμ * * *- -=A c q p p j ??21 （2） ??? ? ?-=A c q p v ?μ （机械动量的平均值）都不变 （3） （证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式） ψψc iqf e → （4） 则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度： ρ ρψ ψψψψψ ρ='=?=??? ? ? ???? ? ? ?='* * -* c iqf c iqf c iqf c iqf e e e e 又设变换后几率流密度是j '，将（4）代入（2）式右方，同时又代入 ()t r f A A , ?+→ ψψψψμc iqf c iqf c iqf c iqf e P e e p e j * - * -????? ?-='21 （5） 注意到算符的对易关系 推广到三维：() )(F )(F ,?r i r p ??=? 6） 令c iqf e r =)(F 则有： c iqf e p -=e p c iqf （7） =-e p c iqf (8) 将（7）（5）式成为： ()() j A c q p p f A c q f c q p e e f c q p e e j c iqf c iqf c iqf c iqf =--=?+-????????? ???--??? ???+=* ***-*-ψψμψψψψμψψμψψψψμ2121 （9） 在证明第3式时，设变换后的v 是v ' 。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和)4('的矢势的变换式： 第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 量子力学习题答案 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 7.1.证明：i z y x =σσσ ??? 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσ ?2????=- 及 反对易关系 0????=+x y y x σσσσ ， 得 z y x i σσσ ???= 上式两边乘z σ ?，得 2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ ??? 7.2 求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的测不准关系： ?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ ???? ??=01102? x S ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(?2 22 2 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?222 2 121 =??? ? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 =??y x S S ① 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求 4 )()(2 2 2 2z y x S S S ≥?? 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ?? 可见①式符合上式的要求。 7.3.求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的本征方程为01102a a b b λ??????= ??? ? ?????? 移项得: 20 2 a b λ λ? ? - ???= ? ? ???- ??? x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ 可得 20)2(22 ±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 ±。 设对应于本征值2 的本征函数为 ???? ??=112/1b a χ 由本征方程 2 /12/12 ?χχ =x S ，得 第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用 高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符 ()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ量子力学作业习题
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