人教备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析附答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．

（1）求证：AE⊥DE；

（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；

（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据

AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．

试题解析：（1）证明：连接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠OCA，

∵

∴∠BAC=∠EAC，

∴∠EAC=∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE切⊙O于点C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴△ABC是直角三角形，

∵∠CBA=60°，

∴∠BAC=∠EAC=30°，

∵△AEC为直角三角形，AE=3，

∴AC=2，

连接OF，

∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，

∴△OAF为等边三角形，

∴AF=OA=AB，

在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，

∴BC=2，

∴AB=4，

∴AF=2．

考点：切线的性质．

2．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）3

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出

∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；

（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.

试题解析：（1）连接CD,如图,

∵AD是⊙O的直径,

∴∠ACD=90°,

∴∠CAD+∠D=90°，

∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，

∴∠CAD+∠PAC=90°，

即∠PAD=90°，

∴PA⊥AD，

∴PA是⊙O的切线；

（2）∵CF⊥AD，

∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，

∴∠ACF=∠D，

∴∠ACF=∠B，

而∠CAG=∠BAC，

∴△ACG∽△ABC，

∴AC：AB=AG：AC，

∴AC2=AG?AB=12，

∴AC=23．

3．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M 的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；

（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）

【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－24

7

，

24

7

）；（3）M（－2，2）

【解析】

分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；

（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=3

4

x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代

入y=3

4

x+6得出关于a的方程，求出即可．

（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据

S△ABC=1

2

AO?ME+

1

2

BO?MF+

1

2

AB?MG=

1

2

AO?BO求得r=2，据此可得答案．

详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：

设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，

∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）如图2，连接ME，MF，

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴

80

6

k b

b

-+=

?

?

=

?

，解

得：k=3

4

，b=6，即直线AB的函数关系式是y=

3

4

x+6．

∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M

（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=3

4

x+6，得：﹣a=

3

4

a+6，得：a=﹣

24 7，∴点M的坐标为（﹣

2424

77

，）．

（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，

∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设

ME=MF=MG=r，则S△ABC=1

2

AO?ME+

1

2

BO?MF+

1

2

AB?MG=

1

2

AO?BO．

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB=22

AO BO

+=10，

∴1

2r?8+

1

2

r?6+

1

2

r?10=

1

2

×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，

2）．

点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O

相切．

4．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA 的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．

（1）求证：BF=EF：

（2）求证：PA是⊙O的切线；

（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.

【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2

【解析】

分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；

（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；

（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．

详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，

∴EB⊥BC.

又∵AD⊥BC，

∴AD∥BE.

∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，

∴BF

DG

=

CF

CG

，

EF

AG

=

CF

CG

，

∴BF

DG

=

EF

AG

，

∵G是AD的中点，∴DG=AG，

∴BF=EF；

(2)连接AO，AB.

∵BC是圆O的直径，

∴∠BAC=90°，

由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，

又∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO，

∵BE是圆O的切线，

∴∠EBO=90°，

∴∠FBA+∠ABO=90°，

∴∠FAB+∠BAO=90°，

即∠FAO=90°，

∴PA⊥OA，

∴PA是圆O的切线；

（3）过点F作FH⊥AD于点H，

∵BD⊥AD，FH⊥AD，

∴FH∥BC，

由(2)，知∠FBA=∠BAF，

∴BF=AF.

∵BF=FG，

∴AF=FG，

∴△AFG是等腰三角形.

∵FH⊥AD，

∴AH=GH，

∵DG=AG，

∴DG=2HG.

即

1

2

HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°， ∴四边形BDHF 是矩形， ∴BD =FH ， ∵FH ∥BC ∴△HFG ∽△DCG ， ∴1

2

FH HG CD DG ==， 即1

2

BD CD =， ∴

23

2.15≈， ∵O 的半径长为32， ∴BC =62， ∴BD =

1

3

BC ＝22. 点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.

5．如图，OB 是以（O ，a ）为圆心，a 为半径的⊙O 1的弦，过B 点作⊙O 1的切线，P 为劣弧OB 上的任一点，且过P 作OB 、AB 、OA 的垂线，垂足分别是D 、E 、F ． （1）求证：PD 2=PE?PF ；

（2）当∠BOP=30°，P 点为OB 的中点时，求D 、E 、F 、P 四个点的坐标及S △DEF ．

【答案】（1）详见解析；（2）D （﹣

34a ，34a ），E （﹣334

a ，34a ），F （﹣32a ，

0），P 3，2a ）；S △DEF 33a 2

．

【解析】

试题分析：（1）连接PB ，OP ，利用AB 切⊙O 1于B 求证△PBE ∽△POD ，得出

PB PE OP PD = ，同理，△OPF ∽△BPD ，得出PB PD

OP PF

= ，然后利用等量代换即可． （2）连接O 1B ，O 1P ，得出△O 1BP 和△O 1PO 为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D 、E 、F 、P 四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF 的面

积．

试题解析：（1）证明：连接PB，OP，

∵PE⊥AB，PD⊥OB，

∴∠BEP=∠PDO=90°，

∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，

∴△PBE∽△POD，

∴=，

同理，△OPF∽△BPD

∴=，

∴=，

∴PD2=PE?PF；

（2）连接O1B，O1P，

∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，

∴∠ABP=30°，

∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，

∵O1B=O1P，

∴△O1BP为等边三角形，

∴O1B=BP，

∵P为弧BO的中点，

∴BP=OP，

即△O1PO为等边三角形，

∴O1P=OP=a，

∴∠O1OP=60°，

又∵P为弧BO的中点，

∴O1P⊥OB，

在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，

∴O1D=a，OD=a，

过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，OM=DM=a，

∴D（﹣a， a），

∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°

∴∠POF=30°，

∵PE⊥OA，

∴PF=OP=a，OF=a，

∴P（﹣a，），F（﹣a，0），

∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，

∴∠ABP=∠BOP=30°，

∵PE⊥AB，PB=a，

∴∠EPB=60°

∴PE=a，BE=a，

∵P为弧BO的中点，

∴BP=PO，

∴∠PBO=∠BOP=30°，

∴∠BPO=120°，

∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，

即OPE三点共线，

∵OE=a+a=a，

过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，

∴∠EOA=30°，

∴EM=OE=a，OM=a，

∴E（﹣a， a），

∵E（﹣a， a），D（﹣a， a），

∴DE=﹣a﹣（﹣a）=a，

DE边上的高为： a，

∴S△DEF=×a×a=a2．

故答案为：D（﹣a， a），E（﹣a， a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．

6．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M 为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问

BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．【解析】

试题分析：（1）连结OB、OD，如图1，由于D为BC的中点，由垂径定理的推理得

OD⊥BC，∠BOD=∠COD，即可得到∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，于是得到AB是⊙O的切线；

（2）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，由△ABC为正三角形，D为BC 的中点，得到AD平分∠BAC，∠BAC=60°，利用角平分线性质得DM=DN，得

∠MDN=120°，由∠EDF=120°，得到∠MDE=∠NDF，于是有△DME≌△DNF，得到ME=NF，

得到BE+CF=BM+CN，由BM=1

2

BD，CN=

1

2

OC，得到BE+CF=

1

2

BC，即可判断BE+CF的值是

定值，为等边△ABC边长的一半．

试题解析：（1）连结OB、OD，如图1，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，

∴∠ODB=90°，∵∠BMC=1

2

∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC为正三

角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切线；

（2）BE+CF的值是为定值．

作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DM=DN，∠MDN=120°，∵∠EDF=120°，

∴∠MDE=∠NDF，在△DME和△DNF中，∵∠DME=∠DNF．DM=DN，∠MDE=∠NDF，∴△DME≌△DNF，∴ME=NF，∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN，在Rt△DMB中，

∵∠DBM=60°，∴BM=1

2

BD，同理可得CN=

1

2

OC，∴BE+CF=

1

2

OB+

1

2

OC=

1

2

BC，∴BE+CF

的值是定值，为等边△ABC边长的一半．

考点：1．切线的判定；2．等边三角形的性质；3．定值问题；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．

7．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．

【答案】（1）详见解析；（2）35 2

.

【解析】

【分析】

(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出

OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果

【详解】

（1）证明：连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠3＝∠B，

∵∠B＝∠1，

∴∠1＝∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，

∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，

则AD为圆O的切线；

（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，

∵OF⊥BD

∴DF＝BF＝1

2

BD＝3

∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°

∴AD＝22

AC CD

＝25

∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD

∴BF

AC = OB AD

即3

4

=

25

∴OB＝35

∴⊙O的半径为35．

【点睛】

此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键

8．在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且

x1≠x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q 互为“向善点”．如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图．已知点A的坐标为（1，

3），点B的坐标为（m，0）

（1）在点M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，3A点互为“向善点”的是

_____；

（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；

（3）⊙B3⊙B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范

围．

【答案】（1）S ，T ．（2）直线AB 的解析式为y ＝3x 或y ＝﹣3x +23；（3）当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”． 【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S ，T 与A 点互为“向善点”； （2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m 的分式方程，解之经检验后可得出点B 的坐标，根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；

（3）分⊙B 与直线y=3x 相切及⊙B 与直线y=-3x+23相切两种情况求出m 的值，再利用数形结合即可得出结论． 【详解】 （1）∵

30330,3tan 601(1)221?--===---，333

3tan 6031

?-==-，

∴点S ，T 与A 点互为“向善点”． 故答案为S ，T ． （2）根据题意得：

30

3-=， 解得：m 1＝0，m 2＝2，

经检验，m 1＝0，m 2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意， ∴点B 的坐标为（0，0）或（2，0）． 设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将A （1，

），B （0，0）或（2，0）代入y ＝kx +b ，得：

30k b b ?+=??

=??3

20k b k b ?+=??+=?? 解得：30k b ?=??=??323

k b ?=??=??，

∴直线AB 的解析式为y 3或y 33．

（3）当⊙B 与直线y 3相切时，过点B 作BE ⊥直线y 3于点E ，如图2所示．

∵∠BOE ＝60°， ∴sin60°＝

3

2

BE OB

， ∴OB ＝2， ∴m ＝﹣2或m ＝2；

当⊙B 与直线y ＝﹣3x +23相切时，过点B 作BF ⊥直线y ＝﹣3x +23于点F ，如图3所示．

同理，可求出m ＝0或m ＝4．

综上所述：当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”． 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A 点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B 与直线y=3x 相切及⊙B 与直线y=-3x+23相切两种情况考虑．

9．如图，⊙O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，AC ＝4，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点E ． （1）求∠AEC 的度数；

（2）求证：四边形OBEC 是菱形．

【答案】（1）30°；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，根据圆周角定理得到∠AEC＝30°；（2）根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，则∠EAB＝30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBE C为平行四边形，再由OB ＝OC，即可判断四边形OBEC是菱形．

【详解】

（1）解：在△AOC中，AC＝4，

∵AO＝OC＝4，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠AOC＝60°，

∴∠AEC＝30°；

（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．

∴OC∥BD．

∴∠ABD＝∠AOC＝60°．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．

∴∠EAB＝∠AEC．

∴CE∥OB，又∵CO∥EB

∴四边形OBEC为平行四边形．

又∵OB＝OC＝4．

∴四边形OBEC是菱形．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．

10．如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)

(1)在如图中，过点作边上的高．

(2)在如图中，过点作的切线，与交于点．

【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析.【解析】

【分析】

（1）连接AC交圆于一点F，连接PF交AB于点E,连接CE即为所求．

（2）连接OF交BC于Q，连接PQ即为所求．

【详解】

(1)如图1所示．(答案不唯一)

(2)如图2所示．(答案不唯一)

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．