高中数学立体几何定理总结
平行判定总结
一、线线平行的判定
1.定义:在同一平面内,没有公共点的两条直线.
b a b a b a //???
???Φ=?? αα
2.平行于同一条直线的两条直线互相平
行.
c a c b b a //////??
??
3.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行.
m l m l l ////???
???=?βαβα
4.如果两个平行平面同时与第三个平面
相交,那么它们的交线平行.
b a b a ////???
???==γβγαβα
5.垂直于同一平面的两条直线平行.
b a b a //??
??⊥⊥αα
二、线面平行的判定 βαm l γb
a βα
1.定义:直线与平面无公共点.
αα//a a ?Φ=
2.如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线
和这个平面平行.
三、面面平行的判定
1.定义:两个平面没有公共点.
βαβα//?Φ=
2.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面
互相平行.
3. 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平面平行.
α
αα////l m l m l ????????βαββαα//////?????
?????=??b a A b a b a
βαβα//////???
???=A b a a a
垂直判定总结
一、线线垂直
1.定义:两直线所成角为90o .
2.线面垂直的性质:若直线垂直平面,则直线垂直平面内的任何直线. a l a l ⊥??
???⊥αα 3.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,
那么它也和这条斜线垂直.
4.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线
垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
二、线面垂直
1.定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条
直线都垂直,就说这条直线和这个平面互相垂直.
2. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于
PA a AB a a PB A PA ⊥????
????⊥?⊥=ααα AB a PA a a PB A PA ⊥????
????⊥?⊥=ααα
这个平面.
ααα⊥?????
?????=??⊥⊥l B n m n m n l m l
3. 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
三、面面垂直
1.定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角平面角是直角,就说两个
平面互相垂直.
2. 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
垂直. βαβαβα⊥????
????⊥?=⊥a b a a b β
βαβα⊥??????⊥?=b b b a
立体几何公理及定理
立体几何公理及定理 一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有: 2、两个平面的位置关系有: 公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理2、过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。 推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。 公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4(平行公理)、平行于同一直线的两直线平行。 二、平行关系 直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 直线与平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与平面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 平面与平面平行的性质定理: 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 2、两平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。 三、垂直关系 直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直。 直线与平面垂直的性质定理: 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理: 如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ
高级中学数学公式定理汇总
高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个;真子集有个;非空子集有个;非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式 (3)零点式;当已知抛物线与轴的交点坐标为时,设为此式 4切线式:。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时,设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若,则; ,,. (2)当a<0时,若,则, 若,则,. 9.一元二次方程=0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或; 2方程在区间内有根的充要条件为 或或; 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如,,不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。
(3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立,则;若恒成立,则;若有解,则 ;若 有解,则 ;若 有解,则 . 若函数无最大值或最小值的情况,可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有,成立 存在某,不成立 或 且 对任何,不成立 存在某,成立 且 或 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假
立体几何常考定理总结八大定理
l m β α α b a 立体几何的八大定理 一、线面平行的判定定理:线线平行?线面平行 行,则这条 文字语言:如果平面外.的一条直线与平面内.的一条直线平直线与平面平行. 符号语言://a b a b αα?? ? ???? ?//a α 关键点...:.在.平面内...找一条与....平面外...的.直线平行的线...... 二、线面平行的性质定理:线面平行?线线平行 文字语言:如果一条直线和一个平面平行,经过.. 这条直线的平面和这个平面行. 相交..,那么这条直线就和交线.. 平符号语言://l l m α βαβ? ? ????=? ?//l m 关键点:需要......借助一个....经过已知直线......的.平面..,接着找交线。....... 三、面面平行的判定定理:线面平行? 面面平行 文字语言:如果一个平面内.有两.条相交..直线都平行..于另一个平面..,那么这两个平面平行. 符号语言://a b a b A a b αα αβββ ?????? = ?????? ∥∥ 关键点:....在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面............................平行。...
n m A α a 四、面面平行的性质定理: 面面平行?线线平行、面面平行?线面平行 文字语言:如果两个平行平面同时..和第三个...平面相交..,那么所得的两条交线..平行. 符号语言: ////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 关键点...:找..第三个平面.....与已知平面.....都相交,则交线平行......... 文字语言:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意..一条直线平行于另一个平面. 符号语言://,//a a αβαβ?? 关键:只要是其中一个平面内的直...............线 就 行. . . 五、线面垂直的判定定理:线线垂直?线面垂直 文字语言:如果一条直线和一个平面内.的两.条相交..直线垂直..,那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言:,a m a n a m n A m n ααα⊥? ?⊥? ?⊥??=????? 关键点:在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂.......................直. 六、线面垂直的性质定理:线面垂直?线线垂直 文字语言:若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直平面内的任意..一条直线. 符号语言:l l a a αα⊥? ?⊥??? 关键点:往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出......................... 七、平面与平面垂直的判定定理:线面垂直?面面垂直
立体几何公理、定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用: ① 用来验证直线在平面内; ② 用来说明平面是无限延展的。 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。(那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线) 符号语言:P l P l α βαβ∈?=∈且 作用:① 用来证明两个平面是相交关系; ② 用来证明多点共线,多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号语言:,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 符号语言:A a A a a αα??∈?有且只有一个平面,使, 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 符号语言:a b P a b ααα?=???有且只有一个平面,使, 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 符号语言://a b a b ααα???有且只有一个平面,使, 公理3及其推论的作用:用来证明多点共面,多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。 符号语言://////a b a c c b ? ??? 图形语言: 作用:用来证明线线平行。 二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。(1) 符号语言://////a b a c c b ???? 图形语言: 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行。(2) 符号语言: ////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言: 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和 这个平面相交,那么这条直线和交线平行。(3)
高一数学定理总结(全)
1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 (济南加誉学堂) 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即 a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51推论任意多边的外角和等于360°
高中数学公式定理大集中
高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα 2cotα=1 sinα 2cscα=1 cosα 2secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα
sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ tan(α+β)=—————— 1-tanα 2tanβ tanα-tanβ tan(α-β)=—————— 1+tanα 2tanβ 2tan(α/2) sinα=—————— 1+tan2(α/2) 1-tan2(α/2) cosα=—————— 1+tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα=—————— 1-tan2(α/2)
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 1、 多面体(棱柱、棱锥)的结构特征 (1)棱柱: ①定义:有两个面互相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行,由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱; 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面
棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形;Ⅱ、两底面是全等多边形; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形; Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 (2)棱锥: ①定义:有一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形,由这些面 围成的几何体叫做棱锥; 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥; ②性质: Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似, 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比;
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比; Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三 角形;通过四个直角三角形POH Rt ?,POB Rt ?, PBH Rt ?,BOH Rt ?实现边,高,斜高间的换算 2、 旋转体(圆柱、圆锥、球)的结构特征 A B C D O H P
(2)性质: ①任意截面是圆面(经过球心的平面,截得 的圆叫大圆,不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆) ②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且 2d 2 =,其中R为球半径,r为截 r- R 面半径,d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)
高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数: (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos ' -=; ⑤a a a x x ln )(' =;⑥x x e e =' )(; ⑦a x x a ln 1)(log ' = ;⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 (1)' ' ' ()u v u v ±=±. (2)' ' ' ()uv u v uv =+. (3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈,且1n >). (2)1m n m n a a - = = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 根式的性质 (1)当n a =;