圆锥曲线的经典性质总结
椭圆 必背的经典结论
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，
除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2
的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
7. 椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，
则椭圆的焦点角形的面积为122
tan
2
F PF S b γ
?=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分
别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于
点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ?=-，
即0202y a x
b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
13. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径
的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左
支）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是
00221x x y y
a b
-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为
P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t
2
F PF S b co γ
?=.
8. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP
和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P
和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，
则0202y a x b K K AB OM =?，即020
2y a x b K AB =。
12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
-=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
-=-
椭圆 推导的经典结论
1. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆
于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
2. 过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆
于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =（常数）.
3. 若P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+. 4. 设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一
点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
5. 若椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1
时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
7. 椭圆
22
0022
()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.
8. 已知椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.
（1）2222
1111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小
值是22
22
a b a b +.
9. 过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂
直平分线交x 轴于P ，则
||||2PF e
MN =. 10. 已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x
轴相交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记
12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122
tan 2
PF F S b γ?=.
12. 设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)2222
2|cos |
||s ab PA a c co αγ
=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB
a b S b a
γ?=-. 13. 已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线
与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的
连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互
相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直
线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
+=.
2. 过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线
交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =-（常数）.
3. 若P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦
点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22
c a co c a βα
-=+）. 4. 设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线
上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-.
5. 若双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1
＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，
则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是
22222A a B b C -≤.
8. 已知双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且
OP OQ ⊥.
（1）2222
1111||||OP OQ a b
+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小值是22
22
a b b a
-. 9. 过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，
弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则
||||2PF e
MN =. 10. 已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分
线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22
0a b x a
+≥或220a b x a +≤-.
11. 设P 点是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点
记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122
cot 2
PF F S b γ?=.
12. 设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，
PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有
(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b S b a
γ?=+. 13. 已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点
F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC
经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相
应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与
焦半径互相垂直.
16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离
心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
抛物线的性质
1、抛物线、椭圆、双曲线几何性质的区别
2、弦长的算法
设直线l：y＝kx＋b交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则
|AB|＝|x1－x2|＝
＝·|y1－y2|＝
3、焦点弦的性质与弦长
如果抛物线y2=2px(p>0)上两点M(x1，y1)、N(x2，y2)与焦点F(，0)共线，则有y1y2＝－p2，x1x2＝；当x1＝x2＝时，|MN|＝2p叫通径，通径是最短的焦点弦．
高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结
高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求 导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF 9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上 根据第8条，证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。（点差法） 圆锥曲线常用结论 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 圆锥曲线常用结论（自己选择） 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、 P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一 点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； For pers onal use only in study and research; not for commercial use 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . For pers onal use only in study and research; not for commercial use 椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 椭圆 点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角. PT平分△ PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 F0(X 若 P0(X0 2 x ,y0)在椭圆一亍 a 2 、x ,y0)在椭圆一2 a 2 2 2 2 y - b y - b =1上，则过P0的椭圆的切线方程是一0厂?辔=1. a b =1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦 2 x 椭圆 一2 a 2 x 椭圆一 2 a 2 2 2 2 y b y - b =1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 - =1 ( a > b> 0)的焦半径公式： P1P2的直线方程是°2 - =1. a b 戈，则椭圆的焦点角形的面积为S A：1PF2 = b2 tan— |MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点， A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ，则MF 丄NF. 2 2 2 2 -2 y ^ = 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2 y^ - ―02 - a b a b a b 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 2 2 5. 若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上，则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1. a b a b 2 2 6. 若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2 ^2 -1(a >0,b >0)外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是■X 0，__y°y = 11. AB 是椭圆 即 K AB 2 2 a 2 b 2 b 2X 0 —2 。 a y ° =1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB = b 2 ~2 ， a 12. F 0(X o ， y o )在椭圆 2 2 7占=1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是翠晋色 止 a 2 b 2 13. F 0(x 0,y °)在椭圆 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. Gandongle 椭圆双曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质） 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点.（中位线） 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.（第二定义） 4. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.（求导） 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.（结合4） 6. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.（余弦定理+面积公式+ 半角公式） 7. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义） 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF 第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。 高三圆锥曲线知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ 2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 2 22 b a b y a x =+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴 上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(12 2 B A By Ax =+.③椭圆的参数方程： 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于2 0π θ ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线： c a x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e a c e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则： 证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归 结起来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则： ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2 22b d a =；坐标：22(,),(,)b b c c a a - 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α) 椭圆与双曲线--经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ 2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： ) 0(12 22 2φφb a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上： )0(12 22 2φφb a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(12 2 φφB A By Ax =+.③椭圆的参数方程： 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θππ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率：)10(ππe a c e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则： 证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201φπx a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则： ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2 22b d a =；坐标：22(,),(,)b b c c a a - 4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12 22 2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0φφb a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆： 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ?b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α) 高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角. 圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理 椭圆问题小结论： 1.与椭圆22 221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22 221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=> 或()22 22,0x y b a λλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22 221x y a b +=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点 (),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：2 2AB OP b K K a ?=-；若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，2 2AB OP a K K b ?=-； 4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为20 20 b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 6. 椭圆的方程为22 221x y a b +=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆 上异于,A B 两点的任一点，则有2 2PA PB b K K a =- 圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 1．圆锥曲线的两个定义： （1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，与两个定点F 1,Ｆ2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹;双曲线中，与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等 于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2｜不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线,若2a ﹥｜F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如（１)已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B.621=+PF PF C ．1021=+PF PF D.122 2 21=+PF PF （2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点Ｐ（x ,y),则ｙ+|ＰQ ｜的最小值是 _____ ２.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆:焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （0a b >>)?{ cos sin x a y b ??==(参数方程,其中? 圆锥曲线常用结论 1.圆锥曲线的定义： （1）定义中要重视“括号”内的限制条件： 椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线. （2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。 （2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。 （3）抛物线： 开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为 ★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！ 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 高考中解析几何有用的经典结论 一、椭 圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程 是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线 圆锥曲线的方程与性质 1. 椭圆 （1） 椭圆概念 平面内与两个定点F I 、F 2的距离的和等于常数 2a （大于∣F 1F 2∣）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有IMF I l - ∣MF 2 ∣=2a 。 一 χ2 y 2 y 2 χ2 、 椭圆的标准方程为： 2 2 =1 （ a b 0）（焦点在X 轴上）或 r 2=1 （ a b 0）（焦点在y 轴 a b a b 上）。 注：①以上方程中a,b 的大小a . b . 0 ,其中b 2 =a 2 - C 2 ； χ2 y 2 y 2 χ2 2 2 ② 在二 2 =1和? — =1两个方程中都有a b 0的条件，要分清焦点的位置，只要看 X 和y 的分 a b a b 2 2 母的大小。例如椭圆 — —=1 （ m 0， n ?0 , m = n ）当m ? n 时表示焦点在 X 轴上的椭圆；当 m ：：： n 时 m n 表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2） 椭圆的性质 χ2 y 2 ① 范围：由标准方程 2?2= 1知IXNa ，∣y^b ,说明椭圆位于直线 X=-a ，y 所围成的矩形里； a b ② 对称性：在曲线方程里，若以 -y 代替y 方程不变，所以若点（x,y ）在曲线上时，点（X,-y ）也在曲线上， 所以曲线关于X 轴对称，同理，以 -X 代替X 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以 -X 代替X ， -y 代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于X 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心； ③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 X 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令圆锥曲线经典性质总结材料及证明
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