高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修
3 定积分的简单应用
[对应学生用书P42]
如图．问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？
提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．
问题2：你能求得其面积吗？如何求？
提示：能，先求由x＝a，x＝b和y＝f(x)围成的曲边梯形面积S1＝
∫b a f(x)d x，再求由x＝a，x＝b和y＝g(x)围成的曲边梯形面积S2＝∫b a g(x)d x，则所求阴影部分面积为S1－S2.
平面图形的面积
一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b所围成
的平面图形的面积为S，则
S＝∫b a f(x)d x－∫b a g(x)d x，f(x)≥g(x)．
定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．
[对应学生用书P42]
不分割型图形面积的求解
[例1]求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
[思路点拨]画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定积分的计算问题．
[精解详析]由?
??
??
y ＝x 2
－4，
y ＝－x ＋2，
得???
??
x ＝－3，y ＝5，
或???
??
x ＝2，y ＝0，
所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2
－4的交点为(－3，5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得
S ＝??32
(－x ＋2)d x －??32
(x 2－4)d x
＝?
????2x －12x
2 |
2
－3
－? ??
??13x 3－4x |2－3 ＝252－? ????－253＝125
6
. [一点通]求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示；
⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．
1．由直线x ＝－π3，x ＝π
3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为()
A.1
2 B ．1
C.32
D. 3
解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分
???3
π
- 3πcos x d x ＝sin x 3
3
ππ-＝
32－? ??
??
－32＝ 3. 答案：D
2．(高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A ．2 2 B ．4 2 C ．2
D.4
解析：由4x ＝x 3
，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，
直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为??0
2
4x －x 3dx ＝?
????2x 2－14x 4|20
＝4. 答案：D
3．计算由曲线y 2
＝x ，y ＝x 3
所围成的图形的面积S.
解：作出曲线y 2
＝x ，y ＝x 3
的草图，所求面积为如图中的阴影部分的面积．
解方程组?????
y 2
＝x ，y ＝x
3
得交点的横坐标x ＝0，x ＝1，因此所求图
形面积为
S ＝∫10xdx －∫10x 3
dx ＝23x
3
2
|1
－14x 4
|10
＝23－14＝5
12
.
分割型图形面积的求解
[例2]求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．
[思路点拨]作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定积分的上、下限．
[精解详析]
作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
求交点坐标：由?
??
??
xy ＝1，
y ＝3，
得?????
x ＝13，
y ＝3，
故A ? ??
??13，3；
由???
?? xy ＝1，y ＝x ，得?
??
?? x ＝1，y ＝1，或?
??
??
x ＝－1，y ＝－1，(舍去)，故B (1,1)；
由?
??
??
y ＝x ，y ＝3，得?
??
??
x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，
故所求面积S ＝S 1＋S 2＝
??1
3
1
? ????3－1x dx ＋∫31(3－x)d x ＝(3x －ln x ) |113
＋?
????3x －12x 2 |3
1
＝4－ln 3.
[一点通]由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．
4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平面图形(如下图中的阴
影部分)的面积是()
A ．1 B.π
4
C .
32
2
D.22－2
解析：S ＝???0
π4 (cos x －sin x )d x ＋???4π 2
πx －cos x )dx ＝(sin x ＋cos
x )????
π40
－(cos x ＋sin x )????
π2π4
＝(2－1)－(1－2)＝22－2. 答案：D
5．求由曲线y ＝x 2
和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．
解：由???
??
y ＝x 2
，y ＝x ，得A (1,1)，
由?
??
??
y ＝x 2
，y ＝2x ，得B (2,4)，如图所示所求面积为
S ＝??012x d x －??01x d x ＋??122x d x －??12
x 2
d x
＝??01
(2x －x )d x ＋??12
(2x －x 2)d x ＝??01
x d x ＋??12
(2x －x 2)d x
＝12x 2|10＋? ????x 2－13x 3|21＝76.
简单几何体的体积的求解
[例3]求抛物线y ＝2x 2
与直线x ＝a(a>0)及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积．
[精解详析]由a>0，各曲线围成的平面图形如图阴影部分所示，
V ＝∫a 0π(2x 2)2d x ＝4π∫a 0x 4
d x
＝4π·15x
5 |a 0
＝45
πa 5
. [一点通]求旋转体的体积的步骤：①建立平面直角坐标系．②确定旋转曲线函数
f (x )．③确定积分上、下限a ，b .④计算体积V ＝∫b a πf 2
(x )d x .
6．y ＝sin x(0≤x≤π)和x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为()
A ．π2
B ．4π2
C.13
π2
D.π
2
2 解析：V ＝π∫π
0sin 2
x d x ＝π∫π
1－cos 2x
2
d x ＝π2? ??
??x －sin 2x 2| π0＝π2
2.
答案：D
7．给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，则它的体积为________
解析：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则BC 的方程：y ＝a .则该旋转体即圆柱的体积为：∫a 0π×a 2
d x ＝πa 2
x |a 0＝πa 3
.
答案：πa 3
1．求由曲线围成的图形的面积时，若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上、下限．
2．由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a
得到的旋转体的体积为V ＝π??a b
f 2
(x )d x .
[对应跟踪训练十六]
1．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积是() A ．4π B.5π
2
C ．3π
D ．2π
解析：如图，求曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y ＝0，y ＝1，x ＝0，x ＝2π围成的矩形的面积．故选D.
答案：D
2．如果用1 N 的力能将弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为() A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J
D ．0.28 J
解析：设F (x )＝kx ，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，
则k ＝100.W ＝??00.06
100x d x ＝50x 2|0.06
0＝0.18 (J)．
答案：A
3．曲线y ＝x 2
＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围成图形的面积为() A ．2 B.83 C.43
D.23
解析：S ＝－∫0－1(x 2＋2x )d x ＋∫10(x 2
＋2x )d x
＝－
?
??? ????13x 3＋x 20－1＋
?
??? ????13x 3＋x 210
＝23＋4
3＝2. 答案：A
4.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()
A.14
B.15
C.16
D.17
解析：阴影部分的面积为∫1
0(x －x )d x ＝3
22213
2x x ??- ?????
?
10
＝1
6
，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝1
6
，故选C.
答案：C
5.如图是一个质点做直线运动的v -t 图像，则质点在前6 s 内的位移为________．
解析：直线OA 的方程为y ＝34x ，直线AB 的方程为y ＝－3
2x ＋9，
故质点在前6 s 内的位移为∫40
34x d x ＋∫64? ??
??－32x ＋9d x ＝38x 2???
4
0＋? ????－34x 2＋9x ???
6
4
＝6＋3
＝9(m)．
答案：9 m
6.(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
解析：因为函数y ＝e x
与函数y ＝ln x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x
与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为
2(e×1－??01
e x d x )＝2e －2e x |1
0＝2e －(2e －2)＝2，
由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2
e 2
. 答案：2e
2
7．求抛物线y ＝－x 2
＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积．
解：由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为
y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，
由?
??
??
y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6得两直线交点坐标为C (2,2)，
∴S ＝S △ABC －∫31(－x 2
＋4x －3)d x
＝1
2
×2×2－
?
??? ????－13x 3＋2x 2－3x 31
＝2－43＝23. 8．已知抛物线y ＝x 2
－2x 与直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a
的值．
解：作出y ＝x 2
－2x 的图像，如图所示．
①当a <0时，S ＝∫0a (x 2
－2x )d x ＝? ????13x 3－x 2??
?
a
＝－a 3
3＋a 2
＝43
，
∴(a ＋1)(a －2)2
＝0.∵a <0，∴a ＝－1.
②当a ＝0时，不符合题意． ③当a >0时，
若0 0(x 2 －2x )d x ＝－? ????13x 3－x 2?? ? a ＝a 2 －13a 3＝43 ， ∴(a ＋1)(a －2)2 ＝0. ∵a>0，∴a＝2. 若a>2，不合题意，综上a＝－1或2.