弯曲刚度问题

第9章 弯曲刚度问题

9.1 基本概念

9.1.1 梁弯曲后的挠曲线

吊车梁若变形过大，将使小车行走困难，还会引起梁的严重振动。因此，必须对梁的变形加以限制。

若梁的变形在弹性范围内，梁的轴线在梁弯曲后变为一条连续光滑曲

线，该曲线称为弹性曲线或挠度曲线，简称弹性线或挠曲线。

挠曲线：梁变形后的轴线。

性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。 9.1.2 梁的挠度与转角

设有一具有纵向对称面的悬臂梁，在自由端处作用一集中力P F 。P F 力作用在梁的纵向对称面内，使梁发生平面弯曲。 一、挠度与转角

梁的变形可用以下两个基本量来度量。

⑴ 挠度

挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。 梁轴线上各点（各截面）的挠度

w 随着点（截面）的位置x 的不同而

改变 ，即各截面的挠度是截面位置坐标x 的函数。

挠曲线方程 单位：

mm

挠度w 符号规定：向下为正，向上为负。

⑵ 转角

转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“θ” 表示。 梁不同横截面其转角是不相同的，θ是横截面位置坐标x 的函数

转角方程 单位：

rad

θ 的符号规定：由变形前的横截面转到变形后，顺时针为正；逆时针为

负。

⑶ 水平位移：横截面形心沿水平方向的位移，用u 表示。

因小变形时，u 与w 相比为高阶无穷小，故忽略不计。

二、挠度

w 于转角θ间的关系

tan ()dw

w x w dx θ''===

tan θθ≈

9.2 小挠度微分方程及其积分

9.2.1 小挠度微分方程

梁发生平面弯曲时，其轴线由直线变成一条曲率为1

ρ的平面曲线。

纯弯曲 1

M EI

ρ=

细长梁横力弯曲 1()

()M x x EI ρ=

由高数知 2

21()d w x dx ρ=± 22()

d w M x dx EI =±

在

w 向下为正的坐标系中

()M x 与w ''的符号总是相反的。

2

2()d w M x dx EI =- 2

2()d w

EI M x dx

=-

挠曲线近似微分方程

求梁的变形：

解上二阶微分方程可求得挠度w ，再根据 dw

w

dx

θ'== ，可求得截面转角θ。 等截面梁：

EI

=常数。

()

EIw M x ''=-

()EIw dx M x dx

''=-

()l EIw EI M x dx C

θ'==-+?

[()]l

EIw dx M x dx dx Cdx

'=-+?

[()]l

l

EIw M x dx dx Cx D

=-++??

1()l

M x dx C EI

θ=-

+? 转角方程

1[()]l l w M x dx dx Cx D EI

=-++?? 挠度方程 其中

C D 、为积分常数。可根据约束条件求得。

9.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件 约束条件：

⑴固定铰支座和辊轴支座处：0w = ；

⑵固定端处：0w

=，0θ=。

连续条件：在集中力、集中力偶和分布载荷间断处，两侧的挠度和转角对

应相等，即

12w w =，12θθ=。

【例题1】 一等截面悬臂梁，在自由端作用一集中力P F ,梁的抗弯刚度为

EI

，求自由端截面的转角和挠度。

解：等直梁EI

=常数。建立图示坐标系。梁上距原点

x 远处任一横截面

上的弯矩：

()()P M x F l x =--

根据 2

2()d w

EI M x dx =-

有 2

2P P d w

EI F l F x

dx

=- 积分一次 2

2

P P dw x

EI EI F lx F C

dx θ==-+ 再积分 23

1126

P P EIw F lx F x Cx D

=-++ 由梁的约束条件确定积分常数。 根据固定端

0x =处：0w =，0θ=。

2

002

P P F l F C =?-+， 则 0C =； 23

11000026

P P F l F C D

=?-?+?+ 则

0D =

梁的转角方程：2

11()()

2

P P x F lx F x EI θ=-

梁的挠度方程：23

111()()

26P P w x F lx F x EI =-

把

x l =代入上两方程，得

222111()22B P P P F l F l F l

EI EI

θ=-

=

333

1111()()

263B P P P w F l F l F l EI EI =-=↓

B θ为正值，表示B 截面顺时针转；B w 为正值，表示挠度是向下的。

例题9-1 承受集中载荷的简支梁，如图所示。梁弯曲刚度EI 、长度l 、载荷P F 等均为已知。试应用小挠度微分方程通过积分，求：梁的挠度方程和转角方程，并加力点B 处的挠度和支承A 和C 处的转角。 解：1.确定梁约束力

0A M =∑, 304A P l F l F -=， 34P

A F F =

0y F =∑， 4

P B P A F F F F =-=

2.分段建立梁的弯矩方程

AB 段： 13()4

P

A F M x F x x == (04)x l ≤≤ BC 段：23()()44

P P F l M x x F x =-- (4)l x l ≤≤ 3.将弯矩方程代入挠曲线微分方程并积分

()EIw M x ''=-

134P F EIw x ''=-

(04)x l ≤≤ ① 23()44P P F l EIw x F x ''=-+-

(4)

l x l ≤≤ ② 将①式积分 2

111

38

P F EIw EI x C θ'==-+ 3

111

8

P F EIw x C x D =-++ 将②式积分

22

222

31()824P P F l EIw EI x F x C θ'==-+-+ 33

222

1()864

P P F l EIw x F x C x D =-+-++

4.利用约束条件和连续条件确定积分常数

约束条件：在0x =处，10w =，x l =处，20w =

连续条件：在

4x l =处12w w =，12θθ=

将0x =代入 3

111

8

P F EIw x C x D =-++ 110EIw D == 10D =

将4x l =代入 2

11

38

P F EI x C θ=-+ 22

22

31()824

P P F l EI x F x C θ=-+-+ 22

1233()()08484P P F F l l C C -+=-++ 12C C

= 将4x l =代入 3

111

8

P F EIw x C x D =-++

33

222

1()864

P P F l EIw x F x C x D =-+-++ 331122

()()844844

P P F F l l l l

C D C D -+?+=-+?+ 120D D ==

33

221()0

864

P P F l EIw l F l C l =-+-+= 2

127128

P C C F l

== (04)x l ≤≤ 22

37()()8128P F x x l EI θ=-+

32

17()()

8128

P F w x x l x EI =-+ (4)l x l ≤≤

222

317()[()]

824128P F l x x x l EI θ=-+-+ 332

117()[()]

864128

P F l w x x x l x EI =-+-+

3

3()256P B F l

w EI

=↓,2

7128P A F l EI θ=

,2

5128P C F l

EI

θ=

-

9.3 工程中的叠加法

弯矩的叠加原理---- 梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。

叠加法：先分别计算出每一个载荷单独作用下产生的位移，然后再将这些位移代数相加的方法。

一、前提条件：弹性、小变形。

二、叠加法的特征：1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。 9.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形

例题9-2 简支梁同时承受均布载荷q 、集中力ql 和集中力偶2

ql ，如图所示。梁的弯曲刚度为EI

。试用叠加法求梁中点的挠度和右端支座处的

转角。

解：1.将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形。

2.应用挠度表确定三种情形下，梁中点的挠度和右端支座B 处的转角。

查表得 （转角θ的正负号：从梁轴线转向挠曲线的切线，顺时针转动为正，逆时针转动为负。）

415384C ql w EI =()↓, 4

248C ql w EI

=()↓, 4

316C ql

w EI

=-()↑ 3

124B ql

EI

θ=

-

，

3

2

16B ql EI

θ=

-

，

3

3

3B ql EI

θ

=

3.应用叠加法，将简单载荷作用时的挠度和转角分别叠加。

4

4

4

1234

5384481611()

384C C C C ql ql ql

w w w w EI EI EI

ql EI

=++=+-

=-↑

333

123

24163B B B B ql ql ql EI EI EI

θθθθ=++=--+

3

1148ql EI

=

9.3.2 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形 【例2】、图示悬臂梁，求C 截面的挠度和转角。

4()

8B ql

w EI

=↓ EI ql B 63

=

θ EI

ql

B c 63==θ

θ tan a B B w a a θθ=≈ 433()()

86243

C B a ql ql ql l a

w w w a EI EI EI =+=+=+↓ 例题9-3 图示悬臂梁，弯曲刚度为EI 。梁承受间断性分布载荷，如图所示。试利用叠加法确定自由端的挠度和转角。 解：1.将梁上的载荷变为有表可查的情形 2.将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形

查表得 4

1()8C ql w EI =↓，3

16C ql EI

θ=

4

2()128B ql w EI =-↑, 3

248B ql EI

θ=-

4

3

2

22321284827()384C B B l ql ql l

w w EI EI ql EI

θ=+?=--?

=-↑ 3

22

48C B ql EI

θθ==-

3.将简单载荷作用的结果叠加

434

12

741()

8384384C C C ql ql ql w w w EI EI EI

=+=-=↓ 3

3

3

12

764848C C C ql ql ql

EI EI EI

θθθ=+=-=

【例3】图示外伸梁。求C 截面的挠度和转角。

解：4

1()

8C qa

w EI

=↓ 3

16C qa EI θ

= 2

36B Ml qa l EI EI

θ==

2

2

6C B qa l EI

θθ==

3

2

tan ()

6C B B qa l

w a a EI

θθ===↓

4

3

3

12

(43)()8624C C C qa qa l qa w w w l a EI EI EI

=+=+=+↓32

2212

()

666C C C qa qal qa a l EI EI EI

θθθ=+=+=+

9.4 简单静不定问题

9.4.1 求解静不定问题的基本方法 一、超静定梁的基本概念

超静定梁：梁的未知约束反力的数目多于所能列出的独立的平衡方程的数

目，以致单凭静力平衡方程不能求出全部的未知约束力，这类梁称为超静定

梁。

例如：

未知约束力个数-独立平衡方程个数=超静定次数=多余未知力个数

二次超静定

相同载荷作用下，超静定梁比静定梁的变形小，受力更均匀，可提高梁

的刚度。

二、用变形比较法解超静定问题

设有一图示超静定梁。该梁为一次超静定，将支座B视为多余约束，F代之,并视其为已知力。超静定梁变为在均布载荷q和集去掉多余约束用B

F共同作用下的静定梁，该静定梁称为原超静定梁的静定基。

中力B

运用叠加法，将右图分解为两种载荷单独作用的悬臂梁。

120B B B w w w =+= 变形协调方程

查表得 4

18B ql w EI

= 3

23B B F l

w EI

=-

代入变形协调方程

3

4

83B F l ql

EI EI

-= 补充方程 38B F ql = 0y F =∑， A B F F ql +=， 35

88A F ql ql ql =-=

0A M =∑, 2

02B A ql

F l M -+=, 218

A M ql =

超静定问题的解题步骤：

1．确定超静定次数；

2.解除多余约束，以约束反力代之，使超静定梁变成静定梁；

3.根据多余约束处的位移情况，建立补充方程并解之求得多余约束反力；

4.利用平衡方程求得其余支座反力；

5.画出剪力图和弯矩图。

与超静定梁对应的静定基不是唯一的，例如

A

M

选左端限制转动的约束视为多余约束，去掉，以多余约束反力A

M代之。

与原梁A端比较，应有120

A A A

θθθ

=+=

变形协调方程

查表得 3

124A ql

EI

θ=

23A A M l

EI θ=-

3

243A M l ql

EI EI -= 补充方程 218A M ql =

0A M =∑, 2

02B A ql

F l M -+= ,

38B F ql = 0y F =∑, A B F F ql +=, 35

88A F ql ql ql =-=

9.4.2 几种简单的静不定问题示例 例题 9-4 图()a 所示之三支承梁，

A 处为固定铰链支座，

B

C 、二处为

辊轴支座。梁作用有均布载荷。已知：均布载荷集度15q N mm =，

4l m =，梁圆截面的直径100d mm =，[]100MPa σ=，试校核

梁的强度是否安全。 解：1.判断静不定次数

梁共受四个未知约束力，但只有三个独立的平衡方程，4-3=1，为一次超静定梁。

2.解除多余约束，使超静定梁变成静定梁。

可选图中B C 、任一个支座为多余约束，先将B 支座视为多余约束除

去，用约束反力B F 代之并视为已知力，超静定梁变成右图中所示的静定梁。

3.比较解除约束前的静不定梁和解除约束后的静定梁，建立变形协调方程

0B Bq BF w w w =+= 变形协调条件

4．查表得 4

5()384Bq ql

w EI =↓ 3

()

48B Bq F l w EI

=-↑ 3

4

50

38448B F l ql EI EI

-= 58B F ql = 5.建立平衡方程

0x

F

=∑，

x F =

y

F

=∑，

Ay B C F F F ql ++-=

0C M =∑,

022Ay B l l

F l F ql --?+?=