人教版九年级上册数学期末试题(附答案)

2020年秋期末考试

2020年年秋季九年级期末考试

数 学 试 题

满 分：120分 时 间：120分钟

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ）

2．关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）

A ．m ≥94

B ．m ＜94

C ．m ＝94

D ．m ＜－94

3．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、

黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为1

9，那么他遇到绿灯的概率为（ ）

A.19

B.29

C.49

D.59 4．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若∠C ＝35°，则∠AOB 的度数为（ ） A ．35° B ．55° C ．145° D ．70°

5．如图，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转40°，得△A ′B ′C ，若AC ⊥A ′B ′，则∠A 等于（ ）

A ．50°

B ．60°

C ．70°

D ．80°

第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 6．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C ＝65°，则∠P 的度数为（ ）

A ．65°

B ．130°

C ．50°

D ．100°

7．如图，已知⊙O 的半径为10，弦AB ＝12，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11

8．抛物线的顶点坐标为(－2，3)，开口方向和大小与抛物线y ＝x 2相同，则其解析式为（ ）

A ．y ＝(x －2)2＋3

B ．y ＝(x ＋2)2－3 姓名： 考号：

※※※※※※※※※※※※※※※※※※ ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ ※※※※※※※※※※※※※※※※※※ ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※

9．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是（）

10．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB 切⊙O于点B，则PB的最小值是（）

A.13

B. 5 C．3 D．2

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11．已知二次函数y＝－x2＋2x＋1，若y随x增大而增大，则x的取值范围是. 12．一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根是2，则另一个根是.

13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是.

14．已知△ABC的三边长a＝3，b＝4，c＝5，则它的内切圆半径是.

15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；

②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD.其中判断正确的是(填序号)．

第15题图第16题图

16．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆O n与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆O n的半径分别是r1，r2，…，r n，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2015＝.

三、解答题(本题共9小题，共72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(6分)用适当的方法解下列方程：

(1)3x(x＋3)＝2(x＋3); (2)2x2－4x－3＝0.

18．(7分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)(每个方格的边长均为1个单位长度)．

(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；

(2)求出点B旋转到点B1所经过的路径长．

19．(8分)已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.

(1)求k的取值范围；

(2)若x1＋x2＝1－x1x2，求k的值．

20．(6分)某中学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放(发放的食品价格一样)，食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．

(1)按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是事件(填“可能”“必然”或“不可能”)；

(2)请用列表或画树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．21．(8分)如图，已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过A(0，3)，且对称轴是直线x＝2.

(1)求该函数解析式；

(2)在抛物线上找点P，使△PBC的面积是△ABC的面积的2

3，求出点P的坐标．

22．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.

(1)求证：DF⊥AC；

(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．

23．(9分)一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：

售价x(元/千克)…50607080…

销售量y(千克)…100908070…

(1)求y与x

(2)该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？

(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w(元)最大？此时的最大利润为多少元？

24．(8分)如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB 交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．

(1)求证：AB与⊙O相切；

(2)若AB＝4，求线段GF的长．

25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.

(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；

(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上

的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，当点P在

何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；

(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M

为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．

九上数学第三次月考答案

1．B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.C7.C8.C9.D

10．B

解析：连接OB，作OP′⊥l于P′，OP′＝3.∵PB切⊙O于点B，∴OB⊥PB，∴∠PBO ＝90°，∴PB＝OP2－OB2＝OP2－22，当点P运动到点P′的位置时，此时OP最小，则PB 最小，此时OP＝3，∴PB的最小值为32－22＝ 5.故选B.

11．x≤112.413.x1＝－3，x2＝214.115.①②③

16．32014解析：分别作O1A⊥l，O2B⊥l，O3C⊥l.

∵半圆O1，半圆O2，…，半圆O n与直线相切，∴O1A＝r1，O2B＝r2，O3C＝r3.∵∠AOO1＝30°，∴OO1＝2O1A＝2r1＝2.在Rt△OO2B中，OO2＝2O2B，即2＋1＋r2＝2r2，∴r2＝3.在Rt△OO3C中，OO3＝2O3C，即2＋1＋2×3＋r3＝2r3，∴r3＝9.同理可得r4＝27＝33，∴r2015＝32014.故答案为32014.

17．解：(1)x1＝2

3，x2＝－3；(3分)

(2)x1＝1＋10

2，x2＝1－

10

2.(6分)

18.解：(1)如图所示；(4分)

(2)OB＝42＋22＝25，点B旋转到点B1所经过的路径长为90π·25

180＝5π.(8分)

19．解：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤1

2；(3分)

(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，∴k1＝1，k2＝－3.(6分)∵k≤1

2，∴k

＝－3.(8分)

20．解：（1）不可能(4分)

共有12种等可能的结果，刚好得到猪肉包和油饼的有2种情况，∴小张同学得到猪肉包

和油饼的概率为212＝1

6.(10分)

21．解：(1)由题意得n ＝3，－m

2＝2，∴m ＝－4，∴函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3；(4分)

(2)由已知可得|y P |＝??????

23×3＝2，(5分)由函数的最小值为－1，得P 只能在x 轴上方．(6

分)代入得x 2－4x ＋3＝2，解得x ＝2±3，(9分)∴点P 的坐标是(2±3，2)．(10分)

22．(1)证明：如图，连OD ，AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC .又∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点．(2分)∵DF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DF .∵O 是AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线，OD ∥AC ，(4分)∴DF ⊥AC ；(5分)

(2)解：∵∠CDF ＝22.5°，DF ⊥AC ，∴∠C ＝67.5°，∴∠BAC ＝2∠DAC ＝45°.(7分)连接

OE ，则∠BOE ＝2∠BAC ＝90°，∴∠AOE ＝90°.∴S 阴影＝90π×42360－1

2×4×4＝4π－8.(10分)

23．解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，根据题意得???50k ＋b ＝100，

60k ＋b ＝90，解得

???k ＝－1，b ＝150.

故y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋150；(4分) (2)根据题意得(－x ＋150)(x －20)＝4000，解得x 1＝70，x 2＝100＞90(不合题意，舍去)．故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；(8分)

(3)w 与x 的函数关系式为w ＝(－x ＋150)(x －20)＝－x 2＋170x －3000＝－(x －85)2＋4225.∵－1＜0，∴当x ＝85时，w 值最大，w 最大值是4225.∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w (元)最大，此时的最大利润为4225元．(12分)

24．(1)证明：如图，过点O 作OM ⊥AB ，垂足是M .(1分)∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∴∠ADO ＝∠AMO ＝90°.∵△ABC 是等边三角形，AO ⊥BC ，∴∠DAO ＝∠MAO ，∴OM ＝OD .∴AB 与⊙O 相切；(5分)

(2)解：如图，过点O 作ON ⊥BE ，垂足是N ，连接OF ，(6分)则NG ＝NF ＝1

2GF .∵O 是BC 的中点，∴OB ＝2.在Rt △OBM 中，∠MBO ＝60°，∴∠BOM ＝30°，∴BM ＝1

2BO ＝1，∴OM

＝OB 2－BM 2＝ 3.(8分)∵BE ⊥AB ，∴四边形OMBN 是矩形，∴ON ＝BM ＝1.∵OF ＝OM ＝3，由勾股定理得NF ＝（3）2－12＝2，∴GF ＝2NF ＝2 2.(12分)

25．解：(1)设抛物线解析式为y ＝a (x －2)2＋9，(1分)∵抛物线与y 轴交于点A (0，5)，∴4a ＋9＝5，∴a ＝－1，∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5；(4分)

(2)当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0，∴x 1＝－1，x 2＝5，∴E (－1，0)，B (5，0)．(5分)设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，∵A (0，5)，B (5，0)，∴m ＝－1，n ＝5，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5.设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，∴D (x ，－x ＋5)，∴PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x .(7

分)∵AC ＝4，∴S 四边形APCD ＝12×AC ×PD ＝2(－x 2＋5x )＝－2x 2＋10x ，∴当x ＝－10

2×（－2）

＝

52时，即点P 的坐标为

? ??

??

52，354时，S 四边形APCD 最大＝252；(9分)

(3)如图，过M 作MH 垂直于对称轴，垂足为H .∵MN ∥AE ，MN ＝AE ，∴△HMN ≌△OEA ，∴HM ＝OE ＝1，∴M 点的横坐标为x ＝3或x ＝1.当x ＝1时，M 点纵坐标为8，当x ＝3时，M 点纵坐标为8，∴M 点的坐标为M 1(1，8)或M 2(3，8)．(10分)∵A (0，5)，E (－1，0)，∴直线AE 的解析式为y ＝5x ＋5.∵MN ∥AE ，∴MN 的解析式为y ＝5x ＋b .∵点N 在抛物线对称轴x ＝2上，∴N (2，10＋b )．∵AE 2＝OA 2＋OE 2＝26＝MN 2，∴MN 2＝(2－1)2＋[8－(10＋b )]2＝1＋(b ＋2)2.∵M 点的坐标为M 1(1，8)或M 2(3，8)，∴点M 1，M 2关于抛物线对称轴x ＝2对称．∵点N 在抛物线对称轴上，∴M 1N ＝M 2N .∴1＋(b ＋2)2＝26，∴b ＝3或b ＝－7，∴10＋b ＝13或10＋b ＝3.∴当M 点的坐标为(1，8)时，N 点坐标为(2，13)，当M 点的坐标为(3，8)时，N 点坐标为(2，3)．(14分)