思维特训(三) 最短路径的探究

思维特训(三)最短路径的探究方法点津·

有关实际问题中的最短路径问题，通常进行构建与转化，再根据“两点之间，线段最短”进行分析与求解．

典题精练·

类型一有关平面内的最短路径问题

关于平面内的最短路径问题，我们有下面几个相应的结论：

(1)在连接两点的所有线中，线段最短(两点之间，线段最短)；

(2)关于线段和最短的问题，往往把几条线段转化成一条线段，利用“两点之间，线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找出相关点关于直线的对称点实现化“折”为“直”．

1．已知：如图3－TX－1，△ABC为等边三角形，高AH＝10 cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD＋PB的最小值为________ cm.

图3－TX－1

2．如图3－TX－2所示，四边形ABCD是正方形，AB＝6，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的值最小，则这个最小值为________．

图3－TX－2

3．如图3－TX－3所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短？最短路程是多少？

图3－TX－3

4．如图3－TX－4所示，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC ＝120 m，为了方便灌溉，现有两种修筑水渠的方案．

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A，B；

乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A，B进行修筑．

(1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)；

(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．

图3－TX－4类型二几何体上的最短路径问题

解决立体图形中任意两点间的最短路程问题，应充分运用转化思想，将立体图形转化为平面图形，或将曲面转化为平面，从而把问题转化为平面内“两点之间，线段最短”的距离问题，构造出直角三角形后，运用勾股定理即可求解．

5．如图3－TX－5，一只蚂蚁从正方体的底面点A处沿着表面爬行到上底面的点B处，它爬行的最短路线是(注：点P是SR的中点)()

图3－TX－5

A．A△P△B B．A△Q△B C．A△R△B D．A△S△B

6．如图3－TX－6，有一个圆柱形大玻璃杯，它的底面直径为16 cm，高为18 cm，一只小虫从底部点A处沿表面爬到与点A相对的上底面的点B处，则小虫所爬的最短路径长约是(π取3)()

图3－TX－6

A．20 cm B．30 cm C．40 cm D．50 cm

7．如图3－TX－7，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为________ cm.

图3－TX－7

8.2019·唐河县期末如图3－TX－8是一个棱长为3 cm的正方体，把所有的面均分成3×3 个小正方形，其边长都为1 cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的点B，最少要用________秒钟．

图3－TX－8

9．如图3－TX－9是一个长方体，它的长、宽、高分别为5 cm，3 cm，4 cm.在顶点A 处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B处的食物．已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8 cm/s，则蚂蚁能否在11 s内获取到食物？

图3－TX－9

10.如图3－TX－10，长方体的底面是边长为1 cm的正方形，高为3 cm.

(1)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算细线最短需要多少；

(2)如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，请计算所用细线最短长度的平方值．

图3－TX －10

11．如图3－TX －11是成都动物园大鸟笼(百鸟苑)，苑内一条参观道围绕中间直径为20 m ，高为10 m 的立柱形成架空参观廊桥，视野开阔，可与鸟类近距离接触，同时也节约了占地面积．已修成的这条参观道绕立柱一周，最高离地面10 m ，总长70 m ，每米造价约为1万元．若请你来当参观道的设计师，依然绕圆柱一周，最高离地面10 m ，每米的造价不变，你能设计出一种最省钱的方案吗？请求出最低造价是多少万元．(结果取整数)

图3－TX －11

详解详析

1．10 2.6

3．[导学号：34972332]

解：如图，作点A 关于直线CD 的对称点A ′，连接A ′B 交CD 于点M ，则在点M 处饮水所走总路程最短，最短路程为A ′B 的长．

过点A ′作A ′H △BD 交其延长线于点H ，在Rt △A ′HB 中，因为A ′H ＝CD ＝800米，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋A ′C ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600(米)，

由勾股定理，得A ′B 2＝A ′H 2＋BH 2＝8002＋6002＝1000000，故A ′B ＝1000(米)，所以最短路程为1000米．

4．[导学号：34972333]解：(1)△ABC 是直角三角形．理由如下：

因为AC 2＋BC 2＝1602＋1202＝40000，AB 2＝2019＝40000，

所以AC 2＋BC 2＝AB 2，

所以△ABC 是直角三角形．

(2)甲方案所修的水渠较短．理由如下：

因为△ABC 是直角三角形，

所以△ABC 的面积为12AB ·CH ＝12

AC ·BC ， 所以CH ＝AC ·BC AB ＝160×120200

＝96(m)．

因为AC＋BC＝160＋120＝280(m)，

CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，

所以AC＋BC＜CH＋AH＋BH，

所以甲方案所修的水渠较短．

5．A[解析] 要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用“两点之间，线段最短”解答．故选A.

6．[导学号：34972334]B[解析] 圆柱的侧面展开图如图，根据“两点之间，线段最短”就可以得知AB最短．

由题意，得AC≈3×16÷2＝24(cm)，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB≈30 cm.

解决此类问题，一般方法是先根据题意把立体图形展开成平面图形，再确定

两点之间的最短路径．本题将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键．

7．13[解析] 这个长方体的侧面展开图如图所示，连接PQ，则PP′＝12 cm，QP′＝5 cm，由勾股定理得PQ2＝169，所以PQ＝13 cm，所以蚂蚁爬行的最短路径长为13 cm.

8．[导学号：34972335]2.5[解析] 因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行比较，再从各个路线中确定最短的路线．

(1)展开前面和右面，由勾股定理得AB2＝29；

(2)展开底面和右面，由勾股定理得AB2＝25.

所以AB2＝25时路径最短，最短路径长为5 cm，用时最少为5÷2＝2.5(秒)．

9．[导学号：34972336]

解：长方体两个面的展开图如图所示，

图△：A1B12＝32＋(4＋5)2＝90；

图△：A2B22＝42＋(3＋5)2＝80；

图△：A3B32＝52＋(3＋4)2＝74.

因此，最短路径为A3B3.

因为0.8×11＝8.8(cm)，8.82＝77.44>74，

所以蚂蚁能在11 s内获取到食物．

10．[导学号：34972338][解析] (1)把长方体的侧面沿AB边剪开，再利用勾股定理进行

解答即可；

(2)如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，所用细线的最短长度就是两条直角边长分别是8和3的直角三角形的斜边长，再利用勾股定理解决问题．

解：(1)如图，将长方体的侧面展开，连接AB ，根据“两点之间，线段最短”，得AB 2＝42＋32＝25，故AB ＝5(cm)．即细线最短需要5 cm.

(2)如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，所用细线的最短长度就是两条直角边长分别是8和3的直角三角形的斜边长，根据勾股定理可知所用细线最短长度的平方＝82＋32＝73. 本题考查的是平面展开——最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结

合思想求解是解答此类题的关键．

11．[导学号：34972339]解：如图，将立柱侧面展开，作点A 关于BB ′的对称点P ，连接P A ′，与BB ′交于点M ，则最短路径的长为P A ′的长．

在Rt △P A ′A 中，由勾股定理，得

P A ′2＝P A 2＋AA ′2＝202＋

()20π2

， 所以P A ′≈66(m)．

因此，最省钱的参观道长约为66 m ，造价约为66万元．