高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介导学案新人教A版选修44
四 柱坐标系与球坐标系简介
庖丁巧解牛
知识·巧学
一、柱坐标系
定义：如图1-4-1，建立空间直角坐标系O-xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R )表示.这样，就建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P 的柱坐标，记作P(ρ,θ,z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞ 图1-4-1 空间点P 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为?? ???===.,sin ,cos z z y x θρθρ 要点提示 柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 二、球坐标系 定义：如图1-4-2，建立空间直角坐标系O-xyz ，设P 是空间任意一点，连结OP ，记|OP|=r,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样，空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间就建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标，记作P(r,φ,θ)，其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π. 空间点P 的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为 ?? ???===.cos ,sin sin ,cos sin ?θ?θ?r z r y r x 图1-4-2 要点提示 在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r,φ,θ)的方位角，90°-φ称为高低角. 三、坐标系的建立 1.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系; 2.有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），则可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题; 3.有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系. 深化升华当描述点的位置只用长度来形容不够时,要考虑用角度来表示;如果用一个角度不够,就用两个角度来表示,来分别建立适当的空间坐标系. 问题·探究 问题1 分析在柱坐标系,球坐标系和空间直角坐标系中刻画空间中点的位置的方法,探讨有何异同? 探究:它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的. 在直角坐标中，需要三个长度：(x,y,z)，而在球坐标与柱坐标中，既需要长度，也需要角度.它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ). 空间直角坐标：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z 轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标,纵坐标和竖坐标.(如图1-4-3所示） 图1-4-3 坐标为(x,y,z)的点M通常记为M(x,y,z).这样，通过空间直角坐标系，就建立了空间的点M 和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系. 如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点，则x=y=z=0等. 几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化,它们都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同. 典题·热题 例1如图1-4-4，请你说出点M的球坐标. 图1-4-4 思路分析：抓住球坐标定义. 解:连结OM，记|OM|=R,OM与Oz轴正向所夹的角为θ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为φ.这样点M的位置就可以用有序数组(R,θ,φ)表示. 答案：M(R,θ,φ). 误区警示字母与平时表示不一样,容易出错. 例2经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标. 思路分析：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O 为端点且经过北极的射线Oz （垂直于赤道平面）为另一条极轴，如图1-4-5建立一个球坐标系. 图1-4-5 解：在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米. ∴点P 的球坐标为(8 755,15°,80°). 深化升华 在球坐标系中，它的三度与前面所学的球的一些基本知识是有着密切的联系的. （1）经线与经度：地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定经过英国格林威治天文台旧址的经线为0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经.如东经30°,西经60°等.（2）纬线与纬度：与地轴（通过北极和南极的直线）垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线，其中大圆叫做赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线；以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬.如北纬25°,南纬23.5°等. 例3已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标. 解：如图1-4-6,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同点. 图1-4-6 C 1点的(x,y,z)分别对应着C D 、BC 、CC 1,C 1点的(ρ,θ,z)分别对应着CA 、∠DAC、CC 1，C 1点的（r,φ,θ)分别对应着AC 1、∠A 1AC 1、∠BAC. ∴C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan 73,10)，C 1点的球坐标为(332 10cos ,332ar ,arctan 73). 深化升华 另外，点B 的空间直角坐标为(14,0,0)，柱坐标为(14,0,0)，球坐标为(14,2 π,0)；点A 1的空间直角坐标为(0,0,10)，柱坐标为(0,0,10)，球坐标为(10,0,0). 例4设地球的半径为R ，在球坐标系中，点A 的坐标为(R,45°,70°)，点B 的坐标为(R,45°,160°)，求A 、B 两点的球面距离. 思路分析：要求A 、B 两点间球面距离，要把它放到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数和AB 的长度，就可求球面距离. 解：如图1-4-7，OB=R ，由点A 、B 的球坐标可知∠BOO′=45°，∠AOO′=45°，这两个点都在北纬90°-45°=45°圈上，设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O ，则∠xOQ=70°，∠xOH=160°, 图1-4-7 ∴∠AO′B=160°-70°=90°. ∵OB=R,O′B=O′A=22 R, ∴AB=R.连结AO 、AB,则AO=BO=AB=R. ∴∠AOB=60°, B=61 ·2πR=3π R. 答:A 、B 两点间的球面距离为3π R. 深化升华 要先将球坐标中的三度所表示的量在图形中找到.