初一数学角与角平分线含答案

角、角平分线

中考要求

例题精讲

一、角的定义

定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．

定义

2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始

边，终止位置的那条射线叫做角的终边.

(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：

（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2） 顶点是这两条边的交点；

（3） 角的两条边是射线，是无限延伸的.

（4） 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.

角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法

① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．

∠AOB

图1.1

注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．

∠A

图1.2

A

注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且

只有一个．

③ 用数字来表示角，如图2.1．

∠1图2.1

1

③用希腊字母来表示角，如图2.2．

∠

α

图2.2

α

三、单位换算

1度＝60分(160

?=') 1分=60秒(160

'=")

四、角的度量

（1）度量角的工具常用量角器

用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）

（2）角的度量单位及其换算

角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1?．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''．

角度之间的关系

1周角=360?1平角＝180?1直角＝90?

1周角＝2平角1平角＝2直角

角的分类：

锐角α（090

α

<

α=?），钝角α（90180

α

?<

五、两角的和、差、倍、分

（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.

（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.

（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法

在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？

六、用尺规做已知角的平分线方法

作法：（1）以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B

、两点；

（2）分别以A、B两点为圆心，以大于

1

2

AB长为半径画弧，画弧交于C点；

（3）过C点作射线OC。

所以，射线OC就是所求作的。

O

C B

A

七、余角、补角

（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.

（2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.

（3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.

八、方位角

方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东?

?度”、“北偏西?

?度”、“南偏东?

?度”、“南偏西?

?度”，方位角α的取值范围0

90

0≤

≤α.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.

九、钟表角度问题

时针12小时转动360度，每小时转动30度；

分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示

【例1】角是由有的两条射线组成的图形，两条射线的是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线．

【解析】略

【答案】公共端点公共端点绕端点旋转而得到的图形

二、角的分类

【例2】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）

A、4个

B、7个

C、9个

D、10个

【解析】当AO为角的一边时，有3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角，依次类推得到所有小于平角的角．

【答案】小于平角的角为：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9个，故选C．

【点评】应有规律去寻找角的个数，注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角．

【例3】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（ ）

A 、10个

B 、15个

C 、20个

D 、25个

【解析】找到以每一个字母为顶点的角，若该顶点处有多个角，则必须用三个大写字母表示．

【答案】在该题中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的角有五个，且该顶点处只有一个小于180度的角，可用

一个大写字母表示；以F 、G 、H 、M 、N 为顶点的角各有四个，共计4×5=20个，而该顶点处只有三个小于180度角，只能用三个大写字母表示．故选C ．

【点评】此题不仅考查了对角的概念的掌握，还考查了数角的方法：找准角的顶点，统计出该顶点处的所

有角，做到不漏数、不多数．

三、角度的换算及运算

【例4】（1）2020'4______??=。（2）4437'3______?÷= 【解析】（1）原式8080'8120'=?=?

（2）先将度、分、秒的量数都化成3的倍数：

4437'42237'47156'1'47156'60''1452'20''?=?+?=?++=?++=?

【答案】（1）8120'?；（2）1452'20''?

【例5】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个

A ．4个

B ．7个

C ．11个

D ．16个

【解析】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为604515?-?=?，而其它角都是15?的倍数．所以在小

于平角的范围内，能画出确定度数的角有153045607590105120135150165???????????，，，，，，，，，，共11个，故选C ．

【答案】C

【例6】如右图，AOB 是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB ∠的度数．

12

3A B C D

O

【解析】设1x ∠=，23x ∠=，32x ∠=，根据题意有32180x x x ++=?，30x =?，120DOB ∠=?． 【答案】120?

四、余角和补角

【例7】如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，

射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．

A

B

C D

E

O 图2

F E B

【解析】略

【答案】COE ∠和BOE ∠互余，所以90AOC BOC ∠=∠=?

111

222

DOF EOF EOD EOC BOE BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠

AOF BOD AOC EOF BOD ∠+∠=∠+∠+∠ 3BOC EOF EOD DOF =∠+∠+∠=∠

五、共定点角的相关计算

【例8】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，

若28AOC ∠=?，求EOF ∠． A B

C

D

E F

O

【解析】28AOC DOE BOD ∠=∠=∠=?，

(1802828)262EOF ∠=?-?-?÷=?．

【答案】62?

【巩固】 如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．

（1）DOB ∠与DOA ∠的比是211∶，求BOC ∠的度数．

（2）叠合所成的BOC n ∠=°(090n <<)，则AOD ∠的补角的度数与BOC ∠的度数之比是多少？

O

D

C

B

A

【解析】略 【答案】（1）70BOC ∠=?；（2）1：1.

【例9】已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．

①若100AOC ∠=?，40BOC ∠=?， 问：?EOF ∠= ②若AOB n ∠=?，求EOF ∠的度数并说明理由．

O

C F

E B

A

【解析】略

【答案】①∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠（已知）

∴12EOC AOC ∠=∠， 1

2

FOC BOC ∠=∠（角平分线定义）

∵100AOC ∠=?，40BOC ∠=?（已知）

∴1100502EOC ∠=??=?， 1

40202

FOC ∠=??=?（等量代换）

∵502030EOF EOC FOC ∠=∠-∠=?-??＝（等量代换） ②∵OE 平分AOC ∠（已知）

∴AOE EOC ∠=∠（角平分线定义） ∵EOC EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠

∴AOE EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠（等量代换） ∵OF 平分BOC ∠（已知）

∴BOF FOC ∠=∠（角平分线定义） ∵AOB AOE EOB ∠=∠+∠

∴2AOB EOB BOF EOB ∠=∠+∠+∠

2AOB BOF EOB ∠=∠+∠（）

（等量代换） ∵EOB BOF EOF ∠+∠=∠，AOB n ∠=?（已知）

∴11

22EOF AOB n ∠=∠=?（等量代换）

即：1

2

EOF n ∠=?

【巩固】 如图，AOC ∠是直角，21.5COD ∠=?，且OB OD ，分别是AOC ∠、BOE ∠的平分线，求AOE

∠的大小.

O

D

C

E

B

A

【解析】90221.566.5BOD BOC COD ∠=∠+∠=?÷+?=? 2178AOE BOE AOB BOD AOB ∠=∠+∠=∠+∠=? 【答案】178?

【例10】已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=?，4136'BOC ∠=?，求AOC ∠. 【解析】注意分情况讨论，容易的到答案：4324'?或12636'?. 【答案】4324'?或12636'?

【巩固】 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=?，20BOC ∠=?，求AOC

∠的度数.

【解析】 注意分类讨论，为80?或40?. 【答案】80?或40?

【例11】已知αβ，都是钝角，计算()1

6

αβ+，正确的结果只可能是（ ）

A ．26?

B ．40?

C ．72?

D ．90?

【解析】根据题意9018090180αβ?<

∴()1

30606

αβ?<+

【答案】B

【巩固】α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算

1

()15

αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23?、24?、25?这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．

【解析】00909090180αβγ++<++<++ 1

6()2415αβγ<++<

所以23?答案正确．

【答案】23?

【例12】如下图，AOC COD DOE EOB a ∠=∠=∠=∠=，若以OA ，OC ，OD ， OE 为始边的各角之和

等于380°，求AOB ∠. E

O

D C

B

A

【解析】解以OA 为始边的角的总和23410a a a a a =+++=；以OC 为始边的角的总和236a a a a =++=.

以OD 为始边的角的总和23a a a =+=；以OE 为始边的角的总和就是a . 依条件，有1063380a a a a +++=°，解出19a =°. 于是476AOB a ∠==°.

【答案】76?

【例13】如图，已知∠AOB=90°，在∠AOB 的外部画∠BOC ，然后分别画出∠AOC 与∠BOC 的角平分线OM

和ON ．

（1）下面的两个图形是否都符合题意？若符合，选择其中的一个图形，求∠MON 的度数；

（2）若∠AOB=α，且当∠AOB+∠BOC ＜180°时，∠MON 的度数是多少？当∠AOB+∠BOC ＞180°时，∠MON 的度数又是多少？

【解析】（1）结合题意，易知两个图形都符合题意，然后根据角平分线的定义，结合图形进行计算即可；

（2）根据（1）中的结论即可发现结论．

【答案】（1）两个图形是否都符合题意．

对于图①，有∠MON=∠MOC ﹣∠NOC=∠AOC ﹣∠AOB=45°；

对于图②，有∠MON=∠MOC+∠NOC=∠AOC+∠BOC=（∠AOC ﹣∠BOC ）=（360°﹣90°）=135°；

（2）当∠AOB+∠BOC ＜180°时，∠MON=α； 当∠AOB+∠BOC ＞180°时，∠ON=180°﹣α．

【点评】此题综合运用了角平分线的定义和角的和差计算方法．

【例14】在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5?，

10AOD ∠=?，求AOC ∠的度数.

【解析】因为AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5?，所以AOC ∠小于AOB ∠；

（1）射线OC 在AOB ∠的外部，如图（1），设 ,AOC x AOB y ∠=∠=，根据题意有

3251

()102

x y x y x -=??

?+-=??， 解得：45

65x y =??=?

，即45AOC ∠=?

（2）射线OC 在AOB ∠的内部，如图（2），设AOC x AOB y ∠=∠=，，根据题意有 325

1

()102

x y x y x -=??

?++=??，解得：911x y =??=?，即9AOC ∠=? 图（1）

D C

B

A

O

图（2）

D C

B

A

O

【答案】45?或9?

【例15】以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得:5:4AOC BOC ∠∠=，且AOC ∠，BOC ∠均小于180?，

若30AOB ∠=?，求AOC ∠的度数.

【解析】如图（1），52

30(16)1640'93

AOC ∠=??=?=?；

如图（2），530150AOC ∠=??=?

如图（3），51

(36030)(183)18320'18093

AOC ∠=??-?=?=?>?，舍去

图（1）

C

B A

O

图（2）

C

B

A

O

图（3）

C

B A

O

【答案】1640'?或150?

【巩固】 已知40AOB ∠=?，从O 点引射线OC ，若:2:3AOC COB ∠∠=，且AOC ∠，COB ∠均小于180?，

求OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数.

【解析】OD 是AOB ∠的角平分线，注意分类讨论：情况1，如图（1），OC 与AOB ∠的平分线所成的角

的度数为100?；情况2，如图（2），OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数为4?.

（1）

D

C

B A

O

（2）

D

C

B

A

O

【答案】100?或4?

六、钟表角度问题

【例16】钟表上的时针、分针和秒针我们把钟表看成一个圆周，其上共有12个大格，故每个大格度数为

3603012?=?，每个大格中又有5个小格，故每个小格度数为3065

?

=? （1）12时时，钟表上的时针与分针重合，问每多长时间两针再重合？ （2）分针和秒针每隔多长时间重合一次？

【解析】（1）可设x 分钟后相遇，这是追及问题，分针每分钟走6?，时针每分钟走0.5?，分针比时针多走

一圈可列方程：60.5360x x -=，求解为x 约为65分27秒

（2）可设x 分钟后相遇，也是追及问题，分针每分钟走6?，秒针每分钟走360?，秒针比分针多走一圈可列方程：3606360x x -=，求解为x 约为1分1秒

【答案】（1）65分27秒；（2）1分1秒

【例17】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60?的角？分别是几点几分？ 【解析】共有4次时针与分针夹成60?的角.

（1）第一次正好为2点整.

（2）第二次设为2点x 分时，则101012x x =++，解得9

2111x =.

（3）第三次设为3点y 分时，则101512y y +=+，解得5

511y =.

（4）第四次设为3点z 分时，则151012z z =++，解得3

2711z =

【答案】4次成60?角，分别是：2点整；2点92111分；3点5511分；3点3

2711

分．

【例18】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值

是多少?

【解析】因为秒针，分针，时针的速度分别是360度/分，6度/分，0.5度/分，显然x 的值大于1而小于2，

则有6360(1)360(1)0.5,x x x x --=--解得:1440.1427x =故x 的值是

1440

1427

分钟. 【答案】1440

1427

【例19】小王下午6点多外出买东西时，看到时钟上时针和分针互相垂直，近7点回到家时，发现时钟上

时针和分针仍然互相垂直，试估计小王外出用了多长时间（精确到1分）？

【解析】方法1

设小王外出的时间为6点x 分，根据题意，这时分针应在时针之后，列出方程60.518090x x =+-，

解得18011x =，故小王是6点180

11

分外出的，

同理求得小王回家时刻为6点54011。540180360

33111111

-=≈（分）

答小王外出用了33分钟 方法2

分解题意，设小王6点x 分外出，6点y 分回家，可列出方程组60.518090

60.518090x x y y =+-??=+-?

，两试相减，

得()360

5.518011

y x y x -=-=，（分） 即小王外出时间为

360

3311

≈分 【答案】33分

【巩固】某人天天六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110度，下午近七点回家时，

发现时针和分针的夹角还是110度，试算出此人外出用了多少时间？

【解析】分针走一分走了6度，即分针的角速度是：6度/分，时针一分走0.5度，即角速度是：0.5度/分

开始时分针在时针后面110度，后来是分针在时针前面110度， 设x 分 60.51102x x -=? 40x =

【答案】40分针

课后作业

1.一天当中，有 个满足时针和分针的夹角为90?且为整点的时刻． 【解析】略 【答案】4

2.如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠

GCB FCG =∠-∠10=?，求GCB ∠的度数．

G

A B C D

E 图2F

【解析】设ACD x ∠=，则有：10DCE x ∠=+?，20ECF x ∠=+?，30FCG x ∠=+?，40GCB x ∠=+?．

所以5100180x +?=?，16x =?，56GCB ∠=?

【答案】56?