平面应力状态开孔应力场的研究

平综述

摘要：在机械制造、航空、造船、建筑等领域, 开孔问题是十分普遍的。然而, 开孔必

然引起应力集中现象, 这一直是工程技术人员十分关心的问题。对平面应力状态开孔周边应力场的研究, 掌握应力场的变化规律, 在实际工程中具有十分重要的意义.

关键词：应力场开孔平面应力状态

1 前言

对于开口结构来说，特别突出的一个问题就是临界区域的孔边应力集中问题。准确的求解孔周围的应力是很困难的,特别是对于一些复杂孔型。就像人们所知道的,孔口附近往往也就是构件最薄弱的区域。因此，对开孔及其周边应力场的研究，对于机械及相关领域来说至关重要，这将是我们必须长期坚持和努力的研究领域。

2开孔周边应力场的研究历史及现状

2.1 复合材料开孔周边应力场研究

吴德隆[1]在对二维平面的复合材料结构开孔分析中，得出相应的结论：开孔引起的应力扰动项是局部的,随距离的增加而迅速衰减。最大应力集中发生在孔角处45°，并与开孔尺寸成反比。李成[2]等为了探索出一种方法，使得在实际设计中,计算含孔的复合材料板的应力、强度时，既可以避免级数法的繁琐,又可以提高其计算精度。于是他们以复变函数理论为基础,借助积分方程,采用多复变量应力函数对含圆孔形的复合材料板进行研究,得到了精确边界条件下的应力解析, 并用所得到的应力表达式对不同载荷的影响进行了分析、评价,同含有圆孔的均质材料板边的应力场进行比较。得出了含复杂孔形孔边应力的解析解法。并且得出了对带有圆形孔的复合材料板和均质材料板,在不同方向的载荷作用情况下的计算方法,这种计算方法在工程中有很高的实用价值。

2.2 平板开孔应力场的研究

张涛[3]等对开椭圆孔有限板的应力集中问题进行研究。应用弹性力学的复变函数理论,在各内边界上引入保角变换,在外边界上采用分段函数,通过傅立叶级数展开,计算整个弹性板的应力场,给出了开椭圆孔有限板的计算实例。突破了开

孔的形式、位置、载荷形式等的限制, 且充分考虑了板边界的存在, 适用于大开孔结构。杨丽红等人[4]采用复变函数理论与保角映射技术,将含矩形孔的无限域保角映射到单位圆内,求得了含矩形孔的无限大板在单向应力状态及纯剪切状态下的孔边应力,对几种不同边长比的矩形孔进行了系列计算,并将结果图谱化。使得结论更加系统、全面、清晰,便于工程应用。给出了孔边峰值应力随边长比、方位角及圆角曲率半径的变化规律。并通过光弹性实验, 验证了理论计算结果的正确性。利用叠加原理, 将计算结果进行组合, 可以分析各种不同受力时的孔边应力。并且由于平板弯曲边值问题的微分方程与其研究的问题相似,故他的解答又可移植到含孔无限大板的平板弯曲问题上。杨晶[5]从弹性力学的角度入手，针对经典解法中将平板开小圆孔视为平面应力问题，采用应力法求得开孔板应力，分析了孔边应力集中的大小。并且针对某一具体算例，将经典解与三维有限元得到的解相比较，对两种解法所得到的结果进行了比较和探讨。他认为对于具体的平面问题，常采用直角坐标解答和极坐标解答。而涉及平板开孔问题，分析孔边应力集中时，则采用极坐标更为方便。于是其通过运算，得出了基尔斯解答。杨晶针对经典解研究平板开小孔处应力集中问题时存在的缺陷，添加了对板厚影响的考虑。由于平板开孔的应力集中问题是弹性力学平面问题中一个经典的问题，也是实际工程中常见的问题。而作为平面问题的典型代表，圆孔应力集中问题的经典解中，考虑平面内的3个应力分量，忽略了沿厚度方向上应力的变化。于是用有限元对小孔应力集中进行分析时，杨晶采用的是三维模型，由于三维有限元法中，考虑了厚度的影响，可分析得到各应力分量沿板厚的变化，且在各个发生应力集中的区域上，中间板厚处的应力值大于板表面的应力。而经典解无法考虑这一变化。这是杨晶等人取得的新进展。

2.3 连接件孔边应力场的研究

高存法[6]应用直线边界上的Cauchy 积分和复应力函数Paber 级数展开的方法对被N 个任意大小,任意排布的承载螺栓孔削弱的正交异性板应力场问题的研究。得到了确定有关复应力函数未知系数的线性方程组,进而得到了任一孔口周边应力场的表达式，并分别给出了两个自由孔和两个承载孔应力集中问题的算例。王克峰[7]等人，则主要从细节入手，针对在机械制造业中,大量使用螺栓或铆钉等连接件以实现连接和传力功能的现象。而连接件孔的存在又使得孔的边缘

上存在应力集中。我们知道,机械结构中，大多数损坏是由于应力集中处引起的疲劳裂纹造成的, 因此准确得到连接区的应力集中系数十分重要。王可峰等人还引用了其他学者在相关领域的研究成果，具体有西田正孝等人[ 8 ]假设无载荷时销钉不使孔壁受到压力,而且没有间隙,不考虑接触体间的摩擦力,系统地进行了光弹性试验和光干涉试验,获得了半无限板的孔边切向应力和挤压应力的分布情况。并给出了孔距边界的距离对孔边应力的影响。弗罗奇特和希尔[9] 通过光弹性试验给出了销钉连接孔边应力随板宽的变化。Iyer[10] 通过有限元计算, 得出了平面应力状态下孔的应力状态。分析了不同的接触摩擦系数,不同的钉和板的材料,板的有限宽和无限宽对孔边的应力影响,得出了以下的结论:(1)当钉和板的材料都为金属材料,并且钉和板间的摩擦系数较小的时候,无限大板的接触压力以及板的切向应力与连接件的材料无关。(2)当板为有限宽度时,板的应力集中系数会比相同情况下的无限宽时偏大。(3)连接件材料,板的维度,摩擦系数这三个影响孔边应力的因素中摩擦系数的影响最大。Yavari[11]等在Iyer 的基础之上增加了板的宽度、孔到边缘的距离、钉和孔的配合间隙对孔边应力的影响, 得出了大的摩擦系数和小的板宽会使连接更安全的结论。颜东煌等[12] 验证了有限元模型的参数设置对结果的影响,并运用接触算法计算了轴销连接结构的接触应力分布情况,得出了材料的本构关系对轴销连接接触应力有较大的影响, 而接触区的摩擦系数对接触挤压应力几乎无影响的结论。丁然、郭彦书、刘庆刚[13]等在最近发表的文章《压力容器开孔间距对应力集中的影响》中，采用ANSYS 有限元软件，对压力容器筒体上不同中心距L 的两相邻直径为d 的开孔周边应力场进行分析，并定义参数K ＝L /（2 d ）。结果表明：无接管模型开孔周边最大应力大于有接管模型，故基于无接管模型的分析结果相对安全；当K <0.9时，随着两开孔间距的增大，开孔中心线上的最小应力显著减小；当K ＝0.9～1.5 时，开孔中心线上的最小应力随开孔间距的增大缓慢减小；当K >1.5时，开孔中心线上的最小应力均接近筒体远离开孔部位的应力。

3 结论

平面应力状态：即只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压，受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态等。平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，

其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。平面应力状态在机械制造、建筑、航空航天、船舶及海洋工程等领域的应用十分广泛，为了满足工程设计的要求, 有时需要在平板上开孔。分析由于开孔引起的应力集中,尽可能的避免材料或构件因应力集中而造成的破坏。是我们学习和研究的重要课题。

一般情况下，孔口的应力集中区域集中在距孔边1.5 倍孔径的范围内。从材料的各向异性和各向同性的角度，原则上孔边应力集中对于各向异性材料来说要比各向同性材料对于材料的破坏性影响要大得多, 这是由材料的各向异性性质决定的。因此, 在情况允许的时候, 尽量使两个方向的材料性质尽可能的接近, 这样可以有效地降低孔边应力的峰值, 以尽可能的避免材料或构件因应力集中而造成的破坏。大多数损坏是由于应力集中处引起的疲劳裂纹造成的, 因此准确得到连接区的应力集中系数十分重要。

参考文献

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[13]丁然,郭彦书,刘庆刚.压力容器开孔间距对应力集中的影响[J].油汽储

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弹性力学-答案

《弹性力学》习题答案一、单选题 1、所谓“完全弹性体”是指（B） A、材料应力应变关系满足虎克定律 B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识是（A ） A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象 D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D ）。 A、杆件 B、块体 C、板壳 D、质点 4、弹性力学对杆件分析（C） A、无法分析 B、得出近似的结果 C、得出精确的结果 D、需采用一些关于变形的近似假定 5、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C） A、材料力学 B、结构力学 C、弹性力学 D、塑性力学 6、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ） A、任务 B、研究对象 C、研究方法 D、基本假设 7、下列外力不属于体力的是（D） A、重力 B、磁力 C、惯性力 D、静水压力 8、应力不变量说明（ D ）。 A. 应力状态特征方程的根是不确定的 B. 一点的应力分量不变 C. 主应力的方向不变 D. 应力随着截面方位改变，但是应力状态不变 9、关于应力状态分析，（D）是正确的。 A. 应力状态特征方程的根是确定的，因此任意截面的应力分量相同

B. 应力不变量表示主应力不变 C. 主应力的大小是可以确定的，但是方向不是确定的 D. 应力分量随着截面方位改变而变化，但是应力状态是不变的 10、应力状态分析是建立在静力学基础上的，这是因为（ D ）。 A. 没有考虑面力边界条件 B. 没有讨论多连域的变形 C. 没有涉及材料本构关系 D. 没有考虑材料的变形对于应力状态的影响 11、下列关于几何方程的叙述，没有错误的是（ C ）。 A. 由于几何方程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移 B. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的位移 C. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的应变分量 D. 几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系 12、平面应变问题的应力、应变和位移与那个（些）坐标无关（纵向为 z 轴方向）（ C ） A、 x B、 y C、 z D、 x, y, z 13、平面应力问题的外力特征是（A） A 只作用在板边且平行于板中面 B 垂直作用在板面 C 平行中面作用在板边和板面上 D 作用在板面且平行于板中面。 14、在平面应力问题中（取中面作 xy 平面）则（C） A、σ z = 0 ， w = 0 B、σ z ≠ 0 ， w ≠ 0 C、σ z = 0 ， w ≠ 0 D 、σ z ≠ 0 ， w = 0 15、在平面应变问题中（取纵向作 z 轴）（D） A、σ z = 0 ， w = 0 ，ε z = 0 B、σ z ≠ 0 ， w ≠ 0 ，ε z ≠ C、σ z = 0 ， w ≠ 0 ，ε z = 0 D、σ z ≠ 0 ， w = 0 ，ε z = 16、下列问题可简化为平面应变问题的是（B）。

第三章习题

习题 (应力单位均为10N／mm2) 1、已知oxyz坐标系中物体内某点的坐标为( 4 , 3 , -12 )，其应力分量为 a) 将应力分量画在单元体上； b) 求出通过该点且方程为x+3y+z＝1的平面上的正应力和剪应力; c) 求出其主应力，主轴方向，主剪应力，最大剪应力，应力偏张量及球张量; d) 现将直角坐标系改成圆拄坐标系,原点不变，取原x轴为极轴，试求其应力分量σ lk (l,k＝r，θ,z)。并判断它是否是轴对称状态。(提示:σ lk 也就是原坐标系中r，θ,z 方向各微分面上的应力分量。) 2. 设坐标系oxyz中某点的应力分量为σ x , σ y ,σ z , τ xy , τ yz , τ zx 。现设一新坐标系 oxˊyˊzˊ, 其中三根轴在原坐标系中的方向余弦分别力l 1，m 1 ，n 1 ，l 2 ，m 2 ，n 2 ， l 3，m 3 ，n 3 。试模仿式(3.6)的推导过程，推导τ xˊyˊ τ xˊzˊ 的表达式。 3. 试证明应力偏张量的主剪应力、应力主轴方向与原应力张量相同。 4. 设某物体内的应力场为

试求系数c 1,c 2 ,c 3 。〔提示: 应力场必须满足平衡方程。〕 5. 某质点处于平面应力状态下，现已知其中的应力分量σ x ＝2 0、σ y =?40、τ xy =?30，其余未知,试利用应力莫尔园求出其：主应力、主轴方向、主剪应力及最大剪应力。 6. 试导出圆柱坐标的平衡微分方程式(3.31)中的第一式。 7. 试举出塑性成形工艺中:平面应力、平面变形、轴对称及一般三向应力状态的例子各一个。 8何谓应力、全应力、正应力与切应力？塑性力学上应力的正、负号是如何规定的？9何谓应力特征方程、应力不变量？ 10何谓主切应力、八面体应力和等效应力？它们在塑性加工上有何意义？ 11何谓应力张量和张量分解方程？它有何意义？ 12应力不变量（含应力偏张量不变量）有何物理意义？ 13塑性变形的力学方程有哪几种？其力学意义和作用如何？ 14锻造、轧制、挤压和拉拔的主力学图属何种类型？

应力状态

题101 图示四种应力状态中属于单向应力状态的是( )。题102 求图示平面应力状态的σα、εα。已知α＝４ μ分别材料的弹性模量和泊松比。( )。 (A) τ σ σα-=2 ， )2(1τσ εα-= E (B) τσ σα+=2,) 2(1τσεα+= E (C) τσσα-=2，τμσμεαE E +--=121 (D) τσσα+=2，τ μσμεαE E ++-=121 题103 种答案，其中正确的一个是( )。题103图 (A) 1、2 (B) 1、5 (C) 3、5 (D) 2、4 题 104 矩形截面简支梁如图示，已知梁的横截面面积为A ，截面惯性矩为I ，材料的弹性模量为E ，泊松比为μ, A 点45° 方向的线应变为ε ４５° 。则荷载F 为( )。 (A) A E με-?145 （Ｂ）A E 145-? με (C) A E )1(4945με-? （Ｄ）A E )1(9445με-? 题105 圆轴直径d=20mm,材料的弹性常数E ＝200GPa ， μ＝ 0.3。现测得圆轴表面与轴线成ε ＝题2×１０－４，则转矩( )。 (A) m=1.257N ·m (B) m=12题7N ·m 题102图题103图题104图题105图

(C) m=233.4N ·m (D) m=62.8N ·m 已知σx ＝０，则σy 和τ有( )。 (A) σy =30MPa ，τ＝20MPa (B)σy ＝60MPa ，τ＝20MPa (C) σy ＝－６０MPa ，τ＝40MPa (D) σy ＝60MPa ，τ＝40MPa 题107 中的( )。 (A) (a)与(d) (B) (b)与(c) (C) (a)与(d)及(c)与(b) (D) (a)与(b)及(c)与(d) 题 108 图示受拉板，A 点为凸起处的最高点，应力圆有图示四种可能，正确的答案为( )。题109 从构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。已知σ＝30MPa ，τ＝15MPa ，材料的E ＝200GPa ，对角线AC 的长度改变量为( )。 (A) 3.91 ×１０－３mm (B) 8.43×１０－３ mm (C) 9.29×１０－３mm (D) 10.25×１０－３ mm 题106图题107图题108图题109图

工程力学应力状态与应力状态分析样本

8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态概念， 2、平面应力状态下应力分析， 3、主平面是切应力为零平面，主应力是作用于主平面上正应力。（1）过一点总存在三对互相垂直主平面，相应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγ?εε? = +±-+? = - 5、广义胡克定律

)]( [1 z y x x E σσμσε+-= )]([1 x z y y E σσμσε+-= )]([1 y x z z E σσμσε+-= G zx zx τγ= G yz yz τγ= ， G xy xy τγ= 6、应力圆与单元体之间相应关系可总结为“点面相应、转向相似、夹角两倍。” 8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处原始单元体。图8.1 [解]（1）原始单元体规定其六个截面上应力应已知或可运用公式直接计算，因而应选用如下三对平面：A 点左右侧横截面，此对截面上应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行一对平面，其中靠前平面是自由表面，因此该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下一对与xz 平行平面。截取出单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上应力: A 点偏右横截面正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面应力为： z M y I σ= b I QS z z *= τ 解题范例

工程力学简答题

工程力学简答题一、工程力学范畴内失效的有哪三类？ 1）强度失效，是指构件在外力作用下发生不可恢复的塑性变形或发生断裂。 2）刚度失效，是指构件在外力作用下产生过量的弹性变形。 3）稳定失效，是指构件在某种外力作用下，其平衡形式发生突然转变。二、刚体系统的平衡问题的特点与解法 1）整体平衡与局部平衡的概念系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个刚体也必然是平衡的。 2）研究对象有多种选择要选择对的对象，才能解决问题。 3）对刚体系统作受力分析时，要分清内力和外力内力和外力是相对的，需视选择的研究对象而定。研究对象以外的物体作用于研究对象上的力称为外力，研究对象内部各部分间的相互作用力称为内力。内力总是成对出现，它们大小相等、方向相反、作用在同一直线上。 4）每个刚体上的力系都必须满足平衡条件刚体系统的受力分析过程中，必须严格根据约束的性质确定约束力的方向，使作用在平衡系统整体上的力系和作用在每个刚体上的力系都满足平衡条件。三、材料的基本假定 1）均匀连续性假定假定材料无空隙、均匀地分布于物体所占的整个空间。根据这一假定，物体内的受力、变形等力学量可以表示为各点坐标的连续函数，从而有利于建立相应的数学模型。 2）各向同性假定假定弹性体在所有方向上均具有相同的物理和力学性能。根据这一假定，可以用一个参数描写各点在各个方向上的某种力学性能。 3）小变形假定假定物体与外力作用下所产生的变形与物体本身的几何尺寸相比是很小的。根据这一假定，当考察变形固体的平衡问题时，一般可以略去变形的影响，因而可以直接应用工程静力学方法。四、绘制剪力图和弯矩图的两种方法 1）绘图法，根据剪力方程和弯矩方程，在和坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图和弯矩图。 2）公式法，先在和坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷力度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，无需首先建立剪力方程和弯矩方程。

工程力学-应力状态与应力状态分析报告

8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγ?εε? = +±-+? = - 5、广义胡克定律 )]([1 z y x x E σσμσε+-=

)] ( [ 1 x z y y E σ σ μ σ ε+ - = )] ( [ 1 y x z z E σ σ μ σ ε+ - = G zx zx τ γ= G yz yz τ γ= ，G xy xy τ γ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z * = τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。 8.2图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。解题范例

弹性力学教材习题及解答

1－1. 选择题 a. 下列材料中，D属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 2－1. 选择题 a. 所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。试写出球体的面力边界条件。

应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。解求出后，可求出及，再利用关系

可求得。最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，已知应力分量中，求三个主应力。解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，

已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得当时，证明成立。解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。

解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得则主应变有解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为于是有，同理，可解得与轴的夹角为。物体内部一点的应变张量为试求：在方向上的正应变。

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ansys平面应力和平面应变问题：如果能将三维问题简化为二维问题，将大大节约计算时间。对于平面应力和平面应变问题就可以实现这种简化，本问将介绍一下平面应力和平面应变的概念。平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。举例说来：平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方

向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。而且薄板的两个表面不受外力作用在ANSYS有限元分析中，设置平面应变和应力的命令流方法有两种形式： A. ET,1,PLANE2,,,2 !定义单元类型和属性，设定平面应变问题keyopt(3)＝2 B. ET,1,PLANE2 !定义单元类型 KEYOPT,1,3,2 !设定平面应变问题keyopt(3)＝2 KEYOPT,1,5,0 KEYOPT,1,6,0 ANSYS接触分析：刚性目标面-导向节点 1、缺省时，程序自动约束刚性目标面。也就是说，自动地将目标的位移和转动设定为零。 2、要模拟刚性目标的更复杂行为，可以创建一个特殊的单节点目标单元，称为导向节点。 >该单元通过具有相同的实常数属性与目标面联系起来。比如： *set,_npilot,1000

根据MATLAB的有限元法分析平面应力应变问答刘刚

姓名：刘刚学号：15 平面应力应变分析有限元法 Abstruct:本文通过对平面应力/应变问题的简要理论阐述，使读者对要分析的问题有大致的印象，然后结合两个实例，通过MATLAB软件的计算，将有限元分析平面应力/应变问题的过程形象的展示给读者，让人一目了然，快速了解有限元解决这类问题的方法和步骤！一.基本理论有限元法的基本思路和基本原则以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元彼此在节点出连接而组成整体。把连续体分成有限个单元和节点，称为离散化。先对单元进行特性分析，然后根据节点处的平衡和协调条件建立方程，综合后做整体分析。这样一分一合，先离散再综合的过程，就是把复杂结构或连续体的计算问题转化简单单元分析与综合问题。因此，一般的有限揭发包括三个主要步骤：离散化单元分析整体分析。二.用到的函数 1. LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,p) 2.LinearBarAssemble(K k I f) 3.LinearBarElementForces(k u)

4.LinearBarElementStresses(k u A) 5.LinearTriangleElementArea(E NU t) 三.实例例1.考虑如图所示的受均布载荷作用的薄平板结构。将平板离散化成两个线性三角元，假定E=200GPa ，v=0.3，t=0.025m,w=3000kN/m. 1.离散化 2.写出单元刚度矩阵通过matlab 的LinearTriangleElementStiffness 函数，得到两个单元刚度矩阵1k 和2k ，每个矩阵都是6 6的。 >> E=210e6 E = 210000000 >> k1=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0,0,0.5,0.25,0,0.25,1) k1 =

尝试七平面应力状态下的主应力测试

中国矿业大学力学实验报告姓名白永刚班级土木11-9班实验日期2012-12- 30 实验七平面应力状态下的主应力测试薄壁圆筒在弯扭组合变形作用下的主应力测定一、实验目的 1、用电测法测测定平面应力状态下主应力的大小及方向，并与理论值进行比较。 2、测定薄壁圆筒在弯扭组合变形作用下的弯矩和扭矩。 3、学习电阻应变花的应用。 4、学习用各种组桥方式测量内力的方法，进一步熟悉电测法的基本原理和操作方法。二、实验设备 ①弯扭组合实验装置②电阻应变测力仪一套三、实验原理及方法 1.测定主应力的大小和方法薄壁圆筒弯扭组合变形受力简图如图1，横截面A-B 为被测位置，由应力状态理论分析可知，薄壁圆筒表面上的A 、B 点处于平面应力状态。若在被测位置xy 平面内，沿xy 方向的线应变为、，剪应变为,根 x εy εxy γ据应变分析可知，该点任一方向的线应变计算公式为 α

+1 cos 2sin 22 22 x y x y xy αεεεεσαγα-= + -(1) 由此得到主应变和主应力的方向分别为 2x x y y εεεε+= 0tan 2xy x y γαεε=- -（2）对于各向同性材料，主应变、和主应力、方向一致，应用广义胡克定 1ε2ε1σ2σ律，即可确定主应力、1σ2 σ (3) ()1122 E = +1-σεμεμ()2212 E = +1-σεμεμ式中E 、分别为构件材料的弹性模量和泊松比。μ该实验采用1/4桥公共补偿测量 2.测定弯矩薄壁圆筒虽为弯扭组合变形，但A 和C 两点沿X 方向只有因弯曲应力引起的拉伸或压缩应变，且两者数值相等，符号相反，故采用半桥测量，设测得A 、B 两点由弯矩引起的轴向应变为。由广义胡克定律得 M ε (4) M =E σε由截面上最大弯曲应力公式，可得到截面A 、B 的弯矩实验值Z M = W σ为 (5) () 44M=E 32M Z M E D d W D πεε-= 3.测定扭矩当薄壁圆筒受纯扭转时，B 、D 两点45o 方向和-45o 方向的应变片都是沿主应力方向。且主应力、数值相等符号相反，因此采用全桥测 1σ2σ量，可得B 、C 两点由扭矩引起的主应变由平面应力状态的广义胡克 T ε定律得 (6)()()T 112T T 22E E E = +=[+-]=1-1-1+εσεμεεμεμμμ 管线不仅可以解决吊顶对全部高中资料试卷电据生产工艺高中资料试卷要保护高中资料试卷配置技术

材料力学第五版第七节应力状态答案

第七章应力状态与强度理论一、教学目标和教学内容 1．教学目标通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从具有受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。掌握强度理论的概念。了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。掌握常用的四个强度理论的相当应力。了解莫尔强度理论的基本观点。会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。 2．教学内容 ○1应力状态的概念； ○2平面应力状态分析； ○3三向应力状态下的最大应力；

○4广义胡克定律?体应变； ○5复杂应力状态的比能； ⑥梁的主应力?主应力迹线的概念。讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。简单介绍莫尔强度理论。二、重点难点重点： 1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。 2、广义胡克定律及其应用。难点： 1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。 2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。 3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。 4、广义胡克定律及其应用。 5 强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、

强度条件及其强度计算。 6 常用四个强度理论的理解。 7 危险点的确定及其强度计算。三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建议学时 10学时五、讲课提纲 1、应力状态的概念所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态（state of stresses at a given point）,是指过一点不同方向面上应力的集合。应力状态分析（Analysis of Stress-State）是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力的极大值和极小值以及它们的作用面。一点处的应力状态，可用同一点在三个相互垂直的截面上的应力来描述，通常是用围绕该点取出一个微小正六面体（简称单元体element）来表示。单元体的表面就是应力作用面。由于单元体微小，可以认为单元体各表面上的应力是均匀分布的，而且一对平

应力应力状态分析习题解答

8-9 矩形截面梁如图所示，绘出1、2、3、4点的应力单元体，并写出各点的应力计算式。解：(1)求支反力R A =1.611KN,R B =3.914KN (2)画内力图如图所示。 x Pl (-)(+) Pl M kN ·m) P P y (-) (-) (+) V kN) 题8-9图 (3) 求梁各点的正应力、剪应力： (4)画各点的应力单元体如图所示。 9-1 试用单元体表示图示构件的A 、B 的应力单元体。（a ）解：（1）圆轴发生扭转变形，扭矩如图所示。 111max 222222333333max 442330,22(')[()]448 11 4()12 12 00(0, 0) 16 Z Z Z Z z V p A b h h h h P P b M V S Pl h y I I b b h b h b M S M Pl W b h σττστστστ==-=-? =-??-?? ?-?= ?=? = =??????=====- =- =??

x x 80A - + 160 80 T (kN ·m ) （2）绘制A 、B 两点的应力单元体： A 、 B 两点均在圆轴最前面的母线上，横截面上应力沿铅垂方向单元体如图所示： 3 3 1601020.216 80510.216 A A t b B t T Pa kPa W T Pa kPa W τπτπ= ==?===-? （b ）解：（1）梁发生弯曲变形，剪力、弯矩图如图所示。 - + 120 V kN) 40 M kN ·m) + 120 4020 60 题9-1（b ）

西安交通大学16年3月课程考试《弹性力学》作业考核试题答案

西安交通大学16年3月课程考试《弹性力学》作业考核试题答案一、单选题（共30 道试题，共60 分。）V 1. 弹性力学研究（）由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移 A. 弹性体 B. 刚体 C. 粘性体 D. 塑性体满分：2 分 > 2. 在弹性力学中规定，切应变以直角（），与切应力的正负号规定相适应。 A. 变小时为正，变大时为正 B. 变小时为负，变大时为负 C. 变小时为负，变大时为正 D. 变小时为正，变大时为负满分：2 分 3. 具体步骤分为单元分析和整体分析两部分的方法是（） A. 有限差分法 B. 边界元法 C. 有限单元法的 : D. 数值法满分：2 分 4. 平面问题的平衡微分方程表述的是（）之间的关系。 A. 应力与体力 B. 应力与应变 C. 应力与面力 D. 应力与位移满分：2 分 5. 用应变分量表示的相容方程等价于（） A. 平衡微分方程 | B. 几何方程 C. 物理方程 D. 几何方程和物理方程满分：2 分 6. 平面应力问题的外力特征是（） A. 只作用在板边且平行于板中面 B. 垂直作用在板面 C. 平行中面作用在板边和板面上 D. 作用在板面且平行于板中面满分：2 分？

7. 下面不属于边界条件的是（）。 A. 位移边界条件 B. 流量边界条件 C. 应力边界条件 D. 混合边界条件满分：2 分 8. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，不包括哪个步骤（） A. 结构离散化 B. 单元分析 C. 整体分析 ~ D. 应力分析满分：2 分 9. 在弹性力学中规定，线应变（），与正应力的正负号规定相适应。 A. 伸长时为负，缩短时为负 B. 伸长时为正，缩短时为正 C. 伸长时为正，缩短时为负 D. 伸长时为负，缩短时为正满分：2 分 10. 在弹性力学里分析问题，要建立（）套方程。 A. 一 * B. 二 C. 三 D. 四满分：2 分 11. 关于弹性力学的正确认识是（） A. 计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象 D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析满分：2 分、 12. 每个单元的位移一般总是包含着（）部分 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四满分：2 分 13. 平面问题分为平面（）问题和平面（）问题。 A. 应力，应变 B. 切变.应力 C. 内力.应变 …

应力状态分析

第八章应力状态分析 1．矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关于他们的正确性，现有种答案：（A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的；（C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的；正确答案是。 2．已知单元体AB 、BC 面上只作用有剪应力 τ ，现关于AC 面上应力有下列四种答案：（A ）2/ττ=AC ，0=AC σ；（B ）2/ττ=AC ，2/3τσ=AC ；（C ）2/ττ=AC ，2/3τσ-=AC ；（D ）2/ττ-=AC ，2/3τσ=AC ；正确答案是。 3．在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力 βασσ= 成立的充分必要条件，有下列四种答案：（A ）y x σσ=，0≠xy τ；（B ）y x σσ=，0=xy τ；（C ）y x σσ≠，0=xy τ；（D ）xy y x τσσ==；正确答案是。 C τ (a) (b)

4．对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间有下列四种答案：（A ）三种应力状态均相同；（B ）三种应力状态均不同；（C ）（b ）和（c ）相同；（D ）（a ）和（c ）相同；正确答案是。 5．直径为d 的圆截面杆，两端受扭转力偶m 作用。设 ?=45α，关于下列结论（E 、v 分别表示材料的弹性模量和泊松比） 1）在A 、B 、C 点均有0==y x εε； 2）在点C 处，() 3 /16d m πσα-=； 3）在点C 处，)]/(16[]/)1[(3 d m E v πεα?+-=；现有四种答案：（A ）1）、2）正确；（B ）2）、3）正确；（C ）1）、3）正确；（D ）全正确；正确答案是。 6．广义虎克定律适用范围，有下列四种答案：（A ）仅适用于脆性材料；（B ）仅适用于塑性材料；（C ）适用于材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D ）适用于任何材料；正确答案是。 m A C τ (a) (b) (c)

材料力学习题第六章应力状态分析答案详解

第6章应力状态分析一、选择题 1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。（A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点。 2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。（A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。（A ）AC AC /2,0ττσ==；（B ）AC AC /2,/2ττσ==；（C ）AC AC /2,/2ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。 4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。（A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的；（C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的。 5、对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。（A ）三种应力状态均相同；（B ）三种应力状态均不同；（C ）（b ）和（c ）相同；（D ）（a ）和（c ）相同； 6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。解答：max τ发生在1σ成45o 的斜截面上 7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。（A ）脆性材料；（B ）塑性材料；（C ）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D ）任何材料； 8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适用于（ C ）。（A ）任何材料在任何变形阶级；（B ）各向同性材料在任何变形阶级；（C ）各向同性材料应力在比例极限范围内；（D ）任何材料在弹性变形范围内。解析：在推导公式过程中用到了虎克定律，且G 、E 、v 为材料在比例极限内的材料常数，故适应于各向同性材料，应力在比例极限范围内 9、点在三向应力状态中，若312()σνσσ=+，则关于3ε的表达式有以下四种答案，正确答案是（ C ）。（A ）3/E σ；（B ）12()νεε+；（C ）0；（D ）12()/E νσσ-+。解析： 10、图示单元体处于纯剪切应力状态，关于045α=方向上和线应变，现有四种答案，正确答案是（ C ）。（A ）等于零；（B ）大于零；（C ）小于零；（D ）不能确定。解析： 11、图示应力状态，现有四种答案，正确答案是（ B ）。（A ）0z ε>；（B ）0z ε=；（C ）0z ε<；（D ）不能确定。 2(1)E G v = +2(1) E G v = +()()()()3312312312121,1 0v v E v v E εσσσσσσεσσσσ= -+=+????∴=+-+=??? ?()33121110xy xy xy v v v E E E εσσστττ+??=-+=--=

平面应力问题

平面应力问题平面应力问题平面域A内的基本方程: 平衡微分方程（在A内）几何方程（在A内）物理方程（在A内） ?即: σ=E(ε+με)xxy?2 1-μ ?? Eσy=(ε+με)?yx 1-μ2? ?Eτ=γ xyxy 2(1+μ)S上边界条件: 应力边界条件在σ上） ??σx?τyx +=0,? ?x?y? ?常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解?σy?τxy +=0.? ??y?x ?2 ?2Φ xσy=2-Yy,2 xy ?x s σ= ?Φ?y -Xx, τ=-?x?y 2

二、基本假设 1、连续性假定假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。 2、完全弹性假定 a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。 3、均匀性假定假定物体由同种材料组成,因此， E、μ等与位置无关。 4、各向同性假定假定物体各向同性。E、μ与方向无关。由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。 5、小变形假定假定位移和形变为很小。a.位移＜＜物体尺寸，例：梁的挠度v＜＜梁高h。例：梁的≤10－3 ＜＜1, ＜＜1弧度。小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于(ε , γ ) >> (ε, γ )2 >> ( ε ,γ ) 3 ???? ,可略去 2等项,使几何方程成为线性方程。弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。第二节有限元方法概述 1分析思路是：将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。 2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但要满足变形协调条件，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。 3弹性力学的基本概念①体力：分布在物体体积内的力，如常见的重力、惯性力②、面力是指分布在物体表面的力，如流体的压力和接触力。P5,6 例题1：试分析AB薄层中的应力状态 zzxzy 在近表面很薄一层内 zzxzy 故接近平面应力问题

2011-2012材料力学试卷(A卷)

2011-2012材料力学试卷（A卷）一、选择题（每题4分，共20分，机制、农机做1-5，建环做1-4，6） 1、设轴向拉伸杆横截面上的正应力为σ，则450斜截面上的正应力和剪应力。 A 分别为σ/2和σ B 均为σ C 分别为σ和σ/2 D 均为σ/2 ]＝2[τ]，为充分提高材料的利2、图示铆接件，若板与铆钉为同一材料，且已知[σ jy 用率，则铆钉的直径ｄ应为。 A d=2t B d=4t C d=4t/π D d=8t/π 3一点的应力状态如右图所示，则其主应力1σ、2σ、3σ分别为 A 30MPa、100 MPa、50 MPa B 50 MPa、30MPa、-50MPa C 50 MPa、0、-50MPa D -50 MPa、30MPa、50MPa 4、两根材料和柔度都相同的压杆， A临界应力一定相等，临界压力不一定相等 B临界应力不一定相等，临界压力一定相等 C临界应力和临界压力一定相等 D临界应力和临界压力不一定相等 5、图示交变应力循环特征γ，应力振幅σa和平均应力σm分别为 A γ＝2，σa＝20MPa，σm＝－10Mpa B γ＝2，σa＝－40MPa，σm＝10Mpa C γ＝－2，σa＝30MPa，σm＝－10Mpa D γ＝－2，σa＝30MPa，σm＝30MPa

6、图示十字架，AB杆为等直均质杆，o-o为圆轴。当该十字架绕o-o轴匀速旋转时，在自重和惯性力作用下杆AB和轴o-o分别发生__________ A、拉伸变形、压缩变形； B、拉弯组合变形、压弯组合变形； C、拉弯组合变形、压缩变形； D、拉伸变形、压弯组合变形。二、计算题（共80分） 1、（15分）梁受载荷如图所示，请画出梁的剪力图，弯矩图。 2、（15分）已知平面应力状态如图所示（单位为MPa），试用解析法求1、主应力及主平面，并画出正应力单元体。2、面内最大切应力。 3、（10分）一受扭转的圆轴，直径d=260mm，材料的的弹性模量E = 200GPa，泊松比v = 0.3，现用变形仪测得圆轴表面与轴线成45 方向的线应变ε=5.2×10-4。试求转矩m。