高中数学常用公式定理(113个知识点)

高中数学常用公式定理

1. 元素与集合的关系

U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.

2.包含关系

A B A A B B =?=U U A B C B C A ????

3．集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同子集个数共有n 2个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.

4. 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是???

? ??--a b ac a b 4422， 二次函数的解析式的三种形式:

(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;

(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;

(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

5.解连续不等式()N f x M <<常有以下转化形式：

()N f x M <

6. 方程有实数根函数的图象与x 轴有交点函数有零点. 零点存在性定理:

函数在区间上的图像是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点. 即存在，使得，这个c 也就是方程的根.

7.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2-=处及区间的两端点处取得.

8. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”：

9. 命题中常见结论的否定形式： ()0f x =?()y f x =?()y f x =[,]a b ()()0f a f b <()f x [,]a b (,)c a b ∈()0f c =()0f x =

10.四种命题的相互关系

注意：全称命题与存在命题的否定关系。

11.充要条件：

（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

12.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2

121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

13.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 复合函数的单调性口诀:同增异减.

14．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

15.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.

16.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数

2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2

b a x +=对称. 17. 函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=.②函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.

18．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

19.函数()y f x =的图象的对称性

函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=.

20.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

21.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；

（2）0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(()

(1)(≠=

+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 则)(x f 的周期T=2a ；

22.分数指数幂 ：

(1)m n a

=（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1

m

n m

n a a

-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 23．根式的性质：

（1

）n a =.

（2）当n

a =； 当n

,0||,0

a a a a a ≥?==?-

24．有理指数幂的运算性质：

(1) (0,,)r s r s a a a

a r s Q +?=>∈. (2) ()(0,,)r s

rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.

注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

25.指数式与对数式的互化式：

log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

26.对数的换底公式

log log log m a m N N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a

a a M M N N

=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. 27.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=?.若)(x f 的定义域为R ,则

0>a ，且0a ，且0≥?.对于0=a 的情形,需要单独检验.

28. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.

29.数列的同项公式与前n 项的和的关系

11

,1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).

30.等差数列的通项公式 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

其前n 项和公式为

1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22

d n a d n =+-. 31.等比数列的通项公式

1*11()n n n a a a q q n N q

-==?∈； 其前n 项的和公式为

11

(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠?-=??=?.

32.若m 、n 、p 、q ∈N ，且q p n m +=+，那么：当数列{}n a 是等差数列时，有

q p n m a a a a +=+；当数列{}n a 是等比数列时，有q p n m a a a a ?=?。

33. 弧长公式：r l ?=α（α是圆心角的弧度数，α>0）； 扇形面积公式：r l S ?=2

1； 34．三角函数的定义:以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=

r y ，cos α=r x ，tan α=x

y ，符号法则:全STC. 35.同角三角函数的基本关系式 :

平方关系：22sin cos 1θθ+=，”1”的代换.商数关系:tan θ=θ

θcos sin ，弦化切互化. 36.正弦、余弦的诱导公式: 概括为：奇变偶不变，符号看象限。

212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n co απαα-?-?+=??-?

212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n co απαα+?-?+=??-? ３７.和角与差角公式：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.

注意：二化一(辅助角)公式sin cos a b αα+)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a

?=

). 3８.二倍角公式 ： sin 2sin cos ααα=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan ααα

=-. 注意:半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2

α=2cos 1α+± tan 2α=ααcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1

sin +。