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第一章质点运动学

§1-1质点运动的描述

一、参照系坐标系质点

1、参照系

为描述物体运动而选择的参考物体叫参照系。 2、坐标系

为了定量地研究物体的运动，要选择一个与参照系相对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参照系、坐标系是任意选择的，视处理问题方便而定。 3、质点

忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。

说明：⑴质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型）

⑵质点突出了物体两个基本性质1）具有质量

2）占有位置

⑶物体能否视为质点是有条件的、相对的。

二、位置矢量运动方程轨迹方程位移 1、位置矢量

定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置矢量（简称位矢或径矢）。如图1—2，取的是直角坐标系，

r

为质点P 的位置矢量

k z j y i x r

++=（1-1）

位矢大小：

222z y x r r ++==

（1-2）

r

方向可由方向余弦确定：

r

x =

αcos ，r

y =

βcos ，r z =γcos

图 1-2

y

图 1-1

2、运动方程

质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。

运动方程⑴矢量式：k t z j t y i t x t r

)()()()(++=（1-3） ⑵标量式：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =（1-4） 3、轨迹方程

从式（1-4）中消掉t ，得出x 、y 、z 之间的关系式。如平面上运动质点，运动方程为t x =，2t y =，得轨迹方程为2x y =（抛物线） 4、位移

以平面运动为例，取直角坐标系，如图1—3。设t 、t

t ?+时刻质点位矢分别为1r 、2r

，则t ?时间间隔内位矢变化为

1-5） 称r

?为该时间间隔内质点的位移。

j y y i x x r r r

)()(121212-+-=-=?（1-6） 大小为

212212)()(y y x x r -+-=?

讨论：⑴比较r

?与r ：二者均为矢量；前者是过程量，后者为瞬时量

⑵比较r

?与s ?（A →B 路程）二者均为过程量；前者是矢量，后者是标量。一般情况下s r ?≠?

。当0→?t 时，s r ?=?

。 ⑶什么运动情况下，均有s r ?=?

？

三、速度

为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。 1、平均速度

如图1-3，定义：t

r

v ??= （1-7）

称v

为t t t ?+-时间间隔内质点的平均速度。

j v i v j t y i t x t r v y x +=??+??=??=(1-8）

v

方向：同r ?方向。

说明：v

与时间间隔)(t t t ?+-相对应。

2、瞬时速度

v

粗略地描述了质点的运动情况。为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。

定义：dt

r d t r v v t t

=??==→?

→?00lim lim 图 1-3

称v

为质点在t

1-9） 结论

j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==（1-10）

式中dt dx v x =

，dt

dy v y =。x v 、y v 分别为v

在x 、y 轴方向的速度分量。 v

的大小：

2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=??

? ??+??? ??==

v 的方向：所在位置的切线向前方向。v

与G 正向轴夹角满足x

y v v tg =

θ。 3、平均速率与瞬时速率

定义：t

t t t t s v ??+-=??=

内路程

（参见图1-3） 称v 为质点在t t t ?+-时间段内得平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。

定义：dt

ds

t s v v t t =??==→?→?00lim lim

称v 为t 时刻质点的瞬时速率，简称速率。

当0→?t 时（参见图1-3），r d r

=?，ds s =?，有ds r d =

可知：v dt r d dt r d

ds v

====

1-11）

结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。 说明：⑴比较v 与v

：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。

⑵比较v 与v ：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。

四、加速度

为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。

1、平均加速度

定义：t

v v t v a ?-=??=1

2

（见图1-4） 称a

为t t t ?+-时间间隔内质点的平均加速度。

2、瞬时加速度

为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。

图 1-4

2

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定义：dt

v d t v a a t t

=

??==→?→?00lim lim 称a

为质点在t

1-12）

结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。 j dt

y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x

2222+=+==

式中：22dt x d dt dv a x x ==

，22dt

y d dt dv a y y ==。x a 、y a 分别称为a

在G 、P 轴上的分量。 a 的大小：2

2222222

2

2???? ??+???? ??=?

??

? ??+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x a 的方向：a

与G 轴正向夹角满足x

y a a tg =θ 说明：a 沿v 的极限方向，一般情况下a 与v

方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运动）。 瞬时量：r ，v ，v ，a

综上：过程量：r ?，v ，v ，a

矢量：r ，r ?，v ，v ，a ，a

标量：s ?，v ，v

五、直线运动

质点做直线运动，如图1-5 1、位移

i x i x i x r r r

?=-=-=?1212 0>?x ：r ?沿+G 轴方向；0

?沿-G 轴方向。

2、速度

i v i dt

dx dt r d v x ===

0>x v ，v 沿+G 轴方向；0

沿-G 轴方向。 3、加速度

i a i dt

dv dt v d a x x ===

0>x a

，a 沿+G 轴方向；0

沿-G 轴方向。

由上可见，一维运动情况下，由x ?、x v 、x a 的正负就能判断位移、速度和加速度

12

x

图 1-5

的方向，故一维运动可用标量式代替矢量式。 六、运动的二类问题

例1-1：已知一质点的运动方程为j t i t r )2(22-+=（SI ），求：

⑴t=1s 和t=2s 时位矢； ⑵t=1s 到t=2s 内位移；

⑶t=1s 到t=2s 内质点的平均速度； ⑷t=1s 和t=2s 时质点的速度； ⑸t=1s 到t=2s 内的平均加速度；

⑹t=1s 和t=2s 时质点的加速度。

解：⑴j i r

+=21m

j i r

242-=m

⑵j i r r r

3212-=-=?m

⑶j i j i t r v 321232-=--=??=m/s ⑷j t i dt

r

d v 22-==

j i v

221-=m/s

j i v

422-=m/s

⑸j j t v v t v a 213212-=--=?-=??=m/s 2

⑹j dt v

d dt

r d a 222-===m/s 2

例1-2：一质点沿G 轴运动，已知加速度为t a 4=(SI)，初始条件为：0=t 时，00=v ，

100=x m 。求：运动方程。

解：取质点为研究对象，由加速度定义有

t dt

dv a 4==（一维可用标量式）

tdt dv 4=?

由初始条件有：

??

=t

v

tdt dv 0

4

得：22t v = 由速度定义得：

22t dt

dx

v ==

dt t dx 22=?

由初始条件得：

dt t dx t

x

??

=0

210

2

即

103

22

+=

t x m 由上可见，例1-1和例1-2分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。

§1-2圆周运动

一、自然坐标系

图2-1中，BAC 为质点轨迹，t 时刻质点P 位于A 点，t e 、n e

分别为A 点切向及法向的单位矢量，以A

为原点，t e 切向和n e

法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三维） 二、圆周运动的切向加速度及法向加速度 1、切向加速度

如图1-7，质点做半径为r 的圆周运动，t 时刻，质 点速度

t e v v =

（2-1） 式（2-1）中，v v

=为速率。加速度为

dt

e d v e dt dv dt v d a t t

+==（2-2）

式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方

向与t e

共线，称该项为切向加速度，记为

t t t t e a e dt dv a

==（2-3）

式（2-3

2-4）

t

a 为加速度a 的切向分量。

结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数。 2、法向加速度

式（2-2）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。

图 1-7

A ,t

n

e

切向）

(t e

图 1-6

如图1-8，质点由A 点运动到B 点，有

??

???=→→B

A ds e e v v t t

''

因为OA e t ⊥ ，OB e t ⊥'

，所以t e 、t e ' 夹角为θd 。

t t t e e e d

-='（见图1-9） 当0→θd 时，有θθd d e e d t t ==

。

因为t t e e d ⊥，所以t e d

由A 点指向圆心O ，可有

n t e d e d θ= 式（2-2）中第二项为：

n n n t e r

v e dt ds r v e dt d v dt e d v 2===θ 该项为矢量，其方向沿半径指向圆心，称为法向加速度，记为

n n e r

v a

2=（2-5）

大小为

2-6）

式（2-6）中，n a 是加速度的法向分量。

结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径。 3、总加速度

n t n n t t n t e r

v e dt dv e a e a a a a

2+=+=+=（2-7）

大小：

2-8） 方向：a 与t e

夹角（见图t

n a a tg =θ

4

、一般曲线运动

圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于一般曲线运动，只要把曲率半径r 看作变量即可。

讨论：⑴如图1-10，a

总是指向曲线的凹侧。

⑵0≡n a 时，∞→r ，质点做直线运动。此时

t

a 图 1-10

t 图 1-9

υ

图 1-8

?

????==<<>>=)

0,0)0,0)0,0dv dv dv dt dv a t 匀速直线运动（减速直线运动（加速直线运动（

⑶0≠n a 时，r 有限，质点做曲线运动。此时

?

????==<<>>=)

0,0)0,0)0,0dv dv dv dt dv a t 匀速曲线运动（减速曲线运动（加速曲线运动（

⑷????

?

???

?????????????斜抛平抛竖直下抛抛体运动匀速圆周运动减速圆周运动加速圆周运动圆周运动曲线运动特例 三、圆周运动的角量描述 1、角坐标

如图1-11，t 时刻质点在A 处，t t ?+时刻质点在B 处，θ是OA 与G 轴正向夹角，θθ?+是OB 与G 轴正向夹角，称θ为t 时刻质点角坐标，θ?为t t t ?+-时间间隔内角坐标增量，称为在时间间隔内的角位移。 2、角速度

平均角速度：

定义：t

??=θ

?（2-9）

称?为平均角速度。平均角速度粗略地描述了物体的运动。为了描述运动细节，需要引进瞬时角速度。

定义：dt

d t t t θ

θ?ω=

??==→?→?0

0lim

lim （2-10）

2-11） 结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导数。

说明：角速度是矢量，ω

的方向与角位移θ d 方向一致。 3

、角加速度

为了描述角速度变化的快慢，引进角加速度概念。

图 1-11

（1）平均角加速度：

设在t t t ?+-内，质点角速度增量为ω?

定义：t ??=ω

α（2-12）

称α为t t t ?+-时间间隔内质点的平均角加速度 瞬时角加速度：

定义：2200lim

lim dt

d dt d t t t θ

ωωαα==??==→?→?（2-13） 称α为t 时刻质点的瞬时角加速度，简称角加速度。

2-14）

结论：角加速度等于角速度对时间的一阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。 说明：角加速度是矢量，方向沿ω

d 方向。 4、线量与角量的关系

把物理量v 、v 、a 、t a

、n a 等称为线量，ω，α等称为角量。

（1）、v 与ω关系

如图2-7，0→dt 时，θrd ds r d ==

有dt

d r dt

r d θ= 2-15） （2）、t a 与α关系

式（2-15）两边对t 求一阶导数，有

dt

d

r

dt dv ω

= 2-16） （3）、n a 与ω关系

()22

2ωωr r

r r v a n

===

2-17）

§1-3相对运动

本节讨论一个质点的运动，用两个参考系来描述，并得出两个参考系中物理量（如：速度、加速度）之间的数学变换关系。

图 1-12

一、相对位矢

设有参照系E 、M ，其上固连的坐标系，如图1-13，二坐标系相应坐标轴平行， M 相对于E 运动。质点P 相对E 、M 的位矢分别

为PE r

、PM r ，相对位矢为：

E O PM PE r r r '

+=(2-18) 结论：P 对E 的位矢等于P 对M 的位矢

与'O 对E 的位矢的矢量和。 二、相对位移

由（2-18）有

E O PM PE r r r '

?+?=?（2-19）

结论：P 对E 的位移等于P 对M 的位移与'O 对E 的位移的矢量和。 三、相对速度

将式（2-18）两边对时间求一阶导数有

2-20）

结论：P 对E 的速度等于P 对M 的速度与M 对E 的速度的矢量和。 四、相对加速度

由式（2-20

2-21）

结论：P 对E 的加速度等于P 对M 的加速度与M 对E 的加速度的矢量和。

例1-3：质点做平面曲线运动，其位矢、加速度和法向加速度大小分别为r ，a 和n a ，

速度为v

，试说明下式正确的有哪些？

⑴dt v

d a =

⑵22dt

r

d a =

⑶dt

v

d a a n =-22

⑷r

v

v a ?=

解：因为标量≠矢量，所以⑴不对。

又22dt r d a =，而2222dt

r d dt r d ≠ ，故⑵不对。

'

E

图 1-13