同底数幂的乘法讲义

同底数幂的乘法（教师版）

教学内容解析：

第一章《整式的乘除》是七年级上册整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又以幂的运算性质为基础，其基本形式为：a m a n,(a m)n,(ab)m.因此，“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：

同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）

由此可见，同底数幂的乘法是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．

“同底数幂的乘法法则”从发现到验证，经历了“观察——实验——猜想——验证”过程，体现了从特殊到一般的归纳方法，这种方法在探究代数运算规律的时候经常用到．当学生理解和掌握了“同底数幂的乘法”的学习方法和研究路径后，学生就能运用类比的方法，自主地学习“幂的乘方”和“积的乘方”，真正实现由学会到会学的目的．基于教学内容特殊的地位和作用，本节课的教学重点确定为：

同底数幂乘法法则的探究与应用．

学生学情分析

七年级的学生已掌握有理数的运算，并已初步具有用字母表示数的思想．但用字母表示数来归纳同底数幂的乘法法则，使其具有一般性，对学生的抽象思维能力和逻辑推理能力要求较高, 因此，我们设计了从“特殊——一般”的方式，引导学生观察、发现、归纳．七年级学生对已有知识具备直接运用的能力，但思维具有局限性，尚缺乏化未知为已知的转化能力，如通过相反数把多项式进行整体转化，是学生比较难处理的问题．对学生来说整体思想和转化思想是十分重要又困难的数学思维，对学生的数学素养、学习能力要求较高．因此本节课的难点为：

1. 整式的乘法运算化归为三种最基本的幂的运算——同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方；

2. 底数互为相反数的幂的乘法．

教学策略分析

基于对教学内容和学生学情的分析，我们采取以下的教学策略：

策略1：“整体感悟”教学策略．在“创设情境，引入新课”环节中，让学生构造乘法算式，通过小组合作对所得算式进行分类，帮助学生整体感悟整式乘法的基本类型．在学生猜想多项式乘法运算后，通过展开，使学生感受到整式的乘法都是转化为单项式乘以单项式，其基础是幂的三种运算，再一次让学生整体感悟幂的乘法运算类型．

策略2：“长程两段式”教学策略．在“幂的运算”这一单元中，从方法性结构来看，都通过“从特殊到一般”的认知方法认识新知；从过程性结构来看，它们都需要经历“发现和猜想→验证和去伪→归纳与概括→应用与拓展”的知识形成过程．因此，我们对“同底数幂的乘法”的教学采取教学“结构”．这样，学生在“幂的乘方”“积的乘方”以及后面“同底数幂的除法”的学习过程中，就可以类比“同底数幂乘法”的学习过程和方法，开展自主学习，从而培养学生自主学习能力．

策略3：“分层递进”教学策略．为了帮助学生理解法则意义、适用条件，突破运用法则计算底数互为相反数的幂的运算难点，遵循循序渐进教学设计原则，在运用法则环节设计了“辨一辨”“做一做”“判一判”“练一练”“用一用”五个步骤．在充分利用教材的基础上，作适当处理，突出本节教学重点，帮助学生突破难点．

下面结合具体的教学过程，对“问题”设置、学生学习机会创设和学习反馈处理进行分析：

教学目标：

（一）知识与技能

1．理解同底数幂的乘法法则．

2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．

3．感受生活中幂的运算的存在与价值．

（二）过程与方法

1．经历自主探索同底数幂乘法的运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这一性质，并会运用它们熟练地进行计算．

2．通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．

（三）情感态度与价值观

体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．

教学重点：

正确理解同底数幂的乘法法则．

教学难点：

正确理解和应用同底数幂的乘法法则．

教学方法：

自主探究、发现

教学过程：

一．提出问题，创设情境

1.复习a n 的意义：

a n 表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方． 乘方的结果叫幂； a 叫做底数， ?n 是指数．

2.提出问题：

问题：一种电子计算机每秒可进行1014次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

【学生思考】

①能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？

计算机工作103秒可进行的运算次数为：1014×103．

②1014×103如何计算呢？

根据乘方的意义可知

1014×103=（10×…×10）×（10×10×10）=（10×10×…×10）==1017．

二．发现归纳，探究新知

14个10 17个10

3个10

1．根据乘方的意义计算下列式子， 看看计算结果有什么规律：

（1）25×22

（2）a 3·a 2

（3）5m ·5n （m 、n 都是正整数）

2．猜一猜

你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．

【归纳】

我们可以发现下列规律：

（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．

（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．

3．议一议

a m ·a n 等于什么（m 、n 都是正整数）？为什么？

【师生共析】

a m ·a n 表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：

a m ·a n

=(a·a· … ·a)·(a·a· … ·a)= a·a· … ·a =a m+n

于是有a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数），用语言来描述此法则即为：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

a m 表示n 个a 相乘，a n 表示n 个a 相乘，a m ·a n 表示m 个a 相乘再乘以n 个a 相乘，也就是说有（m+n ）个a 相乘，根据乘方的意义可得a m ·a n =a m+n ．

三、应用新知，体验成功

1．【辨一辨】

下列各式哪些是同底数幂的乘法？

【设计意图】辨析法则运用的条件．

2．【做一做】

计算下列各式，结果用幂的形式表示.

3．【判一判】

下面的计算对吗？如果不对，怎样改正？

(1) a 3 · a 3= 2a 3 (2) a 2 ·a 3 = a 6

(3) a · a 6 = a 6 (4) 78 ×（-7）3 = 711

归纳运用法则时应注意的地方．

【设计意图】设置4种典型错题，让学生辨析，达到以错纠错目的，帮助学生进一步理解和掌握法则，优化算法，体验转化思想．

m 个a n 个a m+n 个a

4．【做一做】

计算下列各式，结果用幂的形式表示.

【设计意图】帮助学生突破底数互为相反数的幂的乘法运算这一难点，优化底数为数或多项式两种情形算法，进一步体验化归思想，提高思维能力．

5．【用一用】

光年是长度单位，1光年是指光经过一年所行的距离．光的速度大约是3×105 km/s ，

一颗行星与地球之间的距离为100光年，若取一年大约为3×107 秒，则这颗行星与地球之

间的距离大约为多少千米？

【设计意图】同底数幂的乘法在实际生活中的应用．

四、知识提升：

计算x · x 5 · x 9

【设计意图】熟练并能灵活运用法则，并将法则推广为三个及三个以上同底数幂乘法． 想一想

当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质？

a m ·a n ·a p =(a·a· … ·a)· (a·a· … ·a) · (a·a· … ·a) = a·a· … ·a =a m+n+p

做一做

计算：

（1）x 2·x 5 （2）23×24×25 （3）2×24×23 （4）x m ·x 3m+1

五、反馈练习，巩固新知

1．课本3页练习

2．判断下列计算是否正确，并简要说明理由：

① a · a 2＝ a 2

② a ＋a 2 ＝ a 3

③ a 3 · a 3＝ a 9

④ a 3＋a 3 ＝ a 6

3．计算：

（1）107 ×104 （2）x 2 · x 5 （3）23×24×25 （4）y · y 2 · y 3

六．课时小结 a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

a m ·a n ·a p =a m+n+p

m 个a p 个a n 个a m+n+p 个

1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。对这个法则要注重理解“同底,相乘,不变,相加”这八个字.

2.底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.运算时不同底的要先化为同底的，才可以运用法则.

3.解题时，底数是负数的要用括号把底数括起来.

4.解题时，要注意指数为1的情况，不要漏掉.

七、课堂作业

补充习题第1、2、3、4、5

补充习题

1．计算：

（1）（－3）7×（－3）6；（2）（-0.1）3×（-0.1）；

（3）－x3? x5；（4） b2m? b2m+1.

2．我们可以把8×8×8×8×8写成85，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，它的结果叫，在85中，8叫做，5叫做，85读作。

3．把下列各式写成幂的形式，并写出它的底数、指数：

(1) 3×3×3×3 ；

(2) m·m·m ；

(3)

(4) (s-t)·(s-t)·(s-t) ．

4．填空：

(1)x·x2= ; (2)x3·x2·x= ;

(3)a2·a5= ；(4)y5·y4·y3= ；

(5)m6·m6= ；(6)10·102·105= ；

5．下列各选择项中两个幂是同底数幂的是( )

A.(-a)2与a2

B.-a2与(-a)3

C.-x2与x5

D.(a-b)2与(b-a)3

6．(-x)2·(-x3)·(-x)2·(-x)3= ( )

A.-x36

B.x36

C.-x10

D.x10

7．计算:

(-m)2·(-m) 3·(-m)4·(-m5)

8、计算:

(x-y)·(x-y)3·(y-x)

9．计算:

(x-y)2·(x-y)3·(y-x)2·(y-x)3

10．已知：a m=2， a n=3.

求a m+n =？

答案：

1．（1）（－3）7×（－3）6 = （－3）7+6 = （－3）13；

（2）（-0.1）3×（-0.1） = （-0.1）3+1 = （-0.1）4

（3）－x3? x5 = －x3+5 = －x8；

（4） b2m? b2m+1 = b2m+2m+1 = b4m +1.

2．幂，底数，指数，8的5次方

3．(1)34 (2)m3 (3)a50 (4) (s-t)3

4. (1) x3 (2)x6 (3)a7 (4)y12 (5)m12 (6) 1013

5.C

6.D

7. (-m)14 8. -(x-y)5 9. -(x-y)10

10. a m+n = a m· a n =2 × 3=6