第九章_相对论性量子力学

第九章 相对论性量子力学

2007年12月14日上课内容

量子力学与狭义相对论结合，产生了Klein-Gordon 方程和Dirac 方程 §9.1 相对论性波动方程 9.1A Klein-Gordon 方程

经典力学中，对于自由粒子，能量与动量的关系m

p

E 22

=

。

量子力学中，力学量变成了算符，得到Schrodinger 方程()()t x m

t x t

i ,2,2

2

ψψ?-

=??

。

上面的情况是在非相对论情况下讨论问题。

在相对论下，能量42222c m p c E +=，经过?=→??=→i

p p t

i E

E ?,?，可得 ()

φφ42222??c m p c E

+=------Klein-Gordon 方程 φφφ2

2

22

2

22

1

c m t

c -

?=??

------

与普通波动方程相比多了一个质量项。

()

*

*2***22

2*2*2222**

22

222

2*

11φφφφφφφφ

φφφφφφφφφφφφ?-???=??

? ????-???????? ??-?-???? ??-?=??

-??

c t t t c m c m t c t c

()

*

*

**2

220

φ

φφφ

φφφφρρ?-?=

??

? ????-??

==??+??mi

J t t mc i J t

----------连续性方程 将连续性方程对整个空间积分，假定波函数在无穷远处为0，则03

=???

r d t

ρ---几率守恒。

负概率的困难？

将ρ乘上电荷，可以解释为电荷密度。将J 乘上电荷则为电流密度。

电荷密度可正可负，几率守恒可表示电荷守恒。

总之，Klein-Gordon 方程是一切自旋为0的粒子所满足的相对论波动方程。与Dirac 方程一样，负概率的困难将在二次量子化后得到解决。

[非相对论近似]：在非相对论近似下，K-G 方程将过渡到普通的Schrodinger 方程。 令()()??

?

??

-

=t mc i

t r t r 2exp ,, ψφ，则

()()()()t r mc t i e t r t i t r mc t i e

t r t

i t mc i

t

mc i ,,,,2

22

22

2

ψφψφ??

?

??+??=??? ??????

?

??+??=??--

由Klein-Gordon 方程，()φφ42222??c m p c E

+=，可得 ()()()t r c m p c t r mc t i ,?,4222

2

2ψψ+=??

?

??+?? 这里，因为t

i ??

相当于动能，即

22

1mv 。与2

mc 相比，具有

2

2c

v 的数量级。所以在非相对

论近似下，存在，

??

? ??

??+≈??? ????+??? ????+=??? ??+??t i mc c m t i t i mc c m mc t i 2422

2422

222 结合以上结果，可知

()()()

()()()

t r m

p

t r t

i t r c m p

c t r t i mc t r c m ,2?,,?,2,2

4222

242ψψψψψ=

???+=??

? ????+

至此，Klein-Gordon 方程就过渡到非相对论波动方程。

9.1B Dirac 方程

Klein-Gordon 方程将Schrodinger 方程中的时间微商由一次变为二次，虽然满足了相对论的要求，却带来了负概率的困难。Dirac 采取了相反的方法，他把空间微商由二次降为一次，以求得和时间的一致。结果是克服了负概率的困难，得到了电子运动的相对论波动方程，即Dirac 方程。

将相对论能量方程两边开方，得

()2

4

2

2

2

mc p c c m p c E βα+?=+=

在上式中做代换，()()φβαφ2

mc p c t

i +?=??

式中，βα,为矩阵。Dirac 方程为矩阵方程，由于时空均匀性，βα,与t r ,无关。 分析βα,的性质：