云南省红河州泸西一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)试题

云南省红河州泸西一中2020-2021学年高二上学期期中考试

数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知命题p ：00x ?>，0ln 0x <.则p ?为( ).

A ．0x ?>，ln 0x ≥

B ．0x ?≤，ln 0x ≥

C ．00x ?>，0ln 0x ≥

D ．00x ?≤，0ln 0x < 2．复数21i

-等于（ ） A ．１+ｉ

B ．１－ｉ

C ．－１+ｉ

D ．－１－ｉ 3．若a ∈R ，则“a=1”是“|a|=1”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A ．8

B ．16

C ．32

D ．64

5．已知椭圆C ：2221(0)4

x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为

A ．13

B ．12

C ．2

D ．3

6．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(2)y k x =-与圆221x y +=有两个不同公共点的概率为（ ）

A ．29

B ．6

C ．13

D 7．如果用反证法证明“数列 {}n a 的各项均小于 2”，那么应假设( )

A ．数列 {}n a 的各项均大于 2

B ．数列 {}n a 的各项均大于或等于 2

C ．数列 {}n a 中存在一项 k a ，k a 2>

D ．数列 {}n a 中存在一项 k a ，k a 2≥

8．下列说法正确的是（ ）

A ．命题“若21x =，则1x =”是真命题

B ．命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆命题是“若2x ≠，则2560x x -+≠”

C ．命题“已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题

D ．命题“若2x =，则2560x x -+=”的否命题是“若2x =，则2560x x -+≠”

9．双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，若这两曲线的一个交点P 满足PF x ⊥轴，则a =（ ）

A 1

B 1

C ．12

D ．2 10．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）

A ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐

B ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐

C ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐

D ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 11．设命题p 实数x 满足1x a ->（其中0a >）；命题q 实数x 满足2631x

x --<.若p ?是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[)3,+∞

B ．(]3,-∞

C ．(]3,3-

D ．()2,2-

12．设椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为( ).

A ．(0,]2

B ．3

(0,]4 C ．,1)2 D ．3

[,1)4

二、填空题

13．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问毕业会考数学成绩，老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则可以知道自己成绩的同学是________.

14．一个椭圆中心在原点，焦点12F F ，在x 轴上，(P 是椭圆上一点，且

|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____．

15．从13、12

、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m 、n ，则“log m n ＞0”的概率为_____．

16．给出下列三个命题：①命题00:,20x p x R ?∈≤，则:,20x p x R ??∈>；②若p q ∧为真命题，则,p q 均为真命题；③“若2230x x +-≠，则3x ≠-”为假命题.其中正确的命题个数有________个.

三、解答题

17．已知集合{}128,112x A x B x x m ??=<<=-<<+????

，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，求实数m 的取值范围.

18．为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测

量树苗高度（单位：cm ），经统计，其高度均在区间[]1931，内，将其按[)1921，，[)2123，

，[)2325，

，[)2527，，[)2729，，[]2931，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．

（1）求图中a 的值；

（2）已知所抽取这120棵树苗来自于,A B 两个试验区，部分数据如下列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系，并说明理由；

参考公式：()()()()()

22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 19．已知椭圆x 2

4+y 2

9=1及直线l ：y =3

2x +m （1）当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；

（2）当m =3时，求直线l 被椭圆截得的弦长

20．给定命题p ：对任意实数x 都有210ax ax ++>成立；命题q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 21．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A ，B ，C 三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：

A 类行业：85，82，77，78，83，87；

B 类行业：76，67，80，85，79，81；

C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．

（Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；

（Ⅱ）若从抽取的A 类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．

22．设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．

（Ⅰ）若点P 为(1,0)-，求直线AB 的方程；

（Ⅱ）若点P 为圆22(2)1x y ++=上的点，记两切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求12

11|

|k k -的取值范围．

参考答案

1．C

【详解】

因为特称命题的否定是全称命题，即改变量词又否定结论，

所以p ：00x ?>，0ln 0x <的否定 p ?:

.

故选C.

2．A

【详解】 211i i

=+-，选A

3．A

【解析】

试题分析：先判断“a=1”?“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案．

解：当“a=1”时，“|a|=1”成立

即“a=1”?“|a|=1”为真命题

但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立

即“|a|=1”时，“a=1”为假命题

故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件

故选A

点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”?“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键．

4．C

【解析】

【分析】

根据程序框图进行模拟计算即可．

【详解】

解：当1a =，2b =时，2S ab ==，100S <成立，

则2a =，2b =，224S ab ==?=，100S <成立，

则2a =，4b =，248S ab ==?=，100S <成立，

则4a =，8b =，4832S ab ==?=，100S <成立，

则8a =，32b =，832256S ab ==?=，100S <不成立，

输出32b =，

故选C ．

【点睛】

本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键． 5．C

【详解】

分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，

，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c

的关系，求得a =最后利用椭圆离心率的公式求得结果.

详解：根据题意，可知2c =，因为24b =，

所以2228a b c =+=，

即a =

所以椭圆C

的离心率为2

e ==，故选C. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果. 6．D

【解析】

圆221x y +=的圆心为()0,0，圆心到直线()2y k x =-

，要使直线

()2y k x =-与圆221x y +=

1<，

解得k <<∴在区间[]1,1-上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=

有公共点的概率为

(

)11P ?- ??==--故选D.

7．D

【解析】

试题分析：各项均小于2，的否定是存在一项大于或等于2，所以选D

考点：反证法

8．C

【解析】

对于A ，若21x =，则1x =±，所以A 不正确．

对于B ，命题“若x 2-5x +6=0，则x =2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2-5x +6≠0”，所以B 不正确．

对于C ，命题“已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是“已知,x y R ∈，若21x y ==且，则3x y +=”为真命题，所以C 正确．

对于D ，命题“若x =2，则x 2-5x +6=0”的否命题是“若x ≠2，则x 2-5x +6≠0”，所以D 不正确．

本题选择C 选项.

9．A

【分析】

根据抛物线方程得F 点坐标，得c ；根据PF x ⊥轴可知PF 既是抛物线通径长的一半，又是双曲线通径长的一半，从而可得,a b 的关系；通过222+=a b c 构造出关于a 的方程，解方程求得结果.

【详解】

由题意得：()1,0F ，即1c =

PF x ⊥轴 PF ∴为抛物线通径长的一半 2PF ∴= 又PF 为双曲线通径长的一半，即2

2b a

= 22b a ∴=

由222+=a b c 得：221a a +=，解得：1a =-1a =-+本题正确选项：A

【点睛】

本题考查双曲线和抛物线的几何性质的应用，属于基础题.

10．D

【分析】

由茎叶图，可分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐．

【详解】

由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：

甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37

乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47 所以192021232529313233372710

+++++++++==甲， 101014262730444646473010

+++++++++==乙， 根据茎叶图可知，22S S <甲乙，

故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐． 故选：D ．

【点睛】

本题主要考查了茎叶图，数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大，属于容易题.

11．A

【分析】 化简1x a ->，2631x x --<，

求出:11,0p a x a a ?-+>，由p ?是q 的必要不充分条件，得到B A ?，列出不等式，即可求解.

【详解】

:1p x a ->，所以1x a <-或1x a >+，0a >

:11,0p a x a a ?-+>

则满足条件p ?的解集是{}|11,0A x a x a a =-+>

2623160x x x x --

即满足条件q 的解集是{|23}B x x =-<<

因为p ?是q 的必要不充分条件，所以B A ?

故有01312a a a >??+??--?

，解得：3a ≥

故选：A

【点睛】

本题主要考查了已知必要不充分条件求参数的取值范围以及集合间的包含关系，

属于中等题.

12．C

【详解】

当P 是椭圆的上下顶点时,12

F PF ∠最大, 121120180,6090,F PF F PO ∴?≤∠

?11,,1c F P a F O c a

==

≤<则椭圆的离心率e 的取值范围为,12?????

,故选C. 【点睛】

本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c 之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.

13．乙和丁

【分析】

乙根据甲说的以及丙的成绩可判断自己的成绩，丁可根据甲说的以及甲的成绩可判断自己的成绩.

【详解】

根据题意甲、乙、丙、丁四人中有2位优秀，2位良好，且甲看了乙、丙的成绩后不能判断出自己的成绩

所以乙和丙成绩不同，一人优秀一人良好

乙知道丙的成绩后，则根据甲说的，乙可知道自己的成绩

丁知道甲的成绩后，由于乙丙是一优秀一良好，则甲与丁也是一优秀一良好，即丁由甲的成绩可判断自己的成绩.

故答案为：乙和丁

【点睛】

本题主要考查了逻辑推理,考查学生的推理能力，属于中档题.

14．22

186x y +

【分析】 设椭圆方程为22

22x y a b

+=1，（a ＞b ＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a ，b ，由此能求出椭圆方程．

【详解】

∵个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，

∴设椭圆方程为22

22x y a b

+=1，（a ＞b ＞0）， ∵P （2

|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴2243124a b a c

?+=???=?，且a 2=b 2+c 2， 解得

，

，

∴椭圆方程为22

186

x y +=． 故答案为22

186

x y +=． 【点睛】

本题考是椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用． 15．715

. 【分析】

根据对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式可得结果.

【详解】

因为log 0m n >等价于1m 且1n >，或01m <<且01n <<， 从13、12

、2、3、5、9中任取两个不同的数，共可得到2630A =个对数值， 其中对数值为正数的有222421214A A +=+=个，

所以“log m n ＞0”的概率为

1473015=. 故答案为：

715

. 【点睛】 本题考查了对数的性质、排列知识和古典概型的概率公式，属于基础题.

16．2个

【分析】

根据特称命题的否定的形式判断①；根据且命题的性质判断②；写出③的逆否命题，根据逆否命题与原命题的真假关系判断③.

【详解】

命题00:,20x p x R ?∈≤，命题p 的否定为:,20x p x R ??∈>，故①正确；

若p q ∧为真命题，则,p q 都是真命题，故②正确；

命题“若2230x x +-≠，则3x ≠-”的逆否命题为“若3x =-，则2230x x +-=”是真命题，即“若2230x x +-≠，则3x ≠-”为真命题，故③错误；

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查了特称命题的否定以及四种命题间的关系，属于基础题.

17．2m >

【分析】

化简集合A ，根据题设条件得出集合A 是集合B 的真子集，由集合的包含关系列出不等式，即可得到实数m 的取值范围.

【详解】

128,{|13}2x A x x x x ??=<<∈=-<

R ，

∵x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，

∴A B ?，∴13m +>，即2m >.

【点睛】

本题主要考查了已知充分不必要条件求参数的取值范围以及集合间的包含关系，属于中等题.

18．（1）0.025a =；（2）详见解析.

【分析】

(1)根据所有矩形的面积和为1,列方程可解得,

(2)先写列联表,再根据列联表中的数据,利用公式计算出观测值,利用临界值表可得结论.

【详解】

解：（1）根据直方图数据，有()220.20.21a a a ?++++=，

解得0.025a =．

（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有()1200.1020.025230??+?=，列联表如下：

可得()2

21201030206070503090

K ?-?=???10.310.828≈<． 所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系．

【点睛】

本题考查了概率的性质,独立性检验,抓住所有矩形的面积之和为1,计算出观测值是解题关键,属于基础题.

19．（1）[?3√2,3√2]；（2）√13.

【解析】

【分析】

（1）根据直线与椭圆有交点，转化为9x 2+6mx +2m 2?18=0有解，判别式大于等于0即可；（2）联立直线与椭圆，根据弦长公式得到|AB |=2?√(x 1+x 2)2?4x 1x 2，代入韦达定理和m 的值即可得到结果.

【详解】

（1）由{y =32x +m x 24

+y 29=1 消去y ，并整理得9x 2+6mx +2m 2?18=0……① Δ=36m 2?36(2m 2?18)=?36(m 2?18)

∵直线l 与椭圆有公共点

∴Δ≥0，可解得：?3√2≤m ≤3√2

故所求实数m 的取值范围为[?3√2,3√2]

（2）设直线l 与椭圆的交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)

由①得： x 1+x 2=?2m 3， x 1x 2=2m 2?189

∴|AB |=√1+k 2?√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=√1+(32

)2?√(?6m 9)2

?4×2m 2?189=√133?

√?m 2+18

当m =3时，直线l 被椭圆截得的弦长为√13

【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系、直线被椭圆截得的弦长问题.对于直线与椭圆的位置关系的判断，采用的方式是联立整理为一元二次方程，根据判别式得到解得个数，从而得到位置关系.

20．()1,0,44??-∞ ???

【分析】

根据p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可判断出p 与q 一真一假，分类讨论即可得出实数a 的取值范围.

【详解】 对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立0a ?=或200440

a a a a >?≤

关于x 的方程20x x a -+=有实数根11404

a a ??=-≥?≤

； 由于p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 与q 一真一假； （1）如果p 真，且q 假，有04a ≤<，且11444

a a >

?<<； （2）如果q 真，且p 假，有0a <或4a ≥，且104a a ≤?<. 所以实数a 的取值范围为：()1,0,44??-∞ ???. 【点睛】

本题主要考查根据复合命题的真假求参数的取值范围，考查不等式恒成立问题及一元二次方程存在解问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

21．（Ⅰ）A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.（Ⅱ）

45

【分析】

第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件，然后再找出3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个数，即可求出3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率。

【详解】

（Ｉ）由题意，得抽取的A ，B ，C 三类行业单位个数之比为3:3:4.

由分层抽样的定义，有 A 类行业的单位个数为

32006010

?=， B 类行业的单位个数为32006010

?=， C 类行业的单位个数为42008010?=， 故该城区A ，B ，C 三类行业中每类行业的单位个数分别为60，60，80.

（Ⅱ）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M . 这3个单位的考核数据情形有{}85,82,77，{}85,82,78，{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,77,78，{}85,77,83，{}85,77,87，{}85,78,83，{}85,78,87，{}85,83,87，{}82,77,78，{}82,77,83，{}82,77,87，{}82,78,83，{}82,78,87，{}82,83,87，

{}77,78,83，{}77,78,87，{}77,83,87，{}78,83,87，共20种.

这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有{}85,82,83，{}85,82,87，{}85,83,87，{}82,83,87，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形， 故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种， 故所求概率()441205

P M =-

=. 【点睛】

本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题。

22．(Ⅰ）AB ：1x =.（Ⅱ）?? 【解析】

【分析】

（Ⅰ）设直线PA 方程为11x m y =-，直线PB 方程为21x m y =-，分别与抛物线的方程联立方程组，根据直线与抛物线相切，分别求得,A B 的坐标，即可得到AB 的方程； （Ⅱ）设00(,)P x y ，得直线PA 方程为1100y k x k x y =-+，直线PB 方程为2200y k x k x y =-+，

联立方程组，得出12,k k 时方程2004410x k y k -+=的两根，进而得出12k k -，即可求解. 【详解】

（Ⅰ）设直线PA 方程为11x m y =-，直线PB 方程为21x m y =-，

由121x m y y x

=-??=?，可得2110y m y -+=， 因为PA 与抛物线相切，所以2140m =-=，取12m =，则1,1A A y x ==，

即A （1，1）．同理可得B （1，-1）．所以AB ：1x =．

（Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线PA 方程为1100y k x k x y =-+，直线PB 方程为2200y k x k x y =-+． 由11002y k x k x y y x

=-+??=?可得211000k y y k x y --+=． 因为直线PA 与抛物线相切，所以△=110014()k k x y --+=201014410x k y k -+=．

同理可得202024410x k y k -+=，所以12,k k 时方程2004410x k y k -+=的两根．

所以0120y k k x +=，120

14k k x =

．则12k k -=

.. 又因为2200(2)1x y ++=，则031x -≤≤-， 所以1211k k -=1212

k k k k -

=

=4??. 【点睛】

本题主要考查抛物线方程的应用、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．