全等三角形单元试卷(word版含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；

（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．

【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．

【解析】

【分析】

（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN

=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到

MN=BM+NC．

（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．

【详解】

解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，

在△MBD与△ECD中，

∵BD CD

MBD ECD BM CE

，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△DMN与△DEN中，

∵MD DE

MDN EDN DN DN

，

∴△DMN≌△DEN（SAS），

∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．

（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．

理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，

∴∠MBD=∠DCE=90°，

在△BMD和△CED中

∵BM CE

MBD ECD BD CD

，

∴△BMD≌△CED（SAS），

∴DM= DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△MDN和△EDN中

∵ND ND

EDN MDN ND ND

，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．如图1，在平面直角坐标系中，点D（m，m+8）在第二象限，点B（0，n）在y轴正半轴上，作DA⊥x轴，垂足为A，已知OA比OB的值大2，四边形AOBD的面积为12．

（1）求m和n的值．

（2）如图2，C为AO的中点，DC与AB相交于点E，AF⊥BD，垂足为F，求证：AF＝DE．

（3）如图3，点G在射线AD上，且GA＝GB，H为GB延长线上一点，作∠HAN交y轴于点N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．

【答案】（1）

（2）详见解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即当点H在GB的

延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．

【解析】

【分析】

（1）由点D，点B的坐标和四边形AOBD的面积为12，可列方程组，解方程组即可；（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝25，利用SAS可证

△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面积公式即可求证；

（3）取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，证明

△ABH≌△CAN，即可得到结论.

【详解】

解：（1）由题意()()

812

m n

n m m

--=

++-=

解得

；

（2）如图2中，

由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），

∴AD＝OA＝4，OB＝2，

∴由勾股定理可得：AB＝BD＝5

∵AC＝OC＝2，

∴AC＝OB，

∵∠DAC＝∠AOB＝90°，AD＝OA，

∴△DAC≌△AOB（SAS），

∴∠ADC＝∠BAO，

∵∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠EAC+∠ACE＝90°，

∴∠AEC＝90°，

∵AF⊥BD，DE⊥AB，

∴S△ADB＝

?AB?AE＝

?BD?AF，

∵AB＝BD，

∴DE＝AF．

（3）解：如图，取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，

∵AG＝BG，

∴∠GAB＝∠GBA，

∵G为射线AD上的一点，

∴AG∥y轴，

∴∠GAB＝∠ABC，

∴∠ACB＝∠EBA，

∴180°﹣∠GBA＝180°﹣∠ACB，

即∠ABG＝∠ACN，

∵∠GAN＝∠GBO，

∴∠AGB＝∠ANC，

在△ABG与△ACN中，

ABH ACN

AHB ANC

AB AC

∠=∠

，

∴△ABH≌△ACN（AAS），

∴BF＝CN，

∴NB﹣HB＝NB﹣CN＝BC＝2OB，

∵OB＝2

∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），

即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．

【点睛】

本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是相结合添加常用辅助线，构造图形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

3．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．

小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，

他的结论是（直接写结论，不需证明）；

(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．

【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.

【解析】

【分析】

（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，

∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.

(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，

∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.

（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到

EF=FG，最后求三角形的周长即可.

【详解】

解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC

在△ABE和△ADG中，

∵

DC DG

B ADG

AB AD

∠=∠

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=

∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

∵

AE AG

EAF GAF

AF AF

∠=∠

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

故答案为：EF=BE+DF．

（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；

理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG

在△ABE和△ADG中，

∵

DG BE

B ADG

AB AD

∠=∠

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=

∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

∵AE AG EAF GAF AF AF =??

∠=∠??=?

， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF =FG ，

∵FG =DG +DF =BE +DF ， ∴EF =BE +DF ；

（3）解：如图3，延长DC 到点G ，截取CG =AE ，连接BG ，在△AEB 与△CGB 中，

∵AE CG A BOG AF BF =??

∠=∠??=?

，

∴△AEB ≌△CGB （SAS ）， ∴BE =BG ，∠ABE =∠CBG ． ∵∠EBF =45°，∠ABC =90°， ∴∠ABE +∠CBF =45°， ∴∠CBF +∠CBG =45°．在△EBF 与△GBF 中，

∵BE BG EBF GBF BF BF =??

∠=∠??=?

， ∴△EBF ≌△GBF （SAS ）， ∴EF =GF ，

∴△DEF 的周长=EF +ED +CF =AE +CF +DE +DF =AD +CD =10．【点睛】

本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.

4．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标；

(2)如图2，若点A 的坐标为()

23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以

B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不

变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

(3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=1

(EM-ON)，证明见详解. 【解析】【分析】

（1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标；

（2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3- （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出

∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1

(EM-ON). 【详解】

（1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q,

∴∠AQC=90°,

△为等腰直角三角形，

∵ABC

∴AC=AB,∠CAB=90°,

∴∠QAC+∠OAB=90°,

∵∠QAC+∠ACQ=90°,

∴∠ACQ=∠BAO,

又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,

?(AAS),

∴AQC BOA

∴CQ=AO,AQ=BO,

∵OA=2,OB=4,

∴CQ=2,AQ=4,

∴OQ=6,

∴C(-6,-2).

(2)如图（2）作DP⊥OB于点P,

∴∠BPD=90°,

△是等腰直角三角形，

∵ABD

∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,∵∠OBD+∠BDP=90°,

∴∠ABO=∠BDP,

又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,

∴AOB BPD

∴AO=BP,

∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,

∵A ()

23,0-, ∴OA=23, ∴m+n=23,

∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=23, ∴整式2253m n +-的值不变为3-. （3）()1

EN EM ON =

- 证明：如图（3）所示，在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长，交x 轴于H.

∵OBM 为等边三角形，

∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°, ∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°, ∵OE=OB, ∴OE=OM=BM, ∴∠3=∠EMO=15°, ∴∠BEM=30°,∠BME=45°, ∵OF⊥EB, ∴∠EOF=∠BME, ∴ENO BGM ?, ∴BG=EN, ∵ON=MG, ∴∠2=∠3, ∴∠2=15°, ∴∠EBG=90°,

∴BG=1

2EG, ∴EN=12

EG,

∵EG=EM-GM,

∴EN=

2(EM-GM), ∴EN=1

(EM-ON).

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理的运用.

5．在ABC ?中，90,BAC AB AC ∠=?=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ?，使90DAF ∠=?，连接CF ．（1）观察猜想

如图1，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为__________；

②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ???）

（2）数学思考

如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸

如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ?沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,22CD BC AC ==CE 的长．（提示：做

AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）

【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）32【解析】【分析】

（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，

ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出

3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．【详解】

（1）①正方形ADEF 中，AD AF =

∵90BAC DAF ==?∠∠ ∴BAD CAF ∠=∠ 在△DAB 与△FAC 中

AD AF BAD CAF AB AC =??

∠=∠??=?

∴()DAB FAC SAS △≌△ ∴B ACF ∠=∠

∴90ACB ACF +=?∠∠ ，即BC CF ⊥ ； ②∵DAB FAC △≌△ ∴=CF BD ∵BC BD CD =+ ∴BC CF CD =+

（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC 证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形 ∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF

在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =??

∠=∠??=?

∴△DAB ≌△FAC （SAS ） ∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝45° ∴∠ABD ＝180°－45°＝135° ∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°

∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°， ∴CF ⊥BC

∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ∴DC ＝CF ＋BC

（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ， ∵90BAC ∠=?

，AB AV ==

∴1

422

BC AH BH CH BC ======， ∴1

CD BC =

= ∴3DH CH CD =+= ∵四边形ADEF 是正方形

∴90AD DE ADE ==?，∠ ∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，， ∴四边形CMEN 是矩形 ∴NE CM EM CN ==，

∵90AHD

ADC EMD ===

?∠∠∠

∴90ADH EDM EDM DEM +=+=?∠∠∠∠ ∴ADH DEM =∠∠ 在△ADH 和△DEM 中

ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠??

∠=∠??=?

∴ADH DEM △≌△

∴32EM DH DM AH ====， ∴3CM EM == ∴2232CE EM CM =

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．

6．如图1，在ABC ?中，ACB ∠是直角，60B ∠=?，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．

（1）求出AFC ∠的度数；

（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）

（3）如图2，在△ABC ?中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．

【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;

（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；

（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出

∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．

【详解】

（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°

（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．

理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF＝∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

CG CD

DCF GCF

CF CF

∠=∠

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG

由（1）∠AFC＝120°得，

∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

AFE AFG

AF AF

EAF GAF

∠=∠

?∠=∠

，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

（3）结论：AC＝AE+CD．

理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），

∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE

∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°

∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-

(∠BAC+∠BCA)=180°-

×120°=120°，

∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD＝CG，

∴AC＝AG+CG＝AE+CD．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．

7．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．

（1）求∠AFE的度数；

（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD=CE；

（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC=30°，且CF=

CP，求

的值．

（提示：可以过点A作∠KAF=60°，AK交PC于点K，连接KB）

【答案】（1）∠AFE=60°；（2）见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）通过证明BCE CAD

≌得到对应角相等，等量代换推导出60

AFE

∠=?；（2）由（1）得到60

AFE

∠=?，CE AD

=则在Rt AHF

△中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；

（3）通过在PF上取一点K使得KF=AF，作辅助线证明ABK和ACF全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF顺时针旋转60°也是一种思路.)

【详解】

（1）解：如图1中．

∵ABC为等边三角形，

∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

在BCE和CAD中，

BE CD

CBE ACD

BC CA

∠=∠=?

，

∴BCE CAD

≌（SAS），

∴∠BCE=∠DAC，

∵∠BCE+∠ACE=60°，

∴∠DAC+∠ACE=60°，

∴∠AFE=60°．

（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC，

∴∠AHF=90°，

在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，

∴∠FAH=30°，

∴AF=2FH，

∵EBC DCA

≌，

∴EC=AD，

∵AD=AF+DF=2FH+DF，

∴2FH+DF=EC．

（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，

∵∠AFK=60°，AF=KF，

∴△AFK为等边三角形，

∴∠KAF=60°，

∴∠KAB=∠FAC，

在ABK和ACF中，

AB AC

KAB ACF

AK AF

∠=∠

，

∴ABK ACF

≌(SAS)，BK CF

∴∠AKB=∠AFC=120°，

∴∠BKE=120°﹣60°=60°，

∵∠BPC=30°，

∴∠PBK=30°，

∴

BK CF PK CP

===，

∴

PF CP CF CP

=-=，

∵

()

99 AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-=

∴

AF CP

== .

【点睛】

掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.

8．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若

AB=82，BC=16．

（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；

（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设

BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．

【答案】（1）4；（2）8

【解析】

【分析】

（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出

BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；

（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=

BF，由（1）证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=

CF，即可得出BE+CD=8．

【详解】

解:（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F，

∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同， ∴BP=CQ ， ∵PF ∥AQ ，

∴∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，又∵AB=AC ， ∴∠B=∠ACB ， ∴∠B=∠PFB ， ∴BP=PF ，

∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ， ∴△PFD ≌△QCD ， ∴DF=CD=

CF ，又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ， ∴F 是BC 的中点，即FC=1

BC=8， ∴CD=

CF=4；（2）8BE CD λ+==为定值．如图②，点P 在线段AB 上，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，

易知△PBF 为等腰三角形， ∵PE ⊥BF ∴BE=

BF ∵易得△PFD ≌△QCD