广东省江门市台山市2020年中考数学一模试卷含答案 (3)
广东省江门市台山市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选选项涂黑．
1．下面有理数中，最大的数是（）
A． B．0 C．﹣1 D．﹣3
2．光的速度约为300 000 000米/秒，用科学记数法表示为（）
A．3×106B．3×107C．3×108D．3×109
3．计算（﹣3x）2的结果正确的是（）
A．﹣3x2B．6x2C．﹣9x2D．9x2
4．下列图形中，不是中心对称图形的是（）
A．等边三角形B．平行四边形C．菱形 D．矩形
5．若∠α+∠θ=90°，∠β=∠θ，则∠α与∠β的关系是（）
A．∠α与∠β互余B．∠α与∠β互补C．∠α与∠β相等D．∠α大于∠β
6．一个不透明的布袋里装有9个只有颜色不同球，其中4个红球，5个白球，从布袋中随机摸出1个球，摸出的球是红球的概率为（）
A．B．C．D．
7．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）
A．5 B．6 C．12 D．16
8．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．有一个实数根
9．点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（﹣2，3），则点A与点B（）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．不是对称点
10．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）
A．10 B．16 C．18 D．20
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．函数中自变量x的取值范围是．
12．分解因式：ax2﹣6ax+9a=．
13．正八边形的一个外角等于（度）．
14．不等式组的解集是．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，若∠ABD=60°，则∠ADC的度数是．
16．如图，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C，D为半圆上的三等分点，则图中阴影部分的面积等于．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：﹣2sin45°﹣（1+）0+2﹣1．
18．先化简，再求值：（+）?（x2﹣1），其中x=．
19．如图，△ABC中，AB=AC．
（1）以点B为顶点，作∠CBD=∠ABC（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，证明：AC∥BD．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．新学期开学初，王刚同学对部分同学暑假在家做家务的时间进行了抽样调查（时间取整数小时），所得数据统计如下表：
时间分组0.5～20.5 20.5～40.5 40.5～60.5 60.5～80.5 80.5～100.5
频数20 25 30 15 10
（1）王刚同学抽取样本的容量是多少？
（2）请你根据表中数据补全图中的频数分布直方图；
（3）若该学校有学生1260人，那么大约有多少学生在暑假做家务的时间在40.5～100.5小时之间？
21．某公园的门票价格规定如下表：
购票人数50人以下51～100人100人以上
票价13元/人11元/人9元/人
某学校七年级1班和2班两个班共104人去游园，其中1班不足50人，2班超过50人．
（1）若以班为单位分别购票，一共应付1240元，求两班各有多少人？
（2）若两班联合购票可少付多少元？
22．如图，在平行四边形ABCD中，BD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC交于点F，与BD 交于点O．
（1）证明：OE=OF；
（2）证明：四边形BEDF是菱形．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，点A，B在反比例函数y=的图象上，点A的坐标为（，3），点C在x轴上，且使△AOC是等边三角形，BC∥OA．
（1）求反比例函数的解析式和OC的长；
（2）求点B的坐标；
（3）求直线BC的函数解析式．
24．如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的点，点F是BC的延长线一点，CF=DE，连结BE 和EF，EF与CD交于点G，且∠FBE=∠FEB．
（1）过点F作FH⊥BE于点H，证明：△ABE∽△HFB；
（2）证明：BE2=2AE?BF；
（3）若DG=1，求AE值．
25．如图，在直角坐标系中，圆A与x轴交于点B、C，与y轴相切于点D，抛物线y=x+4经过B、C、D三点．
（1）求圆心A的坐标；
（2）证明：直线y=﹣与圆A相切于点B；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△CDF的面积最大，若存在，求出点F的坐标．
广东省江门市台山市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选选项涂黑．
1．下面有理数中，最大的数是（）
A． B．0 C．﹣1 D．﹣3
【考点】有理数大小比较．
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣3＜﹣1＜﹣＜0，
∴各个有理数中，最大的数是0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．光的速度约为300 000 000米/秒，用科学记数法表示为（）
A．3×106B．3×107C．3×108D．3×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：300 000 000=3×108，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．计算（﹣3x）2的结果正确的是（）
A．﹣3x2B．6x2C．﹣9x2D．9x2
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题．
【分析】根据（ab）m=a m?b m易得（﹣3x）2=9x2．
【解答】解：原式=9x2．
故选D．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方：（ab）m=a m?b m（m为正整数）．
4．下列图形中，不是中心对称图形的是（）
A．等边三角形B．平行四边形C．菱形 D．矩形
【考点】中心对称图形．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故此选项正确；
B、平行四边形是中心对称图形，故此选项错误；
C、菱形是中心对称图形，故此选项错误；
D、矩形是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是掌握中心对称图形要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．若∠α+∠θ=90°，∠β=∠θ，则∠α与∠β的关系是（）
A．∠α与∠β互余B．∠α与∠β互补C．∠α与∠β相等D．∠α大于∠β
【考点】余角和补角．
【分析】根据余角的定义解答即可．
【解答】解：∵∠α+∠θ=90°，∠β=∠θ，
∴∠α+∠β=90°，
∴∠α与∠β互余，
故选A．
【点评】主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从题意中找出这两个角之间的数量关系，从而判断出两角之间的关系．
6．一个不透明的布袋里装有9个只有颜色不同球，其中4个红球，5个白球，从布袋中随机摸出1个球，摸出的球是红球的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】由一个不透明的布袋里装有9个只有颜色不同球，其中4个红球，5个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个不透明的布袋里装有9个只有颜色不同球，其中4个红球，5个白球，
∴从布袋中随机摸出1个球，摸出的球是红球的概率为：．
故选B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）
A．5 B．6 C．12 D．16
【考点】三角形三边关系．
【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是4和10，
∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
8．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．有一个实数根
【考点】根的判别式．
【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，
所以方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
9．点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（﹣2，3），则点A与点B（）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．不是对称点
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：由A的坐标为（2，3），点B的坐标为（﹣2，3），得
点A与点B关于y轴对称，
故选：B．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．
10．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）
A．10 B．16 C．18 D．20
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】本题难点在于应找到面积不变的开始与结束，得到BC，CD的具体值．
【解答】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，x=4时，y开始不变，说明BC=4，x=9时，接着变化，说明CD=9﹣4=5．
∴△ABC的面积为=×4×5=10．
故选A．
【点评】解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．函数中自变量x的取值范围是x≥2．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．分解因式：ax2﹣6ax+9a=a（x﹣3）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．【解答】解：ax2﹣6ax+9a
=a（x2﹣6x+9）﹣﹣（提取公因式）
=a（x﹣3）2．﹣﹣（完全平方公式）
故答案为：a（x﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13．正八边形的一个外角等于45（度）．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：360°÷8=45°，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
14．不等式组的解集是﹣1＜x≤1．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】先解①得x＞﹣1，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x＞﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤1．
故答案为﹣1＜x≤1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，若∠ABD=60°，则∠ADC的度数是30°．
【考点】圆周角定理．
【分析】利用圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠DAB=25°；然后根据平行线的性质、等量代换可以求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵∠ABD=60°，
∴∠DAB=30°（直角三角形的两个锐角互余）； 又∵CD ∥AB ，
∴∠ADC=∠DAB （两直线平行，内错角相等）， ∴∠ADC=30°（等量代换）． 故答案为：30°．
【点评】本题综合考查了圆周角定理、平行线的性质．在圆中，直径所对的圆周角是直角．
16．如图，半圆的直径AB=10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆上的三等分点，则图中阴影部分的面积等于
．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】连接CO ，DO ，利用等底等高的三角形面积相等可知S 阴影=S 扇形COD ，利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接CO ，DO ，
∵C ，D 是以AB 为直径的半圆上的三等分点， ∴∠COD=60°，
∵△PCD 的面积等于△OCD 的面积，
∴都加上CD 之间弓形的面积得出S 阴影=S 扇形OCD ==
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．根据图形推知图中阴影部分面积=扇形OCD 的面积是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17．计算：
﹣2sin45°﹣（1+
）0+2﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=﹣2×﹣1+
=﹣．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．
18．先化简，再求值：（+）?（x2﹣1），其中x=．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=?（x2﹣1）
=2x+2+x﹣1
=3x+1，
当x=时，原式=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．如图，△ABC中，AB=AC．
（1）以点B为顶点，作∠CBD=∠ABC（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，证明：AC∥BD．
【考点】作图—基本作图；平行线的判定．
【专题】作图题．
【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠CBD=∠ABC；
（2）利用等腰三角形的性质得∠ABC=∠C，则利用等量代换得到∠CBD=∠C，则根据平行线的判定可判断AC∥BD．
【解答】（1）解：如图，∠CBD为所作；
（2）证明：由（1）得∠CBD=∠ABC，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠CBD=∠C，
∴AC∥BD．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．新学期开学初，王刚同学对部分同学暑假在家做家务的时间进行了抽样调查（时间取整数小时），所得数据统计如下表：
时间分组0.5～20.5 20.5～40.5 40.5～60.5 60.5～80.5 80.5～100.5
频数20 25 30 15 10
（1）王刚同学抽取样本的容量是多少？
（2）请你根据表中数据补全图中的频数分布直方图；
（3）若该学校有学生1260人，那么大约有多少学生在暑假做家务的时间在40.5～100.5小时之间？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【分析】（1）求得各组的频数的和即可求得样本容量；
（2）根据（1）即可直接补全直方图；
（3）用总人数乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）样本容量是20+25+30+15+10=100；
（2）
；
（3）样本中，暑假做家务的时间在40.5～100.5小时之间的人数为55人，
∴该校有人在暑假做家务的时间在40.5～100.5小时之间．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．某公园的门票价格规定如下表：
购票人数50人以下51～100人100人以上
票价13元/人11元/人9元/人
某学校七年级1班和2班两个班共104人去游园，其中1班不足50人，2班超过50人．
（1）若以班为单位分别购票，一共应付1240元，求两班各有多少人？
（2）若两班联合购票可少付多少元？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设一班有x人，则二班有y人，根据两班分别购票的费用为1240元建立方程组求出其解即可；
（2）运用联合购票的费用就可以得出结论．
【解答】解：（1）设1班和2班分别有x人、y人，
依题意得，
解得x=48，y=56，
答：1班和2班分别有48人和56人；
（2）两班联合购票，应付104×9═936元，可少付1240﹣936=304元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，有理数大小比较的运用，设计方案的运用，解答时建立方程求出各班人数是关键．
22．如图，在平行四边形ABCD中，BD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC交于点F，与BD 交于点O．
（1）证明：OE=OF；
（2）证明：四边形BEDF是菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和ASA证明△ODE与△OBF全等，再利用全等三角形的性质证明即可；
（2）根据菱形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，AD∥BC，
∴∠EDB=∠FBD，
又∵∠EOD=∠FOB，
在△ODE与△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF，
∴OE=OF；
（2）∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD的对角线垂直互相平分，
∴四边形EBFD是菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据ASA证明△ODE与△OBF全等．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，点A，B在反比例函数y=的图象上，点A的坐标为（，3），点C在x轴上，且使△AOC是等边三角形，BC∥OA．
（1）求反比例函数的解析式和OC的长；
（2）求点B的坐标；
（3）求直线BC的函数解析式．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的性质．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求得m的值；结合等边三角形的性质和勾股定理来求OC的长度；
（2）过点B作BE⊥x轴于点E，设CE=a，则，，把点B的坐标代入函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程求得a的值，易得点B的坐标；
（3）设直线BC为y=kx+b，则B、C两点的坐标分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得系数的值．
【解答】解：（1）点A（，3）在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，．
（2）过点B作BE⊥x轴于点E，
设CE=a，则，，
∵点B在上，
∴，
即，
解得，
∵a＞0，
∴，，，
∴B的坐标为（，）；
（3）设直线BC为y=kx+b，则，
两式相减得，，，
∴，
∴所求的直线解析式是．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数解析式以及正三角形的性质．解题时，注意函数图象上点的坐标的特征的应用．
24．如图，在正方形ABCD中，点E是AD上的点，点F是BC的延长线一点，CF=DE，连结BE 和EF，EF与CD交于点G，且∠FBE=∠FEB．
（1）过点F作FH⊥BE于点H，证明：△ABE∽△HFB；
（2）证明：BE2=2AE?BF；
（3）若DG=1，求AE值．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AEB=∠EBF，由已知条件得到∠A=∠BHF，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到FH是等腰△FBE底边上的高，求得BH=BE，由根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论；
（3）由已知条件得到正方形ABCD的边长为2，设AE=k（0＜k＜2），则DE═2﹣k，BF=4﹣k，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【解答】（1）证明：∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
又∵∠A=90°，FH⊥BE，
∴∠A=∠BHF，
∴△ABE∽△HFB；
（2）∵∠FBE=∠FEB，
∴BF=EF，FH⊥BE，
∴FH是等腰△FBE底边上的高，
∴BH=BE，
由（1）得，，
∴，
∴BE2=2AE?BF；
（3）解：∵DG═1，
∴正方形ABCD的边长为2，
设AE=k（0＜k＜2），则DE═2﹣k，BF=4﹣k，
∴在Rt△ABM中，BE2=AB2+AE2=4+k2，
由BE2=2AE?BF，得4+k2=2k（4﹣k），
即3k2﹣8k+4=0，解得，k=2，
∵k≠2，
∴AE=．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，证得△ABE∽△HFB是解题的关键．
25．如图，在直角坐标系中，圆A与x轴交于点B、C，与y轴相切于点D，抛物线y=x+4经过B、C、D三点．
（1）求圆心A的坐标；
（2）证明：直线y=﹣与圆A相切于点B；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△CDF的面积最大，若存在，求出点F的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据垂径定理，可得圆心在弦的垂直平分线上，根据切线的性质，可得圆心在过切点的直线上，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABH=∠ADH，根据切线的判定，可得答案；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，三角形面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）令，即（x﹣2）（x﹣8）=0，解得x1=2，x2=8，
∴抛物线与x轴的交点坐标为B（2，0），C（8，0），与y轴交于点D（0，4），
∵BC的中点为（5，0），圆心A在BC的垂直平分线上，