大一期末考试微积分试题带答案

第一学期期末考试试卷

一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答,该题不得分．每小题3分,共１５分.）

1. =→x

x x 1

sin lim 0＿__0_＿___.

2. 设1

)1(lim )(2+-=∞→nx x

n x f n ，则)(x f 的间断点是___ｘ=0___＿_.

3. 已知(1)2f =,4

1

)1('-=f ,则

12

()x df x dx -== _＿__＿_＿.

４. ()a

x x '=_______.

5． 函数434)(x x x f -=的极大值点为___＿____.

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写

在答题纸的相应位置.答案选错或未选者,该题不得分.每小题3分，共15分.） １. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为_____＿__. Ａ．)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ Ｃ． )100,10( D.)2,1(. 2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤?，使lim[()()]0x g x x ?→∞

-=，则

lim ()x f x →∞

＿___＿_.

A ．存在且一定等于零 B. 存在但不一定等于零 C.不一定存在 D. 一定存在． ３． 极限=-→x

x x x

e 21lim

0＿__＿____．

A. 2e

B. 2-e

C. e

D.不存在.

4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→x

x f x f x tan )

2()3(lim

0____＿___.

A.0

B. 1

C. 2

D. 5.

5. 曲线2

21x

y x

=-渐近线的条数为____＿＿__. A ．0 B ．1 C.2 D.3． 三、(请写出主要计算步骤及结果，８分.） 求2

0sin 1lim sin x x e x x →--. 四、(请写出主要计算步骤及结果,8分.)

求2

1

lim(cos )x x x +

→. 五、(请写出主要计算步骤及结果，8分.)

确定常数,a b , 使函数2(sec )0

()0x x x x f x ax b x -?>=?+≤?处处可导.

六、(请写出主要计算步骤及结果,8分．)

设21

()arctan ln(1)2

f x x x x =-+，求dy .dy ＝arc ｔａｎxdx

七、(请写出主要计算步骤及结果，8分.) 已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数，求y ''. 八、（请写出主要计算步骤及结果,8分.)

列表求曲线52

3

333152

y x x =-+的凹向区间及拐点.

九、证明题(请写出推理步骤及结果,共6+6＝１2分.)

1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()f ξξ=．

２. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点

)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.

第一学期期末考试参考答案与评分

标准

一、填空题（3×5=1５）

1、0

2、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1a

x a x x a x -?+ 5、3x = 二、单项选择题(３×5=1５）

1、C

2、C

3、A

4、B

5、D

三、（8×1=8)

22

0000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822

x x x x x x x x e x e x x x e x x

e x →→→→----=-=+==分

分分

四、（8×1＝８）

()2

00ln cos 1

lim

1

sin cos lim 1

1

2

lim (cos )268x x x x x x x x

x e e e

+→+

+

→→-

?--

===分

分

分

五、(8×1=８）

因为()f x 在(),-∞+∞处处可导,所以()f x 在0x =处连续可导。……1分 因为

()2

lim (sec )02lim 34x x x x x ax b b

x b

+--→→=+== 分分

f 分

所以 0b =5分

又因为

()()0200

0lim (sec )00lim 1x x x ax b f a x

x x f x

-

+-→-+→+-'==-'== 所以 1a = ………8分

六、(8×１＝8)

()22112arctan 5121arcsin 6arcsin 8x f x x x x x x dy xdx

'=-?-?

++==分

分

分

七、（8×1=8)

22

22

22

22230

42272322(22)(23)(22)(26)()823(23)x y xy y y x y y x y x y y x y x y yy y x y x y ''--+=-'=-''------'''==--分

分

分

八、（８×1=8） (１)定义域为 (),-∞+∞；

（2)

2

13

3

14334

3

12121

333

3y x x x y x x x ---'=-+''=+=分

分

令0y ''=得11

2

x =-,又20x =为y ''不存在的点4分

(3）列表：

8分

625

Q =时利润最大,最大利润为()6251250L =………８分

九、证明题(6×2＝１2)

1． 设()()F x f x x =- ,则有()F x 在[,]a b 上连续，………2分

()()0,()()0,

4F a f a a F b f b b =-<=->分

根据零值定理可得在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0F ξ=， 即()f ξξ=………6分

2.设 ()(),F x x = 则2

31()()()3

F x x f x x -''=。………２分

显然()F x 在[0,1]内连续,在(0,1)内可导,且(0)(1)0F F ==。………４分

由罗尔定理知：至少存在一点(0,1)ξ∈使

2

31()()()0

3

()()0

F f f f ξξξξξξξ-''=+='+=即3 ………6分